Theorem ewlkinedg 29537

Description: The intersection (common vertices) of two adjacent edges in an s-walk of edges. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ewlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ewlkinedg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))))

Proof of Theorem ewlkinedg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ewlksfval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	ewlkprop 29536	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
3		fvoveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑘 − 1)) = (𝐹‘(𝐾 − 1)))
4	3	fveq2d 6820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))))
5		2fveq3 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))
6	4, 5	ineq12d 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) = ((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))
7	6	fveq2d 6820	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) = (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))))
8	7	breq2d 5100	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
9	8	rspccv 3571	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
10	9	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
11	2, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → (𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
12	11	imp 406	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3433   ∩ cin 3898   class class class wbr 5088  dom cdm 5613  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  1c1 10998   ≤ cle 11138   − cmin 11335  ℕ₀^*cxnn0 12445  ..^cfzo 13545  ♯chash 14225  Word cword 14408  iEdgciedg 28929   EdgWalks cewlks 29528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-hash 14226  df-word 14409  df-ewlks 29531

This theorem is referenced by: (None)