Theorem ewlkinedg 28723

Description: The intersection (common vertices) of two adjacent edges in an s-walk of edges. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ewlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ewlkinedg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))))

Proof of Theorem ewlkinedg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ewlksfval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	ewlkprop 28722	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
3		fvoveq1 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑘 − 1)) = (𝐹‘(𝐾 − 1)))
4	3	fveq2d 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))))
5		2fveq3 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))
6	4, 5	ineq12d 4208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) = ((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))
7	6	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) = (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))))
8	7	breq2d 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
9	8	rspccv 3605	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
10	9	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
11	2, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → (𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
12	11	imp 407	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  Vcvv 3472   ∩ cin 3942   class class class wbr 5140  dom cdm 5668  ‘cfv 6531  (class class class)co 7392  1c1 11092   ≤ cle 11230   − cmin 11425  ℕ₀^*cxnn0 12525  ..^cfzo 13608  ♯chash 14271  Word cword 14445  iEdgciedg 28119   EdgWalks cewlks 28714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-1o 8447  df-er 8685  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9915  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-n0 12454  df-z 12540  df-uz 12804  df-fz 13466  df-fzo 13609  df-hash 14272  df-word 14446  df-ewlks 28717

This theorem is referenced by: (None)