Theorem rpnnen1lem4 12925

Description: Lemma for rpnnen1 12928. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n	⊢ ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q	⊢ ℚ ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem4	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen1lem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
2		rpnnen1lem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
3		rpnnen1lem.n	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
4		rpnnen1lem.q	. . . . 5 ⊢ ℚ ∈ V
5	1, 2, 3, 4	rpnnen1lem1 12923	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
6	4, 3	elmap 8813	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ) ↔ (𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ)
7	5, 6	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ)
8		frn 6665	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℚ)
9		qssre 12904	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
10	8, 9	sstrdi 3928	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℝ)
11	7, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℝ)
12		1nn 12180	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
13	12	ne0ii 4274	. . . . 5 ⊢ ℕ ≠ ∅
14		fdm 6667	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → dom (𝐹‘𝑥) = ℕ)
15	14	neeq1d 2995	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → (dom (𝐹‘𝑥) ≠ ∅ ↔ ℕ ≠ ∅))
16	13, 15	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → dom (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
17		dm0rn0 5872	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ran (𝐹‘𝑥) = ∅)
18	17	necon3bii 2988	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹‘𝑥) ≠ ∅ ↔ ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
19	16, 18	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
20	7, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
21	1, 2, 3, 4	rpnnen1lem3 12924	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥)
22		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ≤ 𝑦 ↔ 𝑛 ≤ 𝑥))
23	22	ralbidv 3164	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥))
24	23	rspcev 3561	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦)
25	21, 24	mpdan 694	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦)
26		suprcl 12111	. 2 ⊢ ((ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℝ ∧ ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦) → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	11, 20, 25, 26	syl3anc 1380	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  {crab 3393  Vcvv 3433   ⊆ wss 3884  ∅c0 4263   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  dom cdm 5620  ran crn 5621  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ↑_m cmap 8767  supcsup 9347  ℝcr 11033  1c1 11035   < clt 11175   ≤ cle 11176   / cdiv 11803  ℕcn 12169  ℤcz 12519  ℚcq 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-q 12894

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12926