Theorem 1exp 13993

Description: Value of 1 raised to an integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11103	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 4610	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		ax-1ne0 11070	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
4		ax-1cn 11059	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 4755	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 4588	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 4588	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 7350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 12277	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		ovex 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
14	13	elsn 4586	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
15	12, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
16	7	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17		1div1e1 11807	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
18	16, 17	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19		ovex 7374	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
20	19	elsn 4586	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
21	18, 20	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
23	6, 15, 2, 22	expcl2lem 13975	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
24	2, 3, 23	mp3an12 1453	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25		elsni 4588	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
26	24, 25	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3897  {csn 4571  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002   · cmul 11006   / cdiv 11769  ℤcz 12463  ↑cexp 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904  df-exp 13964

This theorem is referenced by:  exprec  14005  sq1  14097  iexpcyc  14109  faclbnd4lem1  14195  iseraltlem2  15585  iseraltlem3  15586  binom1p  15733  binom11  15734  pwm1geoser  15771  esum  15982  ege2le3  15992  eirrlem  16108  nn0rppwr  16467  numdenexp  16666  odzdvds  16702  efmnd1hash  18795  iblabsr  25753  iblmulc2  25754  abelthlem1  26363  abelthlem3  26365  abelthlem8  26371  abelthlem9  26372  ef2kpi  26409  root1cj  26688  cxpeq  26689  zrtelqelz  26690  quart  26793  leibpi  26874  log2cnv  26876  mule1  27080  lgseisenlem1  27308  lgseisenlem4  27311  lgseisen  27312  lgsquadlem1  27313  lgsquad2lem1  27317  m1lgs  27321  dchrisum0flblem1  27441  cos9thpiminplylem1  33787  subfaclim  35224  iblmulc2nc  37725  lcmineqlem1  42062  lcmineqlem3  42064  lcmineqlem12  42073  aks4d1p1p2  42103  explt1d  42356  expeq1d  42357  expeqidd  42358  expdioph  43056  lhe4.4ex1a  44362  fprodexp  45634  stoweidlem7  46045  stirlinglem5  46116  stirlinglem7  46118  stirlinglem10  46121  2pwp1prm  47620  m1expevenALTV  47678  4fppr1  47766  altgsumbc  48383