MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqcoprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqcoprm 27175
Description: If the sum of two squares is prime, the two original numbers are coprime. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqcoprm.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2sqcoprm.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqcoprm.3 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqcoprm.4 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
2sqcoprm (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Proof of Theorem 2sqcoprm
StepHypRef Expression
1 2sqcoprm.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 2sqcoprm.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 2sqcoprm.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4 2sqcoprm.4 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
51, 2, 3, 42sqn0 27174 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
62, 3gcdcld 16454 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
82adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
93adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
1110neneqd 2944 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴 = 0)
1211intnanrd 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
13 gcdn0cl 16448 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
148, 9, 12, 13syl21anc 835 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
1514nnsqcld 14212 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ)
166nn0zd 12589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
17 sqnprm 16644 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℙ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℙ)
19 zsqcl 14099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
21 zsqcl 14099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
222, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
23 zsqcl 14099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
243, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
25 gcddvds 16449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
262, 3, 25syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2726simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
28 dvdssqim 16501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐴↑2)))
2928imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐴↑2))
3016, 2, 27, 29syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐴↑2))
3126simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
32 dvdssqim 16501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐵↑2)))
3332imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐵↑2))
3416, 3, 31, 33syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ (𝐵↑2))
3520, 22, 24, 30, 34dvds2addd 16240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3635, 4breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2))
391adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℙ)
40 dvdsprm 16645 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 𝑃))
4138, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∥ 𝑃 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 𝑃))
4237, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 𝑃)
4342, 39eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℙ)
4418, 43mtand 813 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2))
45 eluz2b3 12911 . . . . . . . . 9 (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
4644, 45sylnib 328 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
47 imnan 399 . . . . . . . 8 ((((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1) ↔ ¬ (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
4846, 47sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
4948adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1))
5015, 49mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1)
51 df-ne 2940 . . . . 5 (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 1 ↔ ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1)
5250, 51sylnib 328 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ¬ ¬ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1)
5352notnotrd 133 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1)
54 nn0sqeq1 15228 . . 3 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
557, 53, 54syl2anc 583 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
565, 55mpdan 684 1 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  cn 12217  2c2 12272  0cn0 12477  cz 12563  cuz 12827  cexp 14032  cdvds 16202   gcd cgcd 16440  cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614
This theorem is referenced by:  2sqmod  27176
  Copyright terms: Public domain W3C validator