MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsunit 20395
Description: A divisor of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsunit.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsunit.3 = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsunit ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋𝑋𝑈) → 𝑌𝑈)

Proof of Theorem dvdsunit
StepHypRef Expression
1 crngring 20262 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2734 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 dvdsunit.3 . . . . . 6 = (∥r𝑅)
42, 3dvdsrtr 20384 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 𝑋𝑋 (1r𝑅)) → 𝑌 (1r𝑅))
543expia 1120 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋 (1r𝑅) → 𝑌 (1r𝑅)))
61, 5sylan 580 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋 (1r𝑅) → 𝑌 (1r𝑅)))
7 dvdsunit.1 . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8 eqid 2734 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
97, 8, 3crngunit 20394 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝑈𝑋 (1r𝑅)))
109adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋𝑈𝑋 (1r𝑅)))
117, 8, 3crngunit 20394 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝑌𝑈𝑌 (1r𝑅)))
1211adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌𝑈𝑌 (1r𝑅)))
136, 10, 123imtr4d 294 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋𝑈𝑌𝑈))
14133impia 1116 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋𝑋𝑈) → 𝑌𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  Basecbs 17244  1rcur 20198  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  rcdsr 20370  Unitcui 20371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-cmn 19814  df-mgp 20152  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374
This theorem is referenced by:  unitmulclb  20397  rsprprmprmidl  33529
  Copyright terms: Public domain W3C validator