Theorem 1exp 14238

Description: Value of 1 raised to an integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11307	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 4619	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		ax-1ne0 11273	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
4		ax-1cn 11262	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 4742	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 4597	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 4597	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 12508	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		ovex 7454	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
14	13	elsn 4595	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
15	12, 14	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
16	7	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17		1div1e1 12011	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
18	16, 17	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19		ovex 7454	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
20	19	elsn 4595	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
21	18, 20	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
23	6, 15, 2, 22	expcl2lem 14220	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
24	2, 3, 23	mp3an12 1480	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25		elsni 4597	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
26	24, 25	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895  {csn 4584  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   / cdiv 11977  ℤcz 12697  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by:  exprec  14250  sq1  14342  iexpcyc  14355  faclbnd4lem1  14441  iseraltlem2  15856  iseraltlem3  15857  binom1p  16006  binom11  16007  pwm1geoser  16044  esum  16252  ege2le3  16262  eirrlem  16378  nn0rppwr  16741  numdenexp  16943  odzdvds  16979  efmnd1hash  19094  iblabsr  26156  iblmulc2  26157  abelthlem1  26764  abelthlem3  26766  abelthlem8  26772  abelthlem9  26773  ef2kpi  26813  root1cj  27090  cxpeq  27091  zrtelqelz  27092  quart  27195  leibpi  27276  log2cnv  27278  mule1  27481  lgseisenlem1  27708  lgseisenlem4  27711  lgseisen  27712  lgsquadlem1  27713  lgsquad2lem1  27717  m1lgs  27721  dchrisum0flblem1  27841  cos9thpiminplylem1  34461  subfaclim  36040  iblmulc2nc  38697  lcmineqlem1  43173  lcmineqlem3  43175  lcmineqlem12  43184  aks4d1p1p2  43214  explt1d  43474  expeq1d  43475  expeqidd  43476  expdioph  44124  lhe4.4ex1a  45407  fprodexp  46700  stoweidlem7  47111  stirlinglem5  47182  stirlinglem7  47184  stirlinglem10  47187  2pwp1prm  48768  m1expevenALTV  48839  4fppr1  48927  altgsumbc  49558