Theorem 2sqcoprm 27674

Description: If the sum of two squares is prime, the two original numbers are coprime. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sqcoprm.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqcoprm.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqcoprm.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqcoprm.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
2sqcoprm	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Proof of Theorem 2sqcoprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqcoprm.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		2sqcoprm.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		2sqcoprm.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4		2sqcoprm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
5	1, 2, 3, 4	2sqn0 27673	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
6	2, 3	gcdcld 16601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
8	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
11	10	neneqd 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴 = 0)
12	11	intnanrd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
13		gcdn0cl 16595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
14	8, 9, 12, 13	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
15	14	nnsqcld 14311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ)
16	6	nn0zd 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
17		sqnprm 16796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℙ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℙ)
19		zsqcl 14196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
20	16, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
21		zsqcl 14196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
22	2, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
23		zsqcl 14196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
24	3, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
25		gcddvds 16596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
26	2, 3, 25	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
27	26	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
28		dvdssqim 16647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐴↑2)))
29	28	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐴↑2))
30	16, 2, 27, 29	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐴↑2))
31	26	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
32		dvdssqim 16647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐵↑2)))
33	32	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐵↑2))
34	16, 3, 31, 33	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐵↑2))
35	20, 22, 24, 30, 34	dvds2addd 16385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
36	35, 4	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃)
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ≥‘2))
39	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℙ)
40		dvdsprm 16797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 𝑃))
41	38, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 𝑃))
42	37, 41	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 𝑃)
43	42, 39	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℙ)
44	18, 43	mtand 828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ≥‘2))
45		eluz2b3 12974	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
46	44, 45	sylnib 331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
47		imnan 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1) ↔ ¬ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
48	46, 47	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
50	15, 49	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1)
51		df-ne 2956	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1 ↔ ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1)
52	50, 51	sylnib 331	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1)
53	52	notnotrd 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1)
54		nn0sqeq1 15366	. . 3 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
55	7, 53, 54	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
56	5, 55	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12260  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ↑cexp 14128   ∥ cdvds 16345   gcd cgcd 16587  ℙcprime 16764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-dvds 16346  df-gcd 16588  df-prm 16765

This theorem is used by:  2sqmod  27675