MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsunit 20379
Description: A divisor of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsunit.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsunit.3 = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsunit ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋𝑋𝑈) → 𝑌𝑈)

Proof of Theorem dvdsunit
StepHypRef Expression
1 crngring 20242 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 dvdsunit.3 . . . . . 6 = (∥r𝑅)
42, 3dvdsrtr 20368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 𝑋𝑋 (1r𝑅)) → 𝑌 (1r𝑅))
543expia 1122 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋 (1r𝑅) → 𝑌 (1r𝑅)))
61, 5sylan 580 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋 (1r𝑅) → 𝑌 (1r𝑅)))
7 dvdsunit.1 . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8 eqid 2737 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
97, 8, 3crngunit 20378 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝑈𝑋 (1r𝑅)))
109adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋𝑈𝑋 (1r𝑅)))
117, 8, 3crngunit 20378 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝑌𝑈𝑌 (1r𝑅)))
1211adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌𝑈𝑌 (1r𝑅)))
136, 10, 123imtr4d 294 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋𝑈𝑌𝑈))
14133impia 1118 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 𝑋𝑋𝑈) → 𝑌𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  1rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  rcdsr 20354  Unitcui 20355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358
This theorem is referenced by:  unitmulclb  20381  rsprprmprmidl  33550
  Copyright terms: Public domain W3C validator