Theorem mogoldbb 46097

Description: If the modern version of the original formulation of the Goldbach conjecture is valid, the (weak) binary Goldbach conjecture also holds. (Contributed by AV, 26-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mogoldbb	⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑟

Proof of Theorem mogoldbb

Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 3265	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)
2		eqeq1 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
3	2	rexbidv 3171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4	3	2rexbidv 3209	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
5	4	cbvralvw 3223	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
6		6nn 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12536	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 6 ∈ ℤ)
9		evenz 45942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
10		2z 12544	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 2 ∈ ℤ)
12	9, 11	zaddcld 12620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ Even → (𝑛 + 2) ∈ ℤ)
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑛 + 2) ∈ ℤ)
14		4cn 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
15		2cn 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		4p2e6 12315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
17	16	eqcomi 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 = (4 + 2)
18	14, 15, 17	mvrraddi 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 − 2) = 4
19		2p2e4 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 2) = 4
20		2evenALTV 46004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ Even
21		evenltle 46029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (2 + 2) ≤ 𝑛)
22	20, 21	mp3an2 1449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (2 + 2) ≤ 𝑛)
23	19, 22	eqbrtrrid 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 4 ≤ 𝑛)
24	18, 23	eqbrtrid 5145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (6 − 2) ≤ 𝑛)
25		6re 12252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 6 ∈ ℝ)
27		2re 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 2 ∈ ℝ)
29	9	zred 12616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
30	26, 28, 29	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Even → (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
31	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
32		lesubadd 11636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((6 − 2) ≤ 𝑛 ↔ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → ((6 − 2) ≤ 𝑛 ↔ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
34	24, 33	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → 6 ≤ (𝑛 + 2))
35		eluz2 12778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 + 2) ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 2) ∈ ℤ ∧ 6 ≤ (𝑛 + 2)))
36	8, 13, 34, 35	syl3anbrc 1343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑛 + 2) ∈ (ℤ≥‘6))
37		eqeq1 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 2) → (𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
38	37	rexbidv 3171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 2) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
39	38	2rexbidv 3209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 2) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
40	39	rspcv 3578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 + 2) ∈ (ℤ≥‘6) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
41	36, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
42	5, 41	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛)
44		nfre1 3266	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑝∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
45		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ)
46		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞ℙ
47		nfre1 3266	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
48	46, 47	nfrexw 3294	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)
49		simplrl 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
50		simplrr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
51		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑟 ∈ ℙ)
52	49, 50, 51	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
54		simp-4l 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑛 ∈ Even )
55		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
56		mogoldbblem 46032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ Even ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑦 ∈ ℙ ∃𝑥 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥))
57		oveq1 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑦 + 𝑞))
58	57	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑛 = (𝑦 + 𝑞)))
59		oveq2 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑞) = (𝑦 + 𝑥))
60	59	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑛 = (𝑦 + 𝑞) ↔ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥)))
61	58, 60	cbvrex2vw 3226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑦 ∈ ℙ ∃𝑥 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑦 + 𝑥))
62	56, 61	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ Even ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))
63	53, 54, 55, 62	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))
64	63	rexlimdva2 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
65	64	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑞 ∈ ℙ → (∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
66	45, 48, 65	rexlimd 3247	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
67	66	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
68	43, 44, 67	rexlimd 3247	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ (𝑛 + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
69	42, 68	syldc 48	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ((𝑛 ∈ Even ∧ 2 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
70	69	expd 416	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑛 ∈ Even → (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞))))
71	1, 70	ralrimi 3238	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℝcr 11059   + caddc 11063   < clt 11198   ≤ cle 11199   − cmin 11394  2c2 12217  4c4 12219  6c6 12221  ℤcz 12508  ℤ_≥cuz 12772  ℙcprime 16558   Even ceven 45936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-seq 13917  df-exp 13978  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-dvds 16148  df-prm 16559  df-even 45938  df-odd 45939

This theorem is referenced by:  sbgoldbmb  46098