Theorem dvdssqlem 16603

Description: Lemma for dvdssq 16604. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqlem	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12634	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		nnz 12634	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdssqim 16591	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
5		sqgcd 16599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
7		nnsqcl 14168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
8		nnsqcl 14168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
9		gcdeq 16590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℕ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
11	10	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
12	6, 11	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2))
13		gcdcl 16543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
14	1, 2, 13	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
16	14	nn0ge0d 12590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
17		nnre 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
19		nnnn0 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20	19	nn0ge0d 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑀)
22		sq11 14171	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀)) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
23	15, 16, 18, 21, 22	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
25	12, 24	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀)
26		gcddvds 16540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
27	1, 2, 26	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
29	28	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
30	25, 29	eqbrtrrd 5167	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → 𝑀 ∥ 𝑁)
31	30	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) → 𝑀 ∥ 𝑁))
32	4, 31	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16290   gcd cgcd 16531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532

This theorem is referenced by:  dvdssq  16604  muval1  27176  fltabcoprm  42652