Theorem 1exp 14272

Description: Value of 1 raised to an integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11340	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 4623	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		ax-1ne0 11306	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
4		ax-1cn 11295	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 4746	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 4601	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 4601	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 12542	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		ovex 7482	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
14	13	elsn 4599	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
15	12, 14	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
16	7	oveq2d 7465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17		1div1e1 12045	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
18	16, 17	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19		ovex 7482	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
20	19	elsn 4599	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
21	18, 20	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
23	6, 15, 2, 22	expcl2lem 14254	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
24	2, 3, 23	mp3an12 1481	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25		elsni 4601	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
26	24, 25	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  {csn 4588  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238   · cmul 11242   / cdiv 12011  ℤcz 12731  ↑cexp 14242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-seq 14183  df-exp 14243

This theorem is used by:  exprec  14284  sq1  14376  iexpcyc  14389  faclbnd4lem1  14476  iseraltlem2  15891  iseraltlem3  15892  binom1p  16041  binom11  16042  pwm1geoser  16079  esum  16287  ege2le3  16297  eirrlem  16413  nn0rppwr  16776  numdenexp  16978  odzdvds  17014  efmnd1hash  19129  iblabsr  26194  iblmulc2  26195  abelthlem1  26804  abelthlem3  26806  abelthlem8  26812  abelthlem9  26813  ef2kpi  26853  root1cj  27130  cxpeq  27131  zrtelqelz  27132  quart  27235  leibpi  27316  log2cnv  27318  mule1  27521  lgseisenlem1  27748  lgseisenlem4  27751  lgseisen  27752  lgsquadlem1  27753  lgsquad2lem1  27757  m1lgs  27761  dchrisum0flblem1  27881  cos9thpiminplylem1  34518  subfaclim  36154  iblmulc2nc  38864  lcmineqlem1  43338  lcmineqlem3  43340  lcmineqlem12  43349  aks4d1p1p2  43379  explt1d  43640  expeq1d  43641  expeqidd  43642  expdioph  44290  lhe4.4ex1a  45568  fprodexp  46873  stoweidlem7  47284  stirlinglem5  47355  stirlinglem7  47357  stirlinglem10  47360  2pwp1prm  48941  m1expevenALTV  49012  4fppr1  49100  altgsumbc  49789