MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1exp 13446
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 10625 . . . 4 1 ∈ V
21snid 4591 . . 3 1 ∈ {1}
3 ax-1ne0 10594 . . 3 1 ≠ 0
4 ax-1cn 10583 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 snssi 4733 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 {1} ⊆ ℂ
7 elsni 4574 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8 elsni 4574 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9 oveq12 7154 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10 1t1e1 11787 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
119, 10syl6eq 2869 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
127, 8, 11syl2an 595 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13 ovex 7178 . . . . . 6 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
1413elsn 4572 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
1512, 14sylibr 235 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
167oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17 1div1e1 11318 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
1816, 17syl6eq 2869 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19 ovex 7178 . . . . . . 7 (1 / 𝑥) ∈ V
2019elsn 4572 . . . . . 6 ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
2118, 20sylibr 235 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
2221adantr 481 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
236, 15, 2, 22expcl2lem 13429 . . 3 ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
242, 3, 23mp3an12 1442 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25 elsni 4574 . 2 ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
2624, 25syl 17 1 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wss 3933  {csn 4557  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   / cdiv 11285  cz 11969  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  exprec  13458  sq1  13546  iexpcyc  13557  faclbnd4lem1  13641  iseraltlem2  15027  iseraltlem3  15028  binom1p  15174  binom11  15175  pwm1geoser  15212  pwm1geoserOLD  15213  esum  15422  ege2le3  15431  eirrlem  15545  odzdvds  16120  iblabsr  24357  iblmulc2  24358  abelthlem1  24946  abelthlem3  24948  abelthlem8  24954  abelthlem9  24955  ef2kpi  24991  root1cj  25264  cxpeq  25265  quart  25366  leibpi  25447  log2cnv  25449  mule1  25652  lgseisenlem1  25878  lgseisenlem4  25881  lgseisen  25882  lgsquadlem1  25883  lgsquad2lem1  25887  m1lgs  25891  dchrisum0flblem1  26011  subfaclim  32332  iblmulc2nc  34838  nn0rppwr  39060  numdenexp  39064  zrtelqelz  39070  expdioph  39498  lhe4.4ex1a  40538  fprodexp  41751  stoweidlem7  42169  stirlinglem5  42240  stirlinglem7  42242  stirlinglem10  42245  2pwp1prm  43628  m1expevenALTV  43689  4fppr1  43777  efmnd1hash  43989  altgsumbc  44328
  Copyright terms: Public domain W3C validator