Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdspw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdspw 33056
Description: Exponentiation law for divisibility. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdspw ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑀𝐾 ∥ (𝑀𝑁)))

Proof of Theorem dvdspw
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 15600 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀))
213adant3 1129 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀))
3 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 iddvdsexp 15624 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∥ (𝐾𝑁))
63, 4, 5syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾𝑁))
7 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
8 nnnn0 11892 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
983ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
109adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11 zexpcl 13440 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑚𝑁) ∈ ℤ)
127, 10, 11syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚𝑁) ∈ ℤ)
13 zexpcl 13440 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
143, 10, 13syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
15 dvdsmul2 15623 . . . . . . 7 (((𝑚𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → (𝐾𝑁) ∥ ((𝑚𝑁) · (𝐾𝑁)))
1612, 14, 15syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁) ∥ ((𝑚𝑁) · (𝐾𝑁)))
1712, 14zmulcld 12081 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚𝑁) · (𝐾𝑁)) ∈ ℤ)
18 dvdstr 15637 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑚𝑁) · (𝐾𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝐾𝑁) ∧ (𝐾𝑁) ∥ ((𝑚𝑁) · (𝐾𝑁))) → 𝐾 ∥ ((𝑚𝑁) · (𝐾𝑁))))
193, 14, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝐾𝑁) ∧ (𝐾𝑁) ∥ ((𝑚𝑁) · (𝐾𝑁))) → 𝐾 ∥ ((𝑚𝑁) · (𝐾𝑁))))
206, 16, 19mp2and 698 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝑚𝑁) · (𝐾𝑁)))
21 zcn 11974 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
2221adantl 485 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
23 zcn 11974 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
24233ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
2524adantr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
2622, 25, 10mulexpd 13521 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) = ((𝑚𝑁) · (𝐾𝑁)))
2720, 26breqtrrd 5070 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁))
28 oveq1 7147 . . . . 5 ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) = (𝑀𝑁))
2928breq2d 5054 . . . 4 ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → (𝐾 ∥ ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)))
3027, 29syl5ibcom 248 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀𝐾 ∥ (𝑀𝑁)))
3130rexlimdva 3270 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀𝐾 ∥ (𝑀𝑁)))
322, 31sylbid 243 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑀𝐾 ∥ (𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wrex 3131   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cc 10524   · cmul 10531  cn 11625  0cn0 11885  cz 11969  cexp 13425  cdvds 15598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426  df-dvds 15599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator