Theorem expnegz 14160

Description: Value of a nonzero complex number raised to the negative of an integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expnegz	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12630	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		expneg 14133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
3	2	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
4	3	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
5		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
9		expneg2 14134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
11	10	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / (1 / (𝐴↑-𝑁))))
12		expcl 14143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
13	12	ad2ant2rl 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
14		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ≠ 0)
15	8	nn0zd 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
16		expne0i 14158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
17	5, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
18	13, 17	recrecd 12012	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (1 / (1 / (𝐴↑-𝑁))) = (𝐴↑-𝑁))
19	11, 18	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
20	19	expr 462	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
21	4, 20	jaod 873	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
22	21	expimpd 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
23	1, 22	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
24	23	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125  -cneg 11466   / cdiv 11895  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  expsub  14174  expnegd  14217  cos9thpiminplylem5  34296