MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  esum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum 16022
Description: Value of Euler's constant e = 2.71828.... (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
esum e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))

Proof of Theorem esum
StepHypRef Expression
1 df-e 16010 . 2 e = (exp‘1)
2 ax-1cn 11165 . . 3 1 ∈ ℂ
3 efval 16021 . . 3 (1 ∈ ℂ → (exp‘1) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
42, 3ax-mp 5 . 2 (exp‘1) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1↑𝑘) / (!‘𝑘))
5 nn0z 12581 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
6 1exp 14055 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1↑𝑘) = 1)
87oveq1d 7417 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (1 / (!‘𝑘)))
98sumeq2i 15643 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
101, 4, 93eqtri 2756 1 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6534  (class class class)co 7402  cc 11105  1c1 11108   / cdiv 11869  0cn0 12470  cz 12556  cexp 14025  !cfa 14231  Σcsu 15630  expce 16003  eceu 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-seq 13965  df-exp 14026  df-sum 15631  df-ef 16009  df-e 16010
This theorem is referenced by:  eirrlem  16146
  Copyright terms: Public domain W3C validator