MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsunit 19392
Description: A divisor of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsunit.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsunit.3 = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsunit ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋𝑋𝑈) → 𝑌𝑈)

Proof of Theorem dvdsunit
StepHypRef Expression
1 crngring 19287 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 dvdsunit.3 . . . . . 6 = (∥r𝑅)
42, 3dvdsrtr 19381 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 𝑋𝑋 (1r𝑅)) → 𝑌 (1r𝑅))
543expia 1118 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋 (1r𝑅) → 𝑌 (1r𝑅)))
61, 5sylan 583 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋 (1r𝑅) → 𝑌 (1r𝑅)))
7 dvdsunit.1 . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8 eqid 2821 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
97, 8, 3crngunit 19391 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝑈𝑋 (1r𝑅)))
109adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋𝑈𝑋 (1r𝑅)))
117, 8, 3crngunit 19391 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝑌𝑈𝑌 (1r𝑅)))
1211adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌𝑈𝑌 (1r𝑅)))
136, 10, 123imtr4d 297 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋𝑈𝑌𝑈))
14133impia 1114 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋𝑋𝑈) → 𝑌𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5039  cfv 6328  Basecbs 16462  1rcur 19230  Ringcrg 19276  CRingccrg 19277  rcdsr 19367  Unitcui 19368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371
This theorem is referenced by:  unitmulclb  19394
  Copyright terms: Public domain W3C validator