Theorem eff 16025

Description: Domain and codomain of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eff	⊢ exp:ℂ⟶ℂ

Proof of Theorem eff

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ef 16011	. 2 ⊢ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2		nn0uz 12864	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3		0zd 12570	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑥↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑥↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5	4	eftval 16020	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑥↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6	5	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑥↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)))
7		eftcl 16017	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
8	4	efcllem 16021	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑥↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
9	2, 3, 6, 7, 8	isumcl 15707	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10	1, 9	fmpti 7112	1 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   / cdiv 11871  ℕ₀cn0 12472  ↑cexp 14027  !cfa 14233  Σcsu 15632  expce 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011

This theorem is referenced by:  efcl  16026  eff2  16042  reeff1  16063  dveflem  25496  dvef  25497  dvsincos  25498  efcn  25955  efcvx  25961  pige3ALT  26029  efabl  26059  efsubm  26060  dvrelog  26145  dvlog  26159  efopn  26166  dvcxp1  26248  dvcxp2  26249  dvcncxp1  26251  gamf  26547  gamcvg2lem  26563  itgexpif  33618  iprodefisumlem  34710  seff  43068  dvsef  43091  expgrowthi  43092  expgrowth  43094