Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mogoldbb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mogoldbb 47262
Description: If the modern version of the original formulation of the Goldbach conjecture is valid, the (weak) binary Goldbach conjecture also holds. (Contributed by AV, 26-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
mogoldbb (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑟

Proof of Theorem mogoldbb
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfra1 3271 . 2 𝑛𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)
2 eqeq1 2729 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
32rexbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
432rexbidv 3209 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
54cbvralvw 3224 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
6 6nn 12334 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
76nnzi 12619 . . . . . . . 8 6 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 6 ∈ ℤ)
9 evenz 47107 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
10 2z 12627 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ Even → 2 ∈ ℤ)
129, 11zaddcld 12703 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ Even → (𝑛 + 2) ∈ ℤ)
1312adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑛 + 2) ∈ ℤ)
14 4cn 12330 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
15 2cn 12320 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
16 4p2e6 12398 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
1716eqcomi 2734 . . . . . . . . . 10 6 = (4 + 2)
1814, 15, 17mvrraddi 11509 . . . . . . . . 9 (6 − 2) = 4
19 2p2e4 12380 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
20 2evenALTV 47169 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ Even
21 evenltle 47194 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (2 + 2) ≤ 𝑛)
2220, 21mp3an2 1445 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (2 + 2) ≤ 𝑛)
2319, 22eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 4 ≤ 𝑛)
2418, 23eqbrtrid 5184 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (6 − 2) ≤ 𝑛)
25 6re 12335 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Even → 6 ∈ ℝ)
27 2re 12319 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Even → 2 ∈ ℝ)
299zred 12699 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
3026, 28, 293jca 1125 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ Even → (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
3130adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
32 lesubadd 11718 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((6 − 2) ≤ 𝑛 ↔ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → ((6 − 2) ≤ 𝑛 ↔ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
3424, 33mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 6 ≤ (𝑛 + 2))
35 eluz2 12861 . . . . . . 7 ((𝑛 + 2) ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 2) ∈ ℤ ∧ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
368, 13, 34, 35syl3anbrc 1340 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑛 + 2) ∈ (ℤ‘6))
37 eqeq1 2729 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 2) → (𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
3837rexbidv 3168 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 2) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
39382rexbidv 3209 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛 + 2) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4039rspcv 3602 . . . . . 6 ((𝑛 + 2) ∈ (ℤ‘6) → (∀𝑚 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4136, 40syl 17 . . . . 5 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
425, 41biimtrid 241 . . . 4 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43 nfv 1909 . . . . 5 𝑝(𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛)
44 nfre1 3272 . . . . 5 𝑝𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
45 nfv 1909 . . . . . . 7 𝑞((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ)
46 nfcv 2891 . . . . . . . 8 𝑞
47 nfre1 3272 . . . . . . . 8 𝑞𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
4846, 47nfrexw 3300 . . . . . . 7 𝑞𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
49 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
50 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
51 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑟 ∈ ℙ)
5249, 50, 513jca 1125 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
5352adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
54 simp-4l 781 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑛 ∈ Even )
55 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
56 mogoldbblem 47197 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ Even ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑦 ∈ ℙ ∃𝑥 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥))
57 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑦 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑦 + 𝑞))
5857eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑦 → (𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑛 = (𝑦 + 𝑞)))
59 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑞) = (𝑦 + 𝑥))
6059eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → (𝑛 = (𝑦 + 𝑞) ↔ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥)))
6158, 60cbvrex2vw 3229 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℙ ∃𝑥 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥))
6256, 61sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ Even ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))
6353, 54, 55, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))
6463rexlimdva2 3146 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
6564expr 455 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑞 ∈ ℙ → (∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
6645, 48, 65rexlimd 3253 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
6766ex 411 . . . . 5 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
6843, 44, 67rexlimd 3253 . . . 4 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
6942, 68syldc 48 . . 3 (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
7069expd 414 . 2 (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑛 ∈ Even → (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
711, 70ralrimi 3244 1 (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139   + caddc 11143   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  2c2 12300  4c4 12302  6c6 12304  cz 12591  cuz 12855  cprime 16645   Even ceven 47101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-prm 16646  df-even 47103  df-odd 47104
This theorem is referenced by:  sbgoldbmb  47263
  Copyright terms: Public domain W3C validator