Theorem facp1 14234

Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12433	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		peano2nn 12180	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3		facnn 14231	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
5		ovex 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
6		fvi 6911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ V → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1)
8	7	oveq2i 7372	. . . . 5 ⊢ ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1))
9		seqp1 13972	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
10		nnuz 12821	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
11	9, 10	eleq2s 2855	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
12		facnn 14231	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
13	12	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
14	8, 11, 13	3eqtr4a 2798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
15	4, 14	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16		0p1e1 12292	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
17	16	fveq2i 6838	. . . . 5 ⊢ (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
18		fac1 14233	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
19	17, 18	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (!‘(0 + 1)) = 1
20		fvoveq1 7384	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
21		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
22		oveq1 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
23	21, 22	oveq12d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
24		fac0 14232	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
25	24, 16	oveq12i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
26		1t1e1 12332	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
27	25, 26	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
28	23, 27	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
29	19, 20, 28	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
30	15, 29	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
31	1, 30	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   I cid 5519  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ℤ_≥cuz 12782  seqcseq 13957  !cfa 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-seq 13958  df-fac 14230

This theorem is referenced by:  fac2  14235  fac3  14236  fac4  14237  facnn2  14238  faccl  14239  facdiv  14243  facwordi  14245  faclbnd  14246  faclbnd6  14255  facubnd  14256  bcm1k  14271  bcp1n  14272  4bc2eq6  14285  efcllem  16036  ef01bndlem  16145  eirrlem  16165  dvdsfac  16289  prmfac1  16684  pcfac  16864  2expltfac  17057  aaliou3lem2  26323  aaliou3lem8  26325  dvtaylp  26350  advlogexp  26635  facgam  27046  bcmono  27257  ex-fac  30539  subfacval2  35388  subfaclim  35389  faclim  35947  faclim2  35949  lcmineqlem18  42502  facp2  42599  bccp1k  44789  binomcxplemwb  44796  wallispi2lem2  46521  stirlinglem4  46526  etransclem24  46707  etransclem28  46711  etransclem38  46721