Theorem facp1 14240

Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12439	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		peano2nn 12186	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3		facnn 14237	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
5		ovex 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
6		fvi 6916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ V → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1)
8	7	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1))
9		seqp1 13978	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
10		nnuz 12827	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
11	9, 10	eleq2s 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
12		facnn 14237	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
13	12	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
14	8, 11, 13	3eqtr4a 2797	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
15	4, 14	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16		0p1e1 12298	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
17	16	fveq2i 6843	. . . . 5 ⊢ (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
18		fac1 14239	. . . . 5 ⊢ (!‘1) = 1
19	17, 18	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (!‘(0 + 1)) = 1
20		fvoveq1 7390	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
21		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
22		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
23	21, 22	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
24		fac0 14238	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
25	24, 16	oveq12i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
26		1t1e1 12338	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
27	25, 26	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
28	23, 27	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
29	19, 20, 28	3eqtr4a 2797	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
30	15, 29	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
31	1, 30	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   I cid 5525  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤ_≥cuz 12788  seqcseq 13963  !cfa 14235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-fac 14236

This theorem is referenced by:  fac2  14241  fac3  14242  fac4  14243  facnn2  14244  faccl  14245  facdiv  14249  facwordi  14251  faclbnd  14252  faclbnd6  14261  facubnd  14262  bcm1k  14277  bcp1n  14278  4bc2eq6  14291  efcllem  16042  ef01bndlem  16151  eirrlem  16171  dvdsfac  16295  prmfac1  16690  pcfac  16870  2expltfac  17063  aaliou3lem2  26309  aaliou3lem8  26311  dvtaylp  26335  advlogexp  26619  facgam  27029  bcmono  27240  ex-fac  30521  subfacval2  35369  subfaclim  35370  faclim  35928  faclim2  35930  lcmineqlem18  42485  facp2  42582  bccp1k  44768  binomcxplemwb  44775  wallispi2lem2  46500  stirlinglem4  46505  etransclem24  46686  etransclem28  46690  etransclem38  46700