Theorem evenltle 47704

Description: If an even number is greater than another even number, then it is greater than or equal to the other even number plus 2. (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evenltle	⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem evenltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenz 47617	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℤ)
2		evenz 47617	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zltp1le 12667	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
5	1	zred 12722	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℝ)
6		peano2re 11434	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
8	2	zred 12722	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11347	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁)))
10	7, 8, 9	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁)))
11	1	peano2zd 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
12		zltp1le 12667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁))
13	11, 2, 12	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁))
14	1	zcnd 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ Even → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → 𝑀 ∈ ℂ)
16		add1p1 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
18	17	breq1d 5153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
19	18	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
20	13, 19	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) < 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
21		evenp1odd 47627	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Even → (𝑀 + 1) ∈ Odd )
22		zneoALTV 47656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑀 + 1) ∈ Odd ) → 𝑁 ≠ (𝑀 + 1))
23		eqneqall 2951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑀 + 1) → (𝑁 ≠ (𝑀 + 1) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
24	23	eqcoms 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑁 ≠ (𝑀 + 1) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
25	22, 24	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑀 + 1) ∈ Odd ) → ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
26	21, 25	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) = 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
27	20, 26	jaod 860	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (((𝑀 + 1) < 𝑁 ∨ (𝑀 + 1) = 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
28	10, 27	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
29	4, 28	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁))
30	29	3impia 1118	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑀 ∈ Even ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 + 2) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296  2c2 12321  ℤcz 12613   Even ceven 47611   Odd codd 47612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-even 47613  df-odd 47614

This theorem is referenced by:  mogoldbb  47772