MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1exp 14054
Description: Value of 1 raised to an integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 11207 . . . 4 1 โˆˆ V
21snid 4664 . . 3 1 โˆˆ {1}
3 ax-1ne0 11176 . . 3 1 โ‰  0
4 ax-1cn 11165 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
5 snssi 4811 . . . . 5 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ {1} โŠ† โ„‚)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 {1} โŠ† โ„‚
7 elsni 4645 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ {1} โ†’ ๐‘ฅ = 1)
8 elsni 4645 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ {1} โ†’ ๐‘ฆ = 1)
9 oveq12 7415 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท 1))
10 1t1e1 12371 . . . . . . 7 (1 ยท 1) = 1
119, 10eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)
127, 8, 11syl2an 597 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ {1} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {1}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)
13 ovex 7439 . . . . . 6 (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ V
1413elsn 4643 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1} โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 1)
1512, 14sylibr 233 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ {1} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {1}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1})
167oveq2d 7422 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ {1} โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / 1))
17 1div1e1 11901 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
1816, 17eqtrdi 2789 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ {1} โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = 1)
19 ovex 7439 . . . . . . 7 (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ V
2019elsn 4643 . . . . . 6 ((1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1} โ†” (1 / ๐‘ฅ) = 1)
2118, 20sylibr 233 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {1} โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1})
2221adantr 482 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ {1} โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1})
236, 15, 2, 22expcl2lem 14036 . . 3 ((1 โˆˆ {1} โˆง 1 โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1โ†‘๐‘) โˆˆ {1})
242, 3, 23mp3an12 1452 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘) โˆˆ {1})
25 elsni 4645 . 2 ((1โ†‘๐‘) โˆˆ {1} โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
2624, 25syl 17 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โŠ† wss 3948  {csn 4628  (class class class)co 7406  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   ยท cmul 11112   / cdiv 11868  โ„คcz 12555  โ†‘cexp 14024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025
This theorem is referenced by:  exprec  14066  sq1  14156  iexpcyc  14168  faclbnd4lem1  14250  iseraltlem2  15626  iseraltlem3  15627  binom1p  15774  binom11  15775  pwm1geoser  15812  esum  16021  ege2le3  16030  eirrlem  16144  odzdvds  16725  efmnd1hash  18770  iblabsr  25339  iblmulc2  25340  abelthlem1  25935  abelthlem3  25937  abelthlem8  25943  abelthlem9  25944  ef2kpi  25980  root1cj  26254  cxpeq  26255  quart  26356  leibpi  26437  log2cnv  26439  mule1  26642  lgseisenlem1  26868  lgseisenlem4  26871  lgseisen  26872  lgsquadlem1  26873  lgsquad2lem1  26877  m1lgs  26881  dchrisum0flblem1  27001  subfaclim  34168  iblmulc2nc  36542  lcmineqlem1  40883  lcmineqlem3  40885  lcmineqlem12  40894  aks4d1p1p2  40924  nn0rppwr  41220  numdenexp  41224  zrtelqelz  41232  expdioph  41748  lhe4.4ex1a  43074  fprodexp  44297  stoweidlem7  44710  stirlinglem5  44781  stirlinglem7  44783  stirlinglem10  44786  2pwp1prm  46244  m1expevenALTV  46302  4fppr1  46390  altgsumbc  46982
  Copyright terms: Public domain W3C validator