Theorem 9gbo 48462

Description: 9 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
9gbo	⊢ 9 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 9gbo

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12310	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8even 48401	. . . 4 ⊢ 8 ∈ Even
3		evenp1odd 48328	. . . 4 ⊢ (8 ∈ Even → (8 + 1) ∈ Odd )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (8 + 1) ∈ Odd
5	1, 4	eqeltri 2865	. 2 ⊢ 9 ∈ Odd
6		3prm 16752	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
7		3odd 48396	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ Odd
8	7, 7, 7	3pm3.2i 1356	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )
9		gbpart9 48457	. . . . 5 ⊢ 9 = ((3 + 3) + 3)
10	8, 9	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))
11		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 3 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
12	11	3anbi3d 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )))
13		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 3 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 3))
14	13	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 3 → (9 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 3) + 3)))
15	12, 14	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))))
16	15	rspcev 3590	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)))
17	6, 10, 16	mp2an 704	. . 3 ⊢ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))
18		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
19	18	3anbi1d 1466	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
20		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
21	20	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
22	21	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
23	19, 22	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
24	23	rexbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
25		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
26	25	3anbi2d 1467	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
27		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
28	27	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
29	28	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)))
30	26, 29	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))))
31	30	rexbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))))
32	24, 31	rspc2ev 3603	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
33	6, 6, 17, 32	mp3an 1487	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
34		isgbo 48441	. 2 ⊢ (9 ∈ GoldbachOdd ↔ (9 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
35	5, 33, 34	mpbir2an 723	1 ⊢ 9 ∈ GoldbachOdd

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  (class class class)co 7411  1c1 11101   + caddc 11103  3c3 12296  8c8 12301  9c9 12302  ℙcprime 16729   Even ceven 48312   Odd codd 48313   GoldbachOdd cgbo 48435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-prm 16730  df-even 48314  df-odd 48315  df-gbo 48438

This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  48493