Theorem zsqcl 14036

Description: Integers are closed under squaring. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zsqcl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12398	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		zexpcl 13983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  zsqcl2  14045  zesq  14133  sqoddm1div8  14150  sqrt2irrlem  16157  dvdssqim  16465  dvdssq  16478  nn0gcdsq  16663  numdensq  16665  pythagtriplem3  16730  prmreclem1  16828  4sqlem8  16857  4sqlem10  16859  4sqlem11  16867  4sqlem12  16868  4sqlem14  16870  4sqlem15  16871  4sqlem16  16872  odadd2  19761  muval1  27070  dvdssqf  27075  mumullem1  27116  lgsmulsqcoprm  27281  lgsqrlem2  27285  lgsqrlem4  27287  lgsqr  27289  lgsqrmod  27290  lgsqrmodndvds  27291  2lgsoddprmlem2  27347  2sqlem3  27358  2sqlem4  27359  2sqlem8  27364  2sqblem  27369  2sqcoprm  27373  2sqmod  27374  cos9thpiminplylem2  33796  aks4d1p1p2  42173  pellexlem5  42936  rmspecnonsq  43010  rmspecfund  43012  jm2.18  43091  jm2.22  43098  jm2.20nn  43100  jm2.27a  43108  jm2.27c  43110  jm3.1lem3  43122  sfprmdvdsmersenne  47713