Theorem 1exp 14128

Description: Value of 1 raised to an integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11254	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 4666	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		ax-1ne0 11221	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
4		ax-1cn 11210	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 4812	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 4647	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 4647	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 12425	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		ovex 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
14	13	elsn 4645	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
15	12, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
16	7	oveq2d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17		1div1e1 11955	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
18	16, 17	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19		ovex 7463	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
20	19	elsn 4645	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
21	18, 20	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
23	6, 15, 2, 22	expcl2lem 14110	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
24	2, 3, 23	mp3an12 1450	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25		elsni 4647	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
26	24, 25	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3962  {csn 4630  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   / cdiv 11917  ℤcz 12610  ↑cexp 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-exp 14099

This theorem is referenced by:  exprec  14140  sq1  14230  iexpcyc  14242  faclbnd4lem1  14328  iseraltlem2  15715  iseraltlem3  15716  binom1p  15863  binom11  15864  pwm1geoser  15901  esum  16112  ege2le3  16122  eirrlem  16236  nn0rppwr  16594  numdenexp  16793  odzdvds  16828  efmnd1hash  18917  iblabsr  25879  iblmulc2  25880  abelthlem1  26489  abelthlem3  26491  abelthlem8  26497  abelthlem9  26498  ef2kpi  26534  root1cj  26813  cxpeq  26814  zrtelqelz  26815  quart  26918  leibpi  26999  log2cnv  27001  mule1  27205  lgseisenlem1  27433  lgseisenlem4  27436  lgseisen  27437  lgsquadlem1  27438  lgsquad2lem1  27442  m1lgs  27446  dchrisum0flblem1  27566  subfaclim  35172  iblmulc2nc  37671  lcmineqlem1  42010  lcmineqlem3  42012  lcmineqlem12  42021  aks4d1p1p2  42051  explt1d  42336  expeq1d  42337  expeqidd  42338  expdioph  43011  lhe4.4ex1a  44324  fprodexp  45549  stoweidlem7  45962  stirlinglem5  46033  stirlinglem7  46035  stirlinglem10  46038  2pwp1prm  47513  m1expevenALTV  47571  4fppr1  47659  altgsumbc  48196