MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdssqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdssqlem 16599
Description: Lemma for dvdssq 16600. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssqlem ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssqlem
StepHypRef Expression
1 nnz 12631 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2 nnz 12631 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3 dvdssqim 16587 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
5 sqgcd 16595 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
65adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
7 nnsqcl 14164 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
8 nnsqcl 14164 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
9 gcdeq 16586 . . . . . . . 8 (((𝑀↑2) ∈ ℕ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
107, 8, 9syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
1110biimpar 477 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
126, 11eqtrd 2774 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2))
13 gcdcl 16539 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
141, 2, 13syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
1514nn0red 12585 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
1614nn0ge0d 12587 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
17 nnre 12270 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
19 nnnn0 12530 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
2019nn0ge0d 12587 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑀)
22 sq11 14167 . . . . . . 7 ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀)) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
2315, 16, 18, 21, 22syl22anc 839 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
2423adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
2512, 24mpbid 232 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀)
26 gcddvds 16536 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
271, 2, 26syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
2827adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
2928simprd 495 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
3025, 29eqbrtrrd 5171 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → 𝑀𝑁)
3130ex 412 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) → 𝑀𝑁))
324, 31impbid 212 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  cle 11293  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cexp 14098  cdvds 16286   gcd cgcd 16527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528
This theorem is referenced by:  dvdssq  16600  muval1  27190  fltabcoprm  42628
  Copyright terms: Public domain W3C validator