Theorem ewlkinedg 30242

Description: The intersection (common vertices) of two adjacent edges in an s-walk of edges. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ewlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ewlkinedg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))))

Proof of Theorem ewlkinedg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ewlksfval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	ewlkprop 30241	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
3		fvoveq1 7474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐹‘(𝑘 − 1)) = (𝐹‘(𝐾 − 1)))
4	3	fveq2d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))))
5		2fveq3 6921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))
6	4, 5	ineq12d 4121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) = ((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))
7	6	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) = (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))))
8	7	breq2d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
9	8	rspccv 3577	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
10	9	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) ∧ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
11	2, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) → (𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))))))
12	11	imp 412	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝐾 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ∩ cin 4092   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕ₀^*cxnn0 12719  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515  Word cword 14699  iEdgciedg 29632   EdgWalks cewlks 30233

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-ewlks 30236

This theorem is used by: (None)