Theorem fz0fzelfz0 13612

Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzelfz0	⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → 𝑀 ∈ (0...𝑅))

Proof of Theorem fz0fzelfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13597	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑅) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅))
2		elfz2 13496	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
3		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		0red 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
5		nn0re 12486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		zre 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	4, 6, 8	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
11		nn0ge0 12502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
13	12	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
14		letr 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 0 ≤ 𝑀))
15	10, 13, 14	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 0 ≤ 𝑀)
16		elnn0z 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
17	3, 15, 16	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
18	17	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
19	18	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
20	19	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → (𝑁 ≤ 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
21	20	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
22	21	adantrd 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
23	22	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
24	23	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0))
25	24	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
26		simpr2 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27		simplrr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅)) → 𝑀 ≤ 𝑅)
28	25, 26, 27	3jca 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅))
29	28	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
30	2, 29	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
31	30	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
32	1, 31	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑅) → (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
33	32	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅))
34		elfz2nn0 13597	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑅) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅))
35	33, 34	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → 𝑀 ∈ (0...𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  ℝcr 11112  0cc0 11113   ≤ cle 11254  ℕ₀cn0 12477  ℤcz 12563  ...cfz 13489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490

This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  13615  fourierdlem15  45138