Theorem 1exp 14127

Description: Value of 1 raised to an integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11203	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 4633	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		ax-1ne0 11169	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
4		ax-1cn 11158	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 4756	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 12402	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		ovex 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
14	13	elsn 4609	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
15	12, 14	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
16	7	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17		1div1e1 11905	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
18	16, 17	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19		ovex 7444	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
20	19	elsn 4609	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
21	18, 20	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
22	21	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
23	6, 15, 2, 22	expcl2lem 14109	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
24	2, 3, 23	mp3an12 1477	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25		elsni 4611	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
26	24, 25	syl 18	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913  {csn 4594  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105   / cdiv 11871  ℤcz 12591  ↑cexp 14097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-seq 14038  df-exp 14098

This theorem is referenced by:  exprec  14139  sq1  14231  iexpcyc  14243  faclbnd4lem1  14329  iseraltlem2  15734  iseraltlem3  15735  binom1p  15885  binom11  15886  pwm1geoser  15923  esum  16134  ege2le3  16144  eirrlem  16260  nn0rppwr  16619  numdenexp  16819  odzdvds  16855  efmnd1hash  18951  iblabsr  25958  iblmulc2  25959  abelthlem1  26560  abelthlem3  26562  abelthlem8  26568  abelthlem9  26569  ef2kpi  26609  root1cj  26887  cxpeq  26888  zrtelqelz  26889  quart  26992  leibpi  27073  log2cnv  27075  mule1  27278  lgseisenlem1  27505  lgseisenlem4  27508  lgseisen  27509  lgsquadlem1  27510  lgsquad2lem1  27514  m1lgs  27518  dchrisum0flblem1  27638  cos9thpiminplylem1  34117  subfaclim  35613  iblmulc2nc  38258  lcmineqlem1  42720  lcmineqlem3  42722  lcmineqlem12  42731  aks4d1p1p2  42761  explt1d  43008  expeq1d  43009  expeqidd  43010  expdioph  43676  lhe4.4ex1a  44965  fprodexp  46236  stoweidlem7  46647  stirlinglem5  46718  stirlinglem7  46720  stirlinglem10  46723  2pwp1prm  48264  m1expevenALTV  48335  4fppr1  48423  altgsumbc  49051