Theorem expsub 14108

Description: Exponent subtraction law for integer exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12628	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2		expaddz 14104	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
3	1, 2	sylanr2 682	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
4		zcn 12594	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zcn 12594	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		negsub 11539	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
9	8	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + -𝑁)) = (𝐴↑(𝑀 − 𝑁)))
10		expnegz 14094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
11	10	3expa 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
12	11	adantrl 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))
13	12	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (1 / (𝐴↑𝑁))))
14		expclz 14082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
15	14	3expa 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
16	15	adantrr 716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
17		expclz 14082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
18	17	3expa 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
19	18	adantrl 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
20		expne0i 14092	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
21	20	3expa 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
22	21	adantrl 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
23	16, 19, 22	divrecd 12024	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (1 / (𝐴↑𝑁))))
24	13, 23	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑-𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
25	3, 9, 24	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) / (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144   − cmin 11475  -cneg 11476   / cdiv 11902  ℤcz 12589  ↑cexp 14059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060

This theorem is referenced by:  expm1  14110  expsubd  14154  ltexp2a  14163  leexp2a  14169  iexpcyc  14203  expmulnbnd  14230  dvdsprmpweqle  16855  m1expaddsub  19453  psgnuni  19454  aaliou3lem8  26293  hgt750lem  34283  fmtnoprmfac2lem1  46906  digexp  47680  dignn0flhalflem1  47688