Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mogoldbb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mogoldbb 44290
Description: If the modern version of the original formulation of the Goldbach conjecture is valid, the (weak) binary Goldbach conjecture also holds. (Contributed by AV, 26-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
mogoldbb (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑟

Proof of Theorem mogoldbb
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfra1 3186 . 2 𝑛𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)
2 eqeq1 2805 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
32rexbidv 3259 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
432rexbidv 3262 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
54cbvralvw 3399 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
6 6nn 11718 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
76nnzi 11998 . . . . . . . 8 6 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 6 ∈ ℤ)
9 evenz 44135 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
10 2z 12006 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ Even → 2 ∈ ℤ)
129, 11zaddcld 12083 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ Even → (𝑛 + 2) ∈ ℤ)
1312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑛 + 2) ∈ ℤ)
14 4cn 11714 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
15 2cn 11704 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
16 4p2e6 11782 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
1716eqcomi 2810 . . . . . . . . . 10 6 = (4 + 2)
1814, 15, 17mvrraddi 10896 . . . . . . . . 9 (6 − 2) = 4
19 2p2e4 11764 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
20 2evenALTV 44197 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ Even
21 evenltle 44222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (2 + 2) ≤ 𝑛)
2220, 21mp3an2 1446 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (2 + 2) ≤ 𝑛)
2319, 22eqbrtrrid 5069 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 4 ≤ 𝑛)
2418, 23eqbrtrid 5068 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (6 − 2) ≤ 𝑛)
25 6re 11719 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Even → 6 ∈ ℝ)
27 2re 11703 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Even → 2 ∈ ℝ)
299zred 12079 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
3026, 28, 293jca 1125 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ Even → (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
3130adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
32 lesubadd 11105 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((6 − 2) ≤ 𝑛 ↔ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → ((6 − 2) ≤ 𝑛 ↔ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
3424, 33mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 6 ≤ (𝑛 + 2))
35 eluz2 12241 . . . . . . 7 ((𝑛 + 2) ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 2) ∈ ℤ ∧ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
368, 13, 34, 35syl3anbrc 1340 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑛 + 2) ∈ (ℤ‘6))
37 eqeq1 2805 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 2) → (𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
3837rexbidv 3259 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 2) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
39382rexbidv 3262 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛 + 2) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4039rspcv 3569 . . . . . 6 ((𝑛 + 2) ∈ (ℤ‘6) → (∀𝑚 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4136, 40syl 17 . . . . 5 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
425, 41syl5bi 245 . . . 4 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43 nfv 1915 . . . . 5 𝑝(𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛)
44 nfre1 3268 . . . . 5 𝑝𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
45 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑞((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ)
46 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑞
47 nfre1 3268 . . . . . . . 8 𝑞𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
4846, 47nfrex 3271 . . . . . . 7 𝑞𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
49 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
50 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
51 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑟 ∈ ℙ)
5249, 50, 513jca 1125 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
5352adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
54 simp-4l 782 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑛 ∈ Even )
55 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
56 mogoldbblem 44225 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ Even ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑦 ∈ ℙ ∃𝑥 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥))
57 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑦 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑦 + 𝑞))
5857eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑦 → (𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑛 = (𝑦 + 𝑞)))
59 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑞) = (𝑦 + 𝑥))
6059eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑥 → (𝑛 = (𝑦 + 𝑞) ↔ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥)))
6158, 60cbvrex2vw 3412 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℙ ∃𝑥 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥))
6256, 61sylibr 237 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ Even ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))
6353, 54, 55, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))
6463rexlimdva2 3249 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
6564expr 460 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑞 ∈ ℙ → (∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
6645, 48, 65rexlimd 3279 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
6766ex 416 . . . . 5 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
6843, 44, 67rexlimd 3279 . . . 4 ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
6942, 68syldc 48 . . 3 (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
7069expd 419 . 2 (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑛 ∈ Even → (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
711, 70ralrimi 3183 1 (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529   + caddc 10533   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  2c2 11684  4c4 11686  6c6 11688  cz 11973  cuz 12235  cprime 16008   Even ceven 44129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-prm 16009  df-even 44131  df-odd 44132
This theorem is referenced by:  sbgoldbmb  44291
  Copyright terms: Public domain W3C validator