Theorem mogoldbb 45655

Description: If the modern version of the original formulation of the Goldbach conjecture is valid, the (weak) binary Goldbach conjecture also holds. (Contributed by AV, 26-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mogoldbb	⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑟

Proof of Theorem mogoldbb

Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 3264	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)
2		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
3	2	rexbidv 3172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4	3	2rexbidv 3210	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
5	4	cbvralvw 3222	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
6		6nn 12167	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12449	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 6 ∈ ℤ)
9		evenz 45500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
10		2z 12457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 2 ∈ ℤ)
12	9, 11	zaddcld 12535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ Even → (𝑛 + 2) ∈ ℤ)
13	12	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑛 + 2) ∈ ℤ)
14		4cn 12163	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		2cn 12153	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		4p2e6 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
17	16	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 = (4 + 2)
18	14, 15, 17	mvrraddi 11343	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 − 2) = 4
19		2p2e4 12213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 2) = 4
20		2evenALTV 45562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ Even
21		evenltle 45587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (2 + 2) ≤ 𝑛)
22	20, 21	mp3an2 1449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (2 + 2) ≤ 𝑛)
23	19, 22	eqbrtrrid 5132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 4 ≤ 𝑛)
24	18, 23	eqbrtrid 5131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (6 − 2) ≤ 𝑛)
25		6re 12168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 6 ∈ ℝ)
27		2re 12152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 2 ∈ ℝ)
29	9	zred 12531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
30	26, 28, 29	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Even → (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
31	30	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
32		lesubadd 11552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((6 − 2) ≤ 𝑛 ↔ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → ((6 − 2) ≤ 𝑛 ↔ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
34	24, 33	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 6 ≤ (𝑛 + 2))
35		eluz2 12693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 + 2) ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 2) ∈ ℤ ∧ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
36	8, 13, 34, 35	syl3anbrc 1343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑛 + 2) ∈ (ℤ≥‘6))
37		eqeq1 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 2) → (𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
38	37	rexbidv 3172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 2) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
39	38	2rexbidv 3210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 2) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
40	39	rspcv 3569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 + 2) ∈ (ℤ≥‘6) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
41	36, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
42	5, 41	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛)
44		nfre1 3265	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑝∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
45		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ)
46		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞ℙ
47		nfre1 3265	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
48	46, 47	nfrexw 3293	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
49		simplrl 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
50		simplrr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
51		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑟 ∈ ℙ)
52	49, 50, 51	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
53	52	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
54		simp-4l 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑛 ∈ Even )
55		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
56		mogoldbblem 45590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ Even ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑦 ∈ ℙ ∃𝑥 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥))
57		oveq1 7348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑦 + 𝑞))
58	57	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑛 = (𝑦 + 𝑞)))
59		oveq2 7349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑞) = (𝑦 + 𝑥))
60	59	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑛 = (𝑦 + 𝑞) ↔ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥)))
61	58, 60	cbvrex2vw 3225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℙ ∃𝑥 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥))
62	56, 61	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ Even ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))
63	53, 54, 55, 62	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))
64	63	rexlimdva2 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
65	64	expr 458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑞 ∈ ℙ → (∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
66	45, 48, 65	rexlimd 3246	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
67	66	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
68	43, 44, 67	rexlimd 3246	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
69	42, 68	syldc 48	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
70	69	expd 417	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑛 ∈ Even → (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
71	1, 70	ralrimi 3237	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  ℝcr 10975   + caddc 10979   < clt 11114   ≤ cle 11115   − cmin 11310  2c2 12133  4c4 12135  6c6 12137  ℤcz 12424  ℤ_≥cuz 12687  ℙcprime 16473   Even ceven 45494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-sup 9303  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-rp 12836  df-seq 13827  df-exp 13888  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-dvds 16063  df-prm 16474  df-even 45496  df-odd 45497

This theorem is referenced by:  sbgoldbmb  45656