MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqcoprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqcoprm 27493
Description: If the sum of two squares is prime, the two original numbers are coprime. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqcoprm.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2sqcoprm.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqcoprm.3 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqcoprm.4 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
2sqcoprm (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Proof of Theorem 2sqcoprm
StepHypRef Expression
1 2sqcoprm.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 2sqcoprm.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 2sqcoprm.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4 2sqcoprm.4 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
51, 2, 3, 42sqn0 27492 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
62, 3gcdcld 16541 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
82adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
93adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
1110neneqd 2942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴 = 0)
1211intnanrd 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
13 gcdn0cl 16535 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
148, 9, 12, 13syl21anc 838 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
1514nnsqcld 14279 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ)
166nn0zd 12636 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
17 sqnprm 16735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℙ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℙ)
19 zsqcl 14165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
21 zsqcl 14165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
222, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
23 zsqcl 14165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
243, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
25 gcddvds 16536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
262, 3, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2726simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
28 dvdssqim 16587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2928imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐴↑2))
3016, 2, 27, 29syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐴↑2))
3126simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
32 dvdssqim 16587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐵↑2)))
3332imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐵↑2))
3416, 3, 31, 33syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐵↑2))
3520, 22, 24, 30, 34dvds2addd 16325 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3635, 4breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2))
391adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℙ)
40 dvdsprm 16736 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 𝑃))
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 𝑃))
4237, 41mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 𝑃)
4342, 39eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℙ)
4418, 43mtand 816 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2))
45 eluz2b3 12961 . . . . . . . . 9 (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
4644, 45sylnib 328 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
47 imnan 399 . . . . . . . 8 ((((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1) ↔ ¬ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
4846, 47sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
4948adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
5015, 49mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1)
51 df-ne 2938 . . . . 5 (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1 ↔ ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1)
5250, 51sylnib 328 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ¬ ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1)
5352notnotrd 133 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1)
54 nn0sqeq1 15311 . . 3 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
557, 53, 54syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
565, 55mpdan 687 1 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  cexp 14098  cdvds 16286   gcd cgcd 16527  cprime 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705
This theorem is referenced by:  2sqmod  27494
  Copyright terms: Public domain W3C validator