Theorem zsqcl 14285

Description: Integers are closed under squaring. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zsqcl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12636	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		zexpcl 14232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7430  2c2 12410  ℕ₀cn0 12619  ℤcz 12706  ↑cexp 14217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-seq 14158  df-exp 14218

This theorem is used by:  zsqcl2  14294  zesq  14383  sqoddm1div8  14400  sqrt2irrlem  16431  dvdssqim  16742  dvdssq  16757  nn0gcdsq  16943  numdensq  16945  pythagtriplem3  17011  prmreclem1  17109  4sqlem8  17138  4sqlem10  17140  4sqlem11  17148  4sqlem12  17149  4sqlem14  17151  4sqlem15  17152  4sqlem16  17153  odadd2  20078  muval1  27475  dvdssqf  27480  mumullem1  27521  lgsmulsqcoprm  27685  lgsqrlem2  27689  lgsqrlem4  27691  lgsqr  27693  lgsqrmod  27694  lgsqrmodndvds  27695  2lgsoddprmlem2  27751  2sqlem3  27762  2sqlem4  27763  2sqlem8  27768  2sqblem  27773  2sqcoprm  27777  2sqmod  27778  cos9thpiminplylem2  34471  aks4d1p1p2  43266  pellexlem5  43986  rmspecnonsq  44060  rmspecfund  44062  jm2.18  44141  jm2.22  44148  jm2.20nn  44150  jm2.27a  44158  jm2.27c  44160  jm3.1lem3  44172  2timesltsqm1  48594  sfprmdvdsmersenne  48833  nprmdvdsfacm1lem4  48853