Theorem facp1 14243

Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12444	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		peano2nn 12198	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3		facnn 14240	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
5		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
6		fvi 6937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ V → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1)
8	7	oveq2i 7398	. . . . 5 ⊢ ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1))
9		seqp1 13981	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
10		nnuz 12836	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
11	9, 10	eleq2s 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
12		facnn 14240	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
13	12	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
14	8, 11, 13	3eqtr4a 2790	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
15	4, 14	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16		0p1e1 12303	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
17	16	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
18		fac1 14242	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
19	17, 18	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (!‘(0 + 1)) = 1
20		fvoveq1 7410	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
21		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
22		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
23	21, 22	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
24		fac0 14241	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
25	24, 16	oveq12i 7399	. . . . . 6 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
26		1t1e1 12343	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
27	25, 26	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
28	23, 27	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
29	19, 20, 28	3eqtr4a 2790	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
30	15, 29	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
31	1, 30	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   I cid 5532  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤ_≥cuz 12793  seqcseq 13966  !cfa 14238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-fac 14239

This theorem is referenced by:  fac2  14244  fac3  14245  fac4  14246  facnn2  14247  faccl  14248  facdiv  14252  facwordi  14254  faclbnd  14255  faclbnd6  14264  facubnd  14265  bcm1k  14280  bcp1n  14281  4bc2eq6  14294  efcllem  16043  ef01bndlem  16152  eirrlem  16172  dvdsfac  16296  prmfac1  16690  pcfac  16870  2expltfac  17063  aaliou3lem2  26251  aaliou3lem8  26253  dvtaylp  26278  advlogexp  26564  facgam  26976  bcmono  27188  ex-fac  30380  subfacval2  35174  subfaclim  35175  faclim  35733  faclim2  35735  lcmineqlem18  42034  facp2  42131  bccp1k  44330  binomcxplemwb  44337  wallispi2lem2  46070  stirlinglem4  46075  etransclem24  46256  etransclem28  46260  etransclem38  46270