Theorem 1exp 14132

Description: Value of 1 raised to an integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11257	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 4662	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		ax-1ne0 11224	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
4		ax-1cn 11213	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 4808	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 4643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 4643	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 12428	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
14	13	elsn 4641	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
15	12, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
16	7	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17		1div1e1 11958	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
18	16, 17	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
20	19	elsn 4641	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
21	18, 20	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
23	6, 15, 2, 22	expcl2lem 14114	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
24	2, 3, 23	mp3an12 1453	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25		elsni 4643	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
26	24, 25	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3951  {csn 4626  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  ℤcz 12613  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  exprec  14144  sq1  14234  iexpcyc  14246  faclbnd4lem1  14332  iseraltlem2  15719  iseraltlem3  15720  binom1p  15867  binom11  15868  pwm1geoser  15905  esum  16116  ege2le3  16126  eirrlem  16240  nn0rppwr  16598  numdenexp  16797  odzdvds  16833  efmnd1hash  18905  iblabsr  25865  iblmulc2  25866  abelthlem1  26475  abelthlem3  26477  abelthlem8  26483  abelthlem9  26484  ef2kpi  26520  root1cj  26799  cxpeq  26800  zrtelqelz  26801  quart  26904  leibpi  26985  log2cnv  26987  mule1  27191  lgseisenlem1  27419  lgseisenlem4  27422  lgseisen  27423  lgsquadlem1  27424  lgsquad2lem1  27428  m1lgs  27432  dchrisum0flblem1  27552  subfaclim  35193  iblmulc2nc  37692  lcmineqlem1  42030  lcmineqlem3  42032  lcmineqlem12  42041  aks4d1p1p2  42071  explt1d  42358  expeq1d  42359  expeqidd  42360  expdioph  43035  lhe4.4ex1a  44348  fprodexp  45609  stoweidlem7  46022  stirlinglem5  46093  stirlinglem7  46095  stirlinglem10  46098  2pwp1prm  47576  m1expevenALTV  47634  4fppr1  47722  altgsumbc  48268