Theorem elfz0ubfz0 13199

Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with the upper bound being an element of the finite set of sequential nonnegative integers with the same lower bound as for the first interval and the element under consideration as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0ubfz0	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))

Proof of Theorem elfz0ubfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13186	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2		elfz2 13085	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
3		simpr1 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4		elnn0z 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
5		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
6		0z 12170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		zletr 12204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
8	6, 7	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
9		elnn0z 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
10	9	simplbi2 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0))
11	5, 8, 10	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0))
12	11	expd 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
13	12	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
14	4, 13	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
15	14	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
17	16	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
18	17	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
19	18	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0))
20	19	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0))
21	20	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0))
22	21	impcom 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
23		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝐿)
24	3, 22, 23	3jca 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿))
25	24	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
26	2, 25	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
27	26	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
28	1, 27	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
29	28	imp 410	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿))
30		elfz2nn0 13186	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿))
31	29, 30	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5043  (class class class)co 7202  0cc0 10712   ≤ cle 10851  ℕ₀cn0 12073  ℤcz 12159  ...cfz 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079

This theorem is referenced by:  swrdswrd  14253