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Theorem elfz0fzfz0 13639
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0fzfz0 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem elfz0fzfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 13625 . . . 4 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
2 elfz2 13524 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)))
3 nn0re 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
4 nn0re 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
5 zre 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
63, 4, 53anim123i 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
763expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8 letr 11339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀𝐿𝐿𝑁) → 𝑀𝑁))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐿𝐿𝑁) → 𝑀𝑁))
10 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
11 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13 elnn0z 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
14 0red 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
15 zre 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
175adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 letr 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1914, 16, 17, 18syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2019exp4b 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁))))
2120com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁))))
2221imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
2313, 22sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
2524imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
2625imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
27 elnn0z 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
2812, 26, 27sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
3010, 28, 293jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
3130ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
329, 31syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐿𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
3332exp4b 430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝐿 → (𝐿𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))))
3433com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐿 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))))
35343impia 1115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
3635com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝐿𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
3736adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑁𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
3837com12 32 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿𝑁𝑁𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
39383ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑁𝑁𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
4039imp 406 . . . . . 6 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
412, 40sylbi 216 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
4241com12 32 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
431, 42sylbi 216 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
4443imp 406 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
45 elfz2nn0 13625 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
4644, 45sylibr 233 1 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085  wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  cr 11138  0cc0 11139  cle 11280  0cn0 12503  cz 12589  ...cfz 13517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518
This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2c  14713
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