Theorem rpnnen1lem4 12102

Description: Lemma for rpnnen1 12105. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n	⊢ ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q	⊢ ℚ ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem4	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen1lem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
2		rpnnen1lem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
3		rpnnen1lem.n	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
4		rpnnen1lem.q	. . . . 5 ⊢ ℚ ∈ V
5	1, 2, 3, 4	rpnnen1lem1 12100	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ))
6	4, 3	elmap 8151	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ↔ (𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ)
7	5, 6	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ)
8		frn 6284	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℚ)
9		qssre 12081	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
10	8, 9	syl6ss 3839	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℝ)
11	7, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℝ)
12		1nn 11363	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
13	12	ne0ii 4153	. . . . 5 ⊢ ℕ ≠ ∅
14		fdm 6286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → dom (𝐹‘𝑥) = ℕ)
15	14	neeq1d 3058	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → (dom (𝐹‘𝑥) ≠ ∅ ↔ ℕ ≠ ∅))
16	13, 15	mpbiri 250	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → dom (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
17		dm0rn0 5574	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ran (𝐹‘𝑥) = ∅)
18	17	necon3bii 3051	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹‘𝑥) ≠ ∅ ↔ ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
19	16, 18	sylib 210	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
20	7, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅)
21	1, 2, 3, 4	rpnnen1lem3 12101	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥)
22		breq2 4877	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ≤ 𝑦 ↔ 𝑛 ≤ 𝑥))
23	22	ralbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥))
24	23	rspcev 3526	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦)
25	21, 24	mpdan 680	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦)
26		suprcl 11313	. 2 ⊢ ((ran (𝐹‘𝑥) ⊆ ℝ ∧ ran (𝐹‘𝑥) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑦) → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	11, 20, 25, 26	syl3anc 1496	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  {crab 3121  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952  dom cdm 5342  ran crn 5343  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↑_𝑚 cmap 8122  supcsup 8615  ℝcr 10251  1c1 10253   < clt 10391   ≤ cle 10392   / cdiv 11009  ℕcn 11350  ℤcz 11704  ℚcq 12071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-q 12072

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12103