Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1exp 13474
 Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 10644 . . . 4 1 ∈ V
21snid 4564 . . 3 1 ∈ {1}
3 ax-1ne0 10613 . . 3 1 ≠ 0
4 ax-1cn 10602 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 snssi 4704 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 {1} ⊆ ℂ
7 elsni 4545 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8 elsni 4545 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9 oveq12 7154 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10 1t1e1 11805 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
119, 10eqtrdi 2849 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
127, 8, 11syl2an 598 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13 ovex 7178 . . . . . 6 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
1413elsn 4543 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
1512, 14sylibr 237 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
167oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17 1div1e1 11337 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
1816, 17eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19 ovex 7178 . . . . . . 7 (1 / 𝑥) ∈ V
2019elsn 4543 . . . . . 6 ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
2118, 20sylibr 237 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
2221adantr 484 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
236, 15, 2, 22expcl2lem 13457 . . 3 ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
242, 3, 23mp3an12 1448 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25 elsni 4545 . 2 ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
2624, 25syl 17 1 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ⊆ wss 3883  {csn 4528  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  0cc0 10544  1c1 10545   · cmul 10549   / cdiv 11304  ℤcz 11989  ↑cexp 13445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-seq 13385  df-exp 13446 This theorem is referenced by:  exprec  13486  sq1  13574  iexpcyc  13585  faclbnd4lem1  13669  iseraltlem2  15051  iseraltlem3  15052  binom1p  15198  binom11  15199  pwm1geoser  15236  pwm1geoserOLD  15237  esum  15446  ege2le3  15455  eirrlem  15569  odzdvds  16142  efmnd1hash  18069  iblabsr  24474  iblmulc2  24475  abelthlem1  25070  abelthlem3  25072  abelthlem8  25078  abelthlem9  25079  ef2kpi  25115  root1cj  25389  cxpeq  25390  quart  25491  leibpi  25572  log2cnv  25574  mule1  25777  lgseisenlem1  26003  lgseisenlem4  26006  lgseisen  26007  lgsquadlem1  26008  lgsquad2lem1  26012  m1lgs  26016  dchrisum0flblem1  26136  subfaclim  32614  iblmulc2nc  35273  lcmineqlem1  39468  lcmineqlem3  39470  lcmineqlem12  39479  nn0rppwr  39661  numdenexp  39665  zrtelqelz  39671  expdioph  40135  lhe4.4ex1a  41204  fprodexp  42404  stoweidlem7  42817  stirlinglem5  42888  stirlinglem7  42890  stirlinglem10  42893  2pwp1prm  44274  m1expevenALTV  44333  4fppr1  44421  altgsumbc  44922
 Copyright terms: Public domain W3C validator