MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen1lem4 12946
Description: Lemma for rpnnen1 12949. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q ℚ ∈ V
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem4 (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.1 . . . . 5 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
2 rpnnen1lem.2 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
3 rpnnen1lem.n . . . . 5 ℕ ∈ V
4 rpnnen1lem.q . . . . 5 ℚ ∈ V
51, 2, 3, 4rpnnen1lem1 12944 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
64, 3elmap 8848 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ) ↔ (𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ)
75, 6sylib 217 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ)
8 frn 6711 . . . 4 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹𝑥) ⊆ ℚ)
9 qssre 12925 . . . 4 ℚ ⊆ ℝ
108, 9sstrdi 3990 . . 3 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹𝑥) ⊆ ℝ)
117, 10syl 17 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ran (𝐹𝑥) ⊆ ℝ)
12 1nn 12205 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
1312ne0ii 4333 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
14 fdm 6713 . . . . . 6 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → dom (𝐹𝑥) = ℕ)
1514neeq1d 2999 . . . . 5 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → (dom (𝐹𝑥) ≠ ∅ ↔ ℕ ≠ ∅))
1613, 15mpbiri 257 . . . 4 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → dom (𝐹𝑥) ≠ ∅)
17 dm0rn0 5916 . . . . 5 (dom (𝐹𝑥) = ∅ ↔ ran (𝐹𝑥) = ∅)
1817necon3bii 2992 . . . 4 (dom (𝐹𝑥) ≠ ∅ ↔ ran (𝐹𝑥) ≠ ∅)
1916, 18sylib 217 . . 3 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹𝑥) ≠ ∅)
207, 19syl 17 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ran (𝐹𝑥) ≠ ∅)
211, 2, 3, 4rpnnen1lem3 12945 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥)
22 breq2 5145 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛𝑦𝑛𝑥))
2322ralbidv 3176 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥))
2423rspcev 3609 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑦)
2521, 24mpdan 685 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑦)
26 suprcl 12156 . 2 ((ran (𝐹𝑥) ⊆ ℝ ∧ ran (𝐹𝑥) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑦) → sup(ran (𝐹𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)
2711, 20, 25, 26syl3anc 1371 1 (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  wss 3944  c0 4318   class class class wbr 5141  cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  m cmap 8803  supcsup 9417  cr 11091  1c1 11093   < clt 11230  cle 11231   / cdiv 11853  cn 12194  cz 12540  cq 12914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-q 12915
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12947
  Copyright terms: Public domain W3C validator