Theorem facp1 14213

Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		peano2nn 12169	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3		facnn 14210	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
5		ovex 7401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
6		fvi 6918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ V → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1)
8	7	oveq2i 7379	. . . . 5 ⊢ ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1))
9		seqp1 13951	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
10		nnuz 12802	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
11	9, 10	eleq2s 2855	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
12		facnn 14210	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
13	12	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
14	8, 11, 13	3eqtr4a 2798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
15	4, 14	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16		0p1e1 12274	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
17	16	fveq2i 6845	. . . . 5 ⊢ (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
18		fac1 14212	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
19	17, 18	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (!‘(0 + 1)) = 1
20		fvoveq1 7391	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
21		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
22		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
23	21, 22	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
24		fac0 14211	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
25	24, 16	oveq12i 7380	. . . . . 6 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
26		1t1e1 12314	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
27	25, 26	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
28	23, 27	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
29	19, 20, 28	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
30	15, 29	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
31	1, 30	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   I cid 5526  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  seqcseq 13936  !cfa 14208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-fac 14209

This theorem is referenced by:  fac2  14214  fac3  14215  fac4  14216  facnn2  14217  faccl  14218  facdiv  14222  facwordi  14224  faclbnd  14225  faclbnd6  14234  facubnd  14235  bcm1k  14250  bcp1n  14251  4bc2eq6  14264  efcllem  16012  ef01bndlem  16121  eirrlem  16141  dvdsfac  16265  prmfac1  16659  pcfac  16839  2expltfac  17032  aaliou3lem2  26322  aaliou3lem8  26324  dvtaylp  26349  advlogexp  26635  facgam  27047  bcmono  27259  ex-fac  30542  subfacval2  35407  subfaclim  35408  faclim  35966  faclim2  35968  lcmineqlem18  42420  facp2  42517  bccp1k  44701  binomcxplemwb  44708  wallispi2lem2  46434  stirlinglem4  46439  etransclem24  46620  etransclem28  46624  etransclem38  46634