Theorem fac2 14333

Description: The factorial of 2. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fac2	⊢ (!‘2) = 2

Proof of Theorem fac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12318	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (!‘2) = (!‘(1 + 1))
3		1nn0 12535	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		facp1 14332	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(1 + 1)) = ((!‘1) · (1 + 1))
6		fac1 14331	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
7		1p1e2 12379	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
8	6, 7	oveq12i 7431	. . . 4 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = (1 · 2)
9		2cn 12331	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11229	. . . 4 ⊢ (1 · 2) = 2
11	8, 10	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((!‘1) · (1 + 1)) = 2
12	5, 11	eqtri 2788	. 2 ⊢ (!‘(1 + 1)) = 2
13	2, 12	eqtri 2788	1 ⊢ (!‘2) = 2

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  !cfa 14327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-seq 14056  df-fac 14328

This theorem is used by:  fac3  14334  bcn2  14373  4bc2eq6  14383  ef4p  16191  efgt1p2  16192  symg2hash  19506  dveflem  26189  poimirlem9  38337  wallispi2lem2  46844