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Theorem elfz0fzfz0 13547
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0fzfz0 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem elfz0fzfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 13533 . . . 4 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
2 elfz2 13432 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)))
3 nn0re 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
4 nn0re 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
5 zre 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
63, 4, 53anim123i 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
763expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8 letr 11250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀𝐿𝐿𝑁) → 𝑀𝑁))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐿𝐿𝑁) → 𝑀𝑁))
10 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
11 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13 elnn0z 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
14 0red 11159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
15 zre 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
175adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 letr 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1914, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2019exp4b 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁))))
2120com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁))))
2221imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
2313, 22sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
2524imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
2625imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
27 elnn0z 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
2812, 26, 27sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
3010, 28, 293jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
3130ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
329, 31syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐿𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
3332exp4b 432 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝐿 → (𝐿𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))))
3433com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐿 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))))
35343impia 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
3635com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝐿𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑁𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
3837com12 32 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿𝑁𝑁𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
39383ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑁𝑁𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
4039imp 408 . . . . . 6 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
412, 40sylbi 216 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
4241com12 32 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
431, 42sylbi 216 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
4443imp 408 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
45 elfz2nn0 13533 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
4644, 45sylibr 233 1 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052  cle 11191  0cn0 12414  cz 12500  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2c  14619
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