Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  9gbo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9gbo 42338
Description: 9 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
9gbo 9 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 9gbo
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-9 11342 . . 3 9 = (8 + 1)
2 8even 42298 . . . 4 8 ∈ Even
3 evenp1odd 42229 . . . 4 (8 ∈ Even → (8 + 1) ∈ Odd )
42, 3ax-mp 5 . . 3 (8 + 1) ∈ Odd
51, 4eqeltri 2840 . 2 9 ∈ Odd
6 3prm 15686 . . 3 3 ∈ ℙ
7 3odd 42293 . . . . . 6 3 ∈ Odd
87, 7, 73pm3.2i 1438 . . . . 5 (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )
9 gbpart9 42333 . . . . 5 9 = ((3 + 3) + 3)
108, 9pm3.2i 462 . . . 4 ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))
11 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑟 = 3 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
12113anbi3d 1566 . . . . . 6 (𝑟 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )))
13 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑟 = 3 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 3))
1413eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑟 = 3 → (9 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 3) + 3)))
1512, 14anbi12d 624 . . . . 5 (𝑟 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))))
1615rspcev 3461 . . . 4 ((3 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)))
176, 10, 16mp2an 683 . . 3 𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))
18 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
19183anbi1d 1564 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
20 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
2120oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
2221eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → (9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
2319, 22anbi12d 624 . . . . 5 (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
2423rexbidv 3199 . . . 4 (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
25 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
26253anbi2d 1565 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
27 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
2827oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
2928eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → (9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)))
3026, 29anbi12d 624 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3130rexbidv 3199 . . . 4 (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3224, 31rspc2ev 3476 . . 3 ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
336, 6, 17, 32mp3an 1585 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
34 isgbo 42317 . 2 (9 ∈ GoldbachOdd ↔ (9 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
355, 33, 34mpbir2an 702 1 9 ∈ GoldbachOdd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  (class class class)co 6842  1c1 10190   + caddc 10192  3c3 11328  8c8 11333  9c9 11334  cprime 15665   Even ceven 42213   Odd codd 42214   GoldbachOdd cgbo 42311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-dvds 15266  df-prm 15666  df-even 42215  df-odd 42216  df-gbo 42314
This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  42369
  Copyright terms: Public domain W3C validator