Theorem 9gbo 43938

Description: 9 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
9gbo	⊢ 9 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 9gbo

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 11706	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8even 43877	. . . 4 ⊢ 8 ∈ Even
3		evenp1odd 43804	. . . 4 ⊢ (8 ∈ Even → (8 + 1) ∈ Odd )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (8 + 1) ∈ Odd
5	1, 4	eqeltri 2909	. 2 ⊢ 9 ∈ Odd
6		3prm 16037	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
7		3odd 43872	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ Odd
8	7, 7, 7	3pm3.2i 1335	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )
9		gbpart9 43933	. . . . 5 ⊢ 9 = ((3 + 3) + 3)
10	8, 9	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))
11		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 3 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
12	11	3anbi3d 1438	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )))
13		oveq2 7163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 3 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 3))
14	13	eqeq2d 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 3 → (9 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 3) + 3)))
15	12, 14	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))))
16	15	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)))
17	6, 10, 16	mp2an 690	. . 3 ⊢ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))
18		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
19	18	3anbi1d 1436	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
20		oveq1 7162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
21	20	oveq1d 7170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
22	21	eqeq2d 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
23	19, 22	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
24	23	rexbidv 3297	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
25		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
26	25	3anbi2d 1437	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
27		oveq2 7163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
28	27	oveq1d 7170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
29	28	eqeq2d 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)))
30	26, 29	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))))
31	30	rexbidv 3297	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))))
32	24, 31	rspc2ev 3634	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
33	6, 6, 17, 32	mp3an 1457	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
34		isgbo 43917	. 2 ⊢ (9 ∈ GoldbachOdd ↔ (9 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
35	5, 33, 34	mpbir2an 709	1 ⊢ 9 ∈ GoldbachOdd

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  (class class class)co 7155  1c1 10537   + caddc 10539  3c3 11692  8c8 11697  9c9 11698  ℙcprime 16014   Even ceven 43788   Odd codd 43789   GoldbachOdd cgbo 43911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-prm 16015  df-even 43790  df-odd 43791  df-gbo 43914

This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  43969