Theorem evenltle 48299

Description: If an even number is greater than another even number, then it is greater than or equal to the other even number plus 2. (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evenltle	⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem evenltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenz 48212	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℤ)
2		evenz 48212	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zltp1le 12614	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2anr 606	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
5	1	zred 12670	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℝ)
6		peano2re 11349	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
8	2	zred 12670	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11262	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁)))
10	7, 8, 9	syl2anr 606	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁)))
11	1	peano2zd 12673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
12		zltp1le 12614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁))
13	11, 2, 12	syl2anr 606	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁))
14	1	zcnd 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → 𝑀 ∈ ℂ)
16		add1p1 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
18	17	breq1d 5107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
19	18	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
20	13, 19	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
21		evenp1odd 48222	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ Odd )
22		zneoALTV 48251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑀 + 1) ∈ Odd ) → 𝑁 ≠ (𝑀 + 1))
23		eqneqall 2967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑀 + 1) → (𝑁 ≠ (𝑀 + 1) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
24	23	eqcoms 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑁 ≠ (𝑀 + 1) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
25	22, 24	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑀 + 1) ∈ Odd ) → ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
26	21, 25	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
27	20, 26	jaod 870	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
28	10, 27	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
29	4, 28	sylbid 242	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
30	29	3impia 1129	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  ℝcr 11065  1c1 11067   + caddc 11069   < clt 11209   ≤ cle 11210  2c2 12265  ℤcz 12561   Even ceven 48206   Odd codd 48207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-even 48208  df-odd 48209

This theorem is referenced by:  mogoldbb  48367