Theorem esum 15642

Description: Value of Euler's constant e = 2.71828.... (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
esum	⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))

Proof of Theorem esum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-e 15630	. 2 ⊢ e = (exp‘1)
2		ax-1cn 10787	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		efval 15641	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ → (exp‘1) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (exp‘1) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1↑𝑘) / (!‘𝑘))
5		nn0z 12200	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
6		1exp 13664	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1↑𝑘) = 1)
8	7	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (1 / (!‘𝑘)))
9	8	sumeq2i 15263	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
10	1, 4, 9	3eqtri 2769	1 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  1c1 10730   / cdiv 11489  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  ↑cexp 13635  !cfa 13839  Σcsu 15249  expce 15623  eceu 15624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-sum 15250  df-ef 15629  df-e 15630

This theorem is referenced by:  eirrlem  15765