Theorem evenltle 47754

Description: If an even number is greater than another even number, then it is greater than or equal to the other even number plus 2. (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evenltle	⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem evenltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenz 47667	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℤ)
2		evenz 47667	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zltp1le 12522	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
5	1	zred 12577	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℝ)
6		peano2re 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
8	2	zred 12577	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11199	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁)))
10	7, 8, 9	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁)))
11	1	peano2zd 12580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
12		zltp1le 12522	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁))
13	11, 2, 12	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁))
14	1	zcnd 12578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → 𝑀 ∈ ℂ)
16		add1p1 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
18	17	breq1d 5101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
19	18	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
20	13, 19	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
21		evenp1odd 47677	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ Odd )
22		zneoALTV 47706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑀 + 1) ∈ Odd ) → 𝑁 ≠ (𝑀 + 1))
23		eqneqall 2939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑀 + 1) → (𝑁 ≠ (𝑀 + 1) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
24	23	eqcoms 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑁 ≠ (𝑀 + 1) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
25	22, 24	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑀 + 1) ∈ Odd ) → ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
26	21, 25	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
27	20, 26	jaod 859	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
28	10, 27	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
29	4, 28	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
30	29	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   ≤ cle 11147  2c2 12180  ℤcz 12468   Even ceven 47661   Odd codd 47662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-even 47663  df-odd 47664

This theorem is referenced by:  mogoldbb  47822