MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fac3 14319
Description: The factorial of 3. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
fac3 (!‘3) = 6

Proof of Theorem fac3
StepHypRef Expression
1 df-3 12330 . . 3 3 = (2 + 1)
21fveq2i 6909 . 2 (!‘3) = (!‘(2 + 1))
3 2nn0 12543 . . 3 2 ∈ ℕ0
4 facp1 14317 . . 3 (2 ∈ ℕ0 → (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (!‘(2 + 1)) = ((!‘2) · (2 + 1))
6 fac2 14318 . . . 4 (!‘2) = 2
7 2p1e3 12408 . . . 4 (2 + 1) = 3
86, 7oveq12i 7443 . . 3 ((!‘2) · (2 + 1)) = (2 · 3)
9 2cn 12341 . . . 4 2 ∈ ℂ
10 3cn 12347 . . . 4 3 ∈ ℂ
119, 10mulcomi 11269 . . 3 (2 · 3) = (3 · 2)
12 3t2e6 12432 . . 3 (3 · 2) = 6
138, 11, 123eqtri 2769 . 2 ((!‘2) · (2 + 1)) = 6
142, 5, 133eqtri 2769 1 (!‘3) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  6c6 12325  0cn0 12526  !cfa 14312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-fac 14313
This theorem is referenced by:  fac4  14320  4bc2eq6  14368  ef4p  16149  ef01bndlem  16220
  Copyright terms: Public domain W3C validator