Theorem fz0fzelfz0 13564

Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzelfz0	⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → 𝑀 ∈ (0...𝑅))

Proof of Theorem fz0fzelfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13548	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑅) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅))
2		elfz2 13444	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
3		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		0red 11149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
5		nn0re 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		zre 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	4, 6, 8	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
11		nn0ge0 12440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
13	12	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
14		letr 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 0 ≤ 𝑀))
15	10, 13, 14	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 0 ≤ 𝑀)
16		elnn0z 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
17	3, 15, 16	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
18	17	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ0)))
19	18	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
20	19	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → (𝑁 ≤ 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
21	20	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
22	21	adantrd 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
23	22	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
24	23	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0))
25	24	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
26		simpr2 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅)) → 𝑀 ≤ 𝑅)
28	25, 26, 27	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅))
29	28	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
30	2, 29	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
31	30	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑅) → (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
32	1, 31	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑅) → (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅)))
33	32	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅))
34		elfz2nn0 13548	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑅) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑅))
35	33, 34	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → 𝑀 ∈ (0...𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040   ≤ cle 11181  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  13567  fourierdlem15  46509