MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen1lem4 12969
Description: Lemma for rpnnen1 12972. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
rpnnen1lem.n β„• ∈ V
rpnnen1lem.q β„š ∈ V
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,𝑛,π‘₯   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem rpnnen1lem4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.1 . . . . 5 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
2 rpnnen1lem.2 . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
3 rpnnen1lem.n . . . . 5 β„• ∈ V
4 rpnnen1lem.q . . . . 5 β„š ∈ V
51, 2, 3, 4rpnnen1lem1 12967 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•))
64, 3elmap 8868 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•) ↔ (πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š)
75, 6sylib 217 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š)
8 frn 6725 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† β„š)
9 qssre 12948 . . . 4 β„š βŠ† ℝ
108, 9sstrdi 3995 . . 3 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† ℝ)
117, 10syl 17 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† ℝ)
12 1nn 12228 . . . . . 6 1 ∈ β„•
1312ne0ii 4338 . . . . 5 β„• β‰  βˆ…
14 fdm 6727 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ dom (πΉβ€˜π‘₯) = β„•)
1514neeq1d 2999 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ (dom (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ… ↔ β„• β‰  βˆ…))
1613, 15mpbiri 257 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ dom (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
17 dm0rn0 5925 . . . . 5 (dom (πΉβ€˜π‘₯) = βˆ… ↔ ran (πΉβ€˜π‘₯) = βˆ…)
1817necon3bii 2992 . . . 4 (dom (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ… ↔ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
1916, 18sylib 217 . . 3 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
207, 19syl 17 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
211, 2, 3, 4rpnnen1lem3 12968 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯)
22 breq2 5153 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ≀ 𝑦 ↔ 𝑛 ≀ π‘₯))
2322ralbidv 3176 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯))
2423rspcev 3613 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦)
2521, 24mpdan 684 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦)
26 suprcl 12179 . 2 ((ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† ℝ ∧ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦) β†’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ∈ ℝ)
2711, 20, 25, 26syl3anc 1370 1 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  supcsup 9438  β„cr 11112  1c1 11114   < clt 11253   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„€cz 12563  β„šcq 12937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-q 12938
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12970
  Copyright terms: Public domain W3C validator