Theorem mogoldbb 44853

Description: If the modern version of the original formulation of the Goldbach conjecture is valid, the (weak) binary Goldbach conjecture also holds. (Contributed by AV, 26-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mogoldbb	⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑟

Proof of Theorem mogoldbb

Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 3130	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)
2		eqeq1 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
3	2	rexbidv 3206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4	3	2rexbidv 3209	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
5	4	cbvralvw 3348	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
6		6nn 11884	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12166	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 6 ∈ ℤ)
9		evenz 44698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
10		2z 12174	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 2 ∈ ℤ)
12	9, 11	zaddcld 12251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ Even → (𝑛 + 2) ∈ ℤ)
13	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑛 + 2) ∈ ℤ)
14		4cn 11880	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		2cn 11870	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		4p2e6 11948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
17	16	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 = (4 + 2)
18	14, 15, 17	mvrraddi 11060	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 − 2) = 4
19		2p2e4 11930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 2) = 4
20		2evenALTV 44760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ Even
21		evenltle 44785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (2 + 2) ≤ 𝑛)
22	20, 21	mp3an2 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (2 + 2) ≤ 𝑛)
23	19, 22	eqbrtrrid 5075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 4 ≤ 𝑛)
24	18, 23	eqbrtrid 5074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (6 − 2) ≤ 𝑛)
25		6re 11885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 6 ∈ ℝ)
27		2re 11869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 2 ∈ ℝ)
29	9	zred 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
30	26, 28, 29	3jca 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Even → (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
31	30	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
32		lesubadd 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((6 − 2) ≤ 𝑛 ↔ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → ((6 − 2) ≤ 𝑛 ↔ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
34	24, 33	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 6 ≤ (𝑛 + 2))
35		eluz2 12409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 + 2) ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 2) ∈ ℤ ∧ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
36	8, 13, 34, 35	syl3anbrc 1345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑛 + 2) ∈ (ℤ≥‘6))
37		eqeq1 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 2) → (𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
38	37	rexbidv 3206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 2) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
39	38	2rexbidv 3209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 2) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
40	39	rspcv 3522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 + 2) ∈ (ℤ≥‘6) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
41	36, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
42	5, 41	syl5bi 245	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43		nfv 1922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛)
44		nfre1 3215	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑝∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
45		nfv 1922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ)
46		nfcv 2897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞ℙ
47		nfre1 3215	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
48	46, 47	nfrex 3218	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
49		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
50		simplrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
51		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑟 ∈ ℙ)
52	49, 50, 51	3jca 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
53	52	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
54		simp-4l 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑛 ∈ Even )
55		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
56		mogoldbblem 44788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ Even ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑦 ∈ ℙ ∃𝑥 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥))
57		oveq1 7198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑦 + 𝑞))
58	57	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑛 = (𝑦 + 𝑞)))
59		oveq2 7199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑞) = (𝑦 + 𝑥))
60	59	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑛 = (𝑦 + 𝑞) ↔ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥)))
61	58, 60	cbvrex2vw 3362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℙ ∃𝑥 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥))
62	56, 61	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ Even ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))
63	53, 54, 55, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))
64	63	rexlimdva2 3196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
65	64	expr 460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑞 ∈ ℙ → (∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
66	45, 48, 65	rexlimd 3226	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
67	66	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
68	43, 44, 67	rexlimd 3226	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
69	42, 68	syldc 48	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
70	69	expd 419	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑛 ∈ Even → (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
71	1, 70	ralrimi 3127	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  ∃wrex 3052   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693   + caddc 10697   < clt 10832   ≤ cle 10833   − cmin 11027  2c2 11850  4c4 11852  6c6 11854  ℤcz 12141  ℤ_≥cuz 12403  ℙcprime 16191   Even ceven 44692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-dvds 15779  df-prm 16192  df-even 44694  df-odd 44695

This theorem is referenced by:  sbgoldbmb  44854