MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facp1 13634
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 11887 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 peano2nn 11637 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3 facnn 13631 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
5 ovex 7173 . . . . . . 7 (𝑁 + 1) ∈ V
6 fvi 6722 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ V → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1)
87oveq2i 7151 . . . . 5 ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1))
9 seqp1 13379 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
10 nnuz 12269 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
119, 10eleq2s 2932 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
12 facnn 13631 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
1312oveq1d 7155 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
148, 11, 133eqtr4a 2883 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
154, 14eqtrd 2857 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16 0p1e1 11747 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1716fveq2i 6655 . . . . 5 (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
18 fac1 13633 . . . . 5 (!‘1) = 1
1917, 18eqtri 2845 . . . 4 (!‘(0 + 1)) = 1
20 fvoveq1 7163 . . . 4 (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
21 fveq2 6652 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
22 oveq1 7147 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
2321, 22oveq12d 7158 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
24 fac0 13632 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
2524, 16oveq12i 7152 . . . . . 6 ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
26 1t1e1 11787 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
2725, 26eqtri 2845 . . . . 5 ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
2823, 27syl6eq 2873 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
2919, 20, 283eqtr4a 2883 . . 3 (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
3015, 29jaoi 854 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
311, 30sylbi 220 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469   I cid 5436  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cn 11625  0cn0 11885  cuz 12231  seqcseq 13364  !cfa 13629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-fac 13630
This theorem is referenced by:  fac2  13635  fac3  13636  fac4  13637  facnn2  13638  faccl  13639  facdiv  13643  facwordi  13645  faclbnd  13646  faclbnd6  13655  facubnd  13656  bcm1k  13671  bcp1n  13672  4bc2eq6  13685  efcllem  15422  ef01bndlem  15528  eirrlem  15548  dvdsfac  15667  prmfac1  16052  pcfac  16224  2expltfac  16417  aaliou3lem2  24937  aaliou3lem8  24939  dvtaylp  24963  advlogexp  25244  facgam  25649  bcmono  25859  ex-fac  28234  subfacval2  32508  subfaclim  32509  faclim  33052  faclim2  33054  lcmineqlem18  39295  facp2  39306  fac2xp3  39335  factwoffsmonot  39338  bccp1k  40979  binomcxplemwb  40986  wallispi2lem2  42653  stirlinglem4  42658  etransclem24  42839  etransclem28  42843  etransclem38  42853
  Copyright terms: Public domain W3C validator