Theorem expnegz 14102

Description: Value of a nonzero complex number raised to the negative of an integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expnegz	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12611	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		expneg 14075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
3	2	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
4	3	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
5		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
9		expneg2 14076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
11	10	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (1 / (𝐴↑𝑁)) = (1 / (1 / (𝐴↑-𝑁))))
12		expcl 14085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
13	12	ad2ant2rl 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
14		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ≠ 0)
15	8	nn0zd 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
16		expne0i 14100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
17	5, 14, 15, 16	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
18	13, 17	recrecd 12025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (1 / (1 / (𝐴↑-𝑁))) = (𝐴↑-𝑁))
19	11, 18	eqtr2d 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
20	19	expr 455	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
21	4, 20	jaod 857	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
22	21	expimpd 452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
23	1, 22	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁))))
24	23	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7419  ℂcc 11143  ℝcr 11144  0cc0 11145  1c1 11146  -cneg 11482   / cdiv 11908  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ↑cexp 14067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14008  df-exp 14068

This theorem is referenced by:  expsub  14116  expnegd  14158