Theorem expnegz 13918

Description: Value of a complex number raised to a negative power. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expnegz	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12435	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		expneg 13891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
3	2	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
4	3	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
5		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
9		expneg2 13892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
11	10	oveq2d 7353	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / (1 / (𝐴↑-𝑁))))
12		expcl 13901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
13	12	ad2ant2rl 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
14		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ≠ 0)
15	8	nn0zd 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
16		expne0i 13916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
17	5, 14, 15, 16	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
18	13, 17	recrecd 11849	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (1 / (1 / (𝐴↑-𝑁))) = (𝐴↑-𝑁))
19	11, 18	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
20	19	expr 457	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
21	4, 20	jaod 856	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
22	21	expimpd 454	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
23	1, 22	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
24	23	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  (class class class)co 7337  ℂcc 10970  ℝcr 10971  0cc0 10972  1c1 10973  -cneg 11307   / cdiv 11733  ℕ₀cn0 12334  ℤcz 12420  ↑cexp 13883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-seq 13823  df-exp 13884

This theorem is referenced by:  expsub  13932  expnegd  13972