Theorem evenltle 47705

Description: If an even number is greater than another even number, then it is greater than or equal to the other even number plus 2. (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evenltle	⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem evenltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenz 47618	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℤ)
2		evenz 47618	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zltp1le 12543	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
5	1	zred 12598	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℝ)
6		peano2re 11307	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
8	2	zred 12598	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11220	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁)))
10	7, 8, 9	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁)))
11	1	peano2zd 12601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
12		zltp1le 12543	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁))
13	11, 2, 12	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁))
14	1	zcnd 12599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → 𝑀 ∈ ℂ)
16		add1p1 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
18	17	breq1d 5105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
19	18	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
20	13, 19	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
21		evenp1odd 47628	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ Odd )
22		zneoALTV 47657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑀 + 1) ∈ Odd ) → 𝑁 ≠ (𝑀 + 1))
23		eqneqall 2936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑀 + 1) → (𝑁 ≠ (𝑀 + 1) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
24	23	eqcoms 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑁 ≠ (𝑀 + 1) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
25	22, 24	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑀 + 1) ∈ Odd ) → ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
26	21, 25	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
27	20, 26	jaod 859	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
28	10, 27	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
29	4, 28	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
30	29	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169  2c2 12201  ℤcz 12489   Even ceven 47612   Odd codd 47613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-even 47614  df-odd 47615

This theorem is referenced by:  mogoldbb  47773