Theorem eff 16157

Description: Domain and codomain of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eff	⊢ exp:ℂ⟶ℂ

Proof of Theorem eff

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ef 16143	. 2 ⊢ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2		nn0uz 12916	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3		0zd 12618	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑥↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑥↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5	4	eftval 16152	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑥↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑥↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)))
7		eftcl 16149	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
8	4	efcllem 16153	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑥↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
9	2, 3, 6, 7, 8	isumcl 15835	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑥↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10	1, 9	fmpti 7111	1 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115   / cdiv 11886  ℕ₀cn0 12519  ↑cexp 14115  !cfa 14327  Σcsu 15761  expce 16137

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-ico 13394  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143

This theorem is used by:  efcl  16158  eff2  16177  reeff1  16198  dveflem  26189  dvef  26190  dvsincos  26191  efcn  26657  efcvx  26663  pige3ALT  26736  efabl  26766  efsubm  26767  dvrelog  26853  dvlog  26867  efopn  26874  dvcxp1  26956  dvcxp2  26957  dvcncxp1  26959  gamf  27258  gamcvg2lem  27274  itgexpif  35058  iprodefisumlem  36269  seff  45077  dvsef  45100  expgrowthi  45101  expgrowth  45103