MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz0ubfz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz0ubfz0 13010
Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with the upper bound being an element of the finite set of sequential nonnegative integers with the same lower bound as for the first interval and the element under consideration as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0ubfz0 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))

Proof of Theorem elfz0ubfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12997 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
2 elfz2 12896 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)))
3 simpr1 1191 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4 elnn0z 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
5 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
6 0z 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℤ
7 zletr 12018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
86, 7mp3an1 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
9 elnn0z 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
109simplbi2 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿𝐿 ∈ ℕ0))
115, 8, 10sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0))
1211expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾𝐿𝐿 ∈ ℕ0)))
1312impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿𝐿 ∈ ℕ0)))
144, 13sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿𝐿 ∈ ℕ0)))
1514com13 88 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)))
1615adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾𝐿𝐿𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)))
1716com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)))
18173ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)))
1918imp 410 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0))
2019com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0))
21203ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0))
2221impcom 411 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
23 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝐾𝐿)
243, 22, 233jca 1125 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿))
2524ex 416 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿)))
262, 25sylbi 220 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿)))
2726com12 32 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿)))
281, 27sylbi 220 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿)))
2928imp 410 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿))
30 elfz2nn0 12997 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿))
3129, 30sylibr 237 1 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  0cc0 10530  cle 10669  0cn0 11889  cz 11973  ...cfz 12889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890
This theorem is referenced by:  swrdswrd  14062
  Copyright terms: Public domain W3C validator