MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expsub 14025
Description: Exponent subtraction law for integer exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expsub (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) / (๐ดโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem expsub
StepHypRef Expression
1 znegcl 12546 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 expaddz 14021 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + -๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)))
31, 2sylanr2 682 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + -๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)))
4 zcn 12512 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5 zcn 12512 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6 negsub 11457 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ + -๐‘) = (๐‘€ โˆ’ ๐‘))
74, 5, 6syl2an 597 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ + -๐‘) = (๐‘€ โˆ’ ๐‘))
87adantl 483 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ + -๐‘) = (๐‘€ โˆ’ ๐‘))
98oveq2d 7377 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + -๐‘)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
10 expnegz 14011 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
11103expa 1119 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
1211adantrl 715 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘)))
1312oveq2d 7377 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (1 / (๐ดโ†‘๐‘))))
14 expclz 13999 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
15143expa 1119 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1615adantrr 716 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
17 expclz 13999 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
18173expa 1119 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
1918adantrl 715 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
20 expne0i 14009 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰  0)
21203expa 1119 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰  0)
2221adantrl 715 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰  0)
2316, 19, 22divrecd 11942 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) / (๐ดโ†‘๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (1 / (๐ดโ†‘๐‘))))
2413, 23eqtr4d 2776 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) / (๐ดโ†‘๐‘)))
253, 9, 243eqtr3d 2781 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) / (๐ดโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  โ„คcz 12507  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  expm1  14027  expsubd  14071  ltexp2a  14080  leexp2a  14086  iexpcyc  14120  expmulnbnd  14147  dvdsprmpweqle  16766  m1expaddsub  19288  psgnuni  19289  aaliou3lem8  25728  hgt750lem  33328  fmtnoprmfac2lem1  45848  digexp  46783  dignn0flhalflem1  46791
  Copyright terms: Public domain W3C validator