Theorem 9gbo 47884

Description: 9 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
9gbo	⊢ 9 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 9gbo

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 12195	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8even 47823	. . . 4 ⊢ 8 ∈ Even
3		evenp1odd 47750	. . . 4 ⊢ (8 ∈ Even → (8 + 1) ∈ Odd )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (8 + 1) ∈ Odd
5	1, 4	eqeltri 2827	. 2 ⊢ 9 ∈ Odd
6		3prm 16605	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
7		3odd 47818	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ Odd
8	7, 7, 7	3pm3.2i 1340	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )
9		gbpart9 47879	. . . . 5 ⊢ 9 = ((3 + 3) + 3)
10	8, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))
11		eleq1 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 3 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
12	11	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )))
13		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 3 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 3))
14	13	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 3 → (9 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 3) + 3)))
15	12, 14	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))))
16	15	rspcev 3572	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)))
17	6, 10, 16	mp2an 692	. . 3 ⊢ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))
18		eleq1 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
19	18	3anbi1d 1442	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
20		oveq1 7353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
21	20	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
22	21	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
23	19, 22	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
24	23	rexbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
25		eleq1 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
26	25	3anbi2d 1443	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
27		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
28	27	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
29	28	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)))
30	26, 29	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))))
31	30	rexbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))))
32	24, 31	rspc2ev 3585	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
33	6, 6, 17, 32	mp3an 1463	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
34		isgbo 47863	. 2 ⊢ (9 ∈ GoldbachOdd ↔ (9 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
35	5, 33, 34	mpbir2an 711	1 ⊢ 9 ∈ GoldbachOdd

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  (class class class)co 7346  1c1 11007   + caddc 11009  3c3 12181  8c8 12186  9c9 12187  ℙcprime 16582   Even ceven 47734   Odd codd 47735   GoldbachOdd cgbo 47857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583  df-even 47736  df-odd 47737  df-gbo 47860

This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  47915