Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  9gbo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9gbo 44222
Description: 9 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
9gbo 9 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 9gbo
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-9 11704 . . 3 9 = (8 + 1)
2 8even 44161 . . . 4 8 ∈ Even
3 evenp1odd 44088 . . . 4 (8 ∈ Even → (8 + 1) ∈ Odd )
42, 3ax-mp 5 . . 3 (8 + 1) ∈ Odd
51, 4eqeltri 2912 . 2 9 ∈ Odd
6 3prm 16036 . . 3 3 ∈ ℙ
7 3odd 44156 . . . . . 6 3 ∈ Odd
87, 7, 73pm3.2i 1336 . . . . 5 (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )
9 gbpart9 44217 . . . . 5 9 = ((3 + 3) + 3)
108, 9pm3.2i 474 . . . 4 ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))
11 eleq1 2903 . . . . . . 7 (𝑟 = 3 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
12113anbi3d 1439 . . . . . 6 (𝑟 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )))
13 oveq2 7157 . . . . . . 7 (𝑟 = 3 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 3))
1413eqeq2d 2835 . . . . . 6 (𝑟 = 3 → (9 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 3) + 3)))
1512, 14anbi12d 633 . . . . 5 (𝑟 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))))
1615rspcev 3609 . . . 4 ((3 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 3))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)))
176, 10, 16mp2an 691 . . 3 𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))
18 eleq1 2903 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
19183anbi1d 1437 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
20 oveq1 7156 . . . . . . . 8 (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
2120oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
2221eqeq2d 2835 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → (9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
2319, 22anbi12d 633 . . . . 5 (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
2423rexbidv 3289 . . . 4 (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
25 eleq1 2903 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
26253anbi2d 1438 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
27 oveq2 7157 . . . . . . . 8 (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
2827oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
2928eqeq2d 2835 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → (9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 9 = ((3 + 3) + 𝑟)))
3026, 29anbi12d 633 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3130rexbidv 3289 . . . 4 (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3224, 31rspc2ev 3621 . . 3 ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
336, 6, 17, 32mp3an 1458 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
34 isgbo 44201 . 2 (9 ∈ GoldbachOdd ↔ (9 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 9 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
355, 33, 34mpbir2an 710 1 9 ∈ GoldbachOdd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  (class class class)co 7149  1c1 10536   + caddc 10538  3c3 11690  8c8 11695  9c9 11696  cprime 16013   Even ceven 44072   Odd codd 44073   GoldbachOdd cgbo 44195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-prm 16014  df-even 44074  df-odd 44075  df-gbo 44198
This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  44253
  Copyright terms: Public domain W3C validator