Theorem rpnnen1lem4 12919

Description: Lemma for rpnnen1 12922. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n	⊢ ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q	⊢ ℚ ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem4	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen1lem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
2		rpnnen1lem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
3		rpnnen1lem.n	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
4		rpnnen1lem.q	. . . . 5 ⊢ ℚ ∈ V
5	1, 2, 3, 4	rpnnen1lem1 12917	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
6	4, 3	elmap 8810	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ) ↔ (𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ)
7	5, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ)
8		frn 6667	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℚ)
9		qssre 12898	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
10	8, 9	sstrdi 3935	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℝ)
11	7, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℝ)
12		1nn 12174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
13	12	ne0ii 4285	. . . . 5 ⊢ ℕ ≠ ∅
14		fdm 6669	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → dom (𝐹‘𝑥) = ℕ)
15	14	neeq1d 2992	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → (dom (𝐹‘𝑥) ≠ ∅ ↔ ℕ ≠ ∅))
16	13, 15	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → dom (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
17		dm0rn0 5871	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ran (𝐹‘𝑥) = ∅)
18	17	necon3bii 2985	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹‘𝑥) ≠ ∅ ↔ ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
19	16, 18	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
20	7, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
21	1, 2, 3, 4	rpnnen1lem3 12918	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥)
22		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ≤ 𝑦 ↔ 𝑛 ≤ 𝑥))
23	22	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥))
24	23	rspcev 3565	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦)
25	21, 24	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦)
26		suprcl 12105	. 2 ⊢ ((ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℝ ∧ ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦) → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	11, 20, 25, 26	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622  ran crn 5623  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764  supcsup 9344  ℝcr 11026  1c1 11028   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  ℕcn 12163  ℤcz 12513  ℚcq 12887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-q 12888

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12920