MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facp1 14239
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))

Proof of Theorem facp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 12473 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 peano2nn 12223 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
3 facnn 14236 . . . . 5 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = (seq1( ยท , I )โ€˜(๐‘ + 1)))
42, 3syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = (seq1( ยท , I )โ€˜(๐‘ + 1)))
5 ovex 7435 . . . . . . 7 (๐‘ + 1) โˆˆ V
6 fvi 6958 . . . . . . 7 ((๐‘ + 1) โˆˆ V โ†’ ( I โ€˜(๐‘ + 1)) = (๐‘ + 1))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 ( I โ€˜(๐‘ + 1)) = (๐‘ + 1)
87oveq2i 7413 . . . . 5 ((seq1( ยท , I )โ€˜๐‘) ยท ( I โ€˜(๐‘ + 1))) = ((seq1( ยท , I )โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1))
9 seqp1 13982 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( ยท , I )โ€˜(๐‘ + 1)) = ((seq1( ยท , I )โ€˜๐‘) ยท ( I โ€˜(๐‘ + 1))))
10 nnuz 12864 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
119, 10eleq2s 2843 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , I )โ€˜(๐‘ + 1)) = ((seq1( ยท , I )โ€˜๐‘) ยท ( I โ€˜(๐‘ + 1))))
12 facnn 14236 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) = (seq1( ยท , I )โ€˜๐‘))
1312oveq1d 7417 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) = ((seq1( ยท , I )โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
148, 11, 133eqtr4a 2790 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , I )โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
154, 14eqtrd 2764 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
16 0p1e1 12333 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1716fveq2i 6885 . . . . 5 (!โ€˜(0 + 1)) = (!โ€˜1)
18 fac1 14238 . . . . 5 (!โ€˜1) = 1
1917, 18eqtri 2752 . . . 4 (!โ€˜(0 + 1)) = 1
20 fvoveq1 7425 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = (!โ€˜(0 + 1)))
21 fveq2 6882 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘) = (!โ€˜0))
22 oveq1 7409 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ + 1) = (0 + 1))
2321, 22oveq12d 7420 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) = ((!โ€˜0) ยท (0 + 1)))
24 fac0 14237 . . . . . . 7 (!โ€˜0) = 1
2524, 16oveq12i 7414 . . . . . 6 ((!โ€˜0) ยท (0 + 1)) = (1 ยท 1)
26 1t1e1 12373 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
2725, 26eqtri 2752 . . . . 5 ((!โ€˜0) ยท (0 + 1)) = 1
2823, 27eqtrdi 2780 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) = 1)
2919, 20, 283eqtr4a 2790 . . 3 (๐‘ = 0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
3015, 29jaoi 854 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
311, 30sylbi 216 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466   I cid 5564  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  โ„คโ‰ฅcuz 12821  seqcseq 13967  !cfa 14234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13968  df-fac 14235
This theorem is referenced by:  fac2  14240  fac3  14241  fac4  14242  facnn2  14243  faccl  14244  facdiv  14248  facwordi  14250  faclbnd  14251  faclbnd6  14260  facubnd  14261  bcm1k  14276  bcp1n  14277  4bc2eq6  14290  efcllem  16023  ef01bndlem  16130  eirrlem  16150  dvdsfac  16272  prmfac1  16661  pcfac  16837  2expltfac  17031  aaliou3lem2  26221  aaliou3lem8  26223  dvtaylp  26247  advlogexp  26530  facgam  26939  bcmono  27151  ex-fac  30199  subfacval2  34696  subfaclim  34697  faclim  35239  faclim2  35241  lcmineqlem18  41418  facp2  41494  fac2xp3  41555  factwoffsmonot  41558  bccp1k  43650  binomcxplemwb  43657  wallispi2lem2  45334  stirlinglem4  45339  etransclem24  45520  etransclem28  45524  etransclem38  45534
  Copyright terms: Public domain W3C validator