Proof of Theorem bcn2
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | 2nn 12340 | . . 3
⊢ 2 ∈
ℕ | 
| 2 |  | bcval5 14358 | . . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) /
(!‘2))) | 
| 3 | 1, 2 | mpan2 691 | . 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I
)‘𝑁) /
(!‘2))) | 
| 4 |  | 2m1e1 12393 | . . . . . . . 8
⊢ (2
− 1) = 1 | 
| 5 | 4 | oveq2i 7443 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) =
((𝑁 − 2) +
1) | 
| 6 |  | nn0cn 12538 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℂ) | 
| 7 |  | 2cn 12342 | . . . . . . . . 9
⊢ 2 ∈
ℂ | 
| 8 |  | ax-1cn 11214 | . . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℂ | 
| 9 |  | npncan 11531 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈
ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1)) | 
| 10 | 7, 8, 9 | mp3an23 1454 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) =
(𝑁 −
1)) | 
| 11 | 6, 10 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 − 2) + (2
− 1)) = (𝑁 −
1)) | 
| 12 | 5, 11 | eqtr3id 2790 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 − 2) + 1)
= (𝑁 −
1)) | 
| 13 | 12 | seqeq1d 14049 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ seq((𝑁 − 2) +
1)( · , I ) = seq(𝑁
− 1)( · , I )) | 
| 14 | 13 | fveq1d 6907 | . . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (seq((𝑁 − 2) +
1)( · , I )‘𝑁)
= (seq(𝑁 − 1)(
· , I )‘𝑁)) | 
| 15 |  | nn0z 12640 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℤ) | 
| 16 |  | peano2zm 12662 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈
ℤ) | 
| 17 | 15, 16 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 − 1) ∈
ℤ) | 
| 18 |  | uzid 12894 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) | 
| 19 | 15, 18 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) | 
| 20 |  | npcan 11518 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝑁 −
1) + 1) = 𝑁) | 
| 21 | 6, 8, 20 | sylancl 586 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 − 1) + 1)
= 𝑁) | 
| 22 | 21 | fveq2d 6909 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) =
(ℤ≥‘𝑁)) | 
| 23 | 19, 22 | eleqtrrd 2843 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) | 
| 24 |  | seqm1 14061 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧
𝑁 ∈
(ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) → (seq(𝑁 − 1)( · , I
)‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I
)‘(𝑁 − 1))
· ( I ‘𝑁))) | 
| 25 | 17, 23, 24 | syl2anc 584 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (seq(𝑁 − 1)(
· , I )‘𝑁) =
((seq(𝑁 − 1)(
· , I )‘(𝑁
− 1)) · ( I ‘𝑁))) | 
| 26 |  | seq1 14056 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ
→ (seq(𝑁 − 1)(
· , I )‘(𝑁
− 1)) = ( I ‘(𝑁
− 1))) | 
| 27 | 17, 26 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (seq(𝑁 − 1)(
· , I )‘(𝑁
− 1)) = ( I ‘(𝑁
− 1))) | 
| 28 |  | fvi 6984 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ
→ ( I ‘(𝑁
− 1)) = (𝑁 −
1)) | 
| 29 | 17, 28 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ( I ‘(𝑁
− 1)) = (𝑁 −
1)) | 
| 30 | 27, 29 | eqtrd 2776 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (seq(𝑁 − 1)(
· , I )‘(𝑁
− 1)) = (𝑁 −
1)) | 
| 31 |  | fvi 6984 | . . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ( I ‘𝑁) =
𝑁) | 
| 32 | 30, 31 | oveq12d 7450 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((seq(𝑁 − 1)(
· , I )‘(𝑁
− 1)) · ( I ‘𝑁)) = ((𝑁 − 1) · 𝑁)) | 
| 33 | 25, 32 | eqtrd 2776 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (seq(𝑁 − 1)(
· , I )‘𝑁) =
((𝑁 − 1) ·
𝑁)) | 
| 34 |  | subcl 11508 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (𝑁 −
1) ∈ ℂ) | 
| 35 | 6, 8, 34 | sylancl 586 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 − 1) ∈
ℂ) | 
| 36 | 35, 6 | mulcomd 11283 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 − 1)
· 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1))) | 
| 37 | 33, 36 | eqtrd 2776 | . . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (seq(𝑁 − 1)(
· , I )‘𝑁) =
(𝑁 · (𝑁 − 1))) | 
| 38 | 14, 37 | eqtrd 2776 | . . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (seq((𝑁 − 2) +
1)( · , I )‘𝑁)
= (𝑁 · (𝑁 − 1))) | 
| 39 |  | fac2 14319 | . . . 4
⊢
(!‘2) = 2 | 
| 40 | 39 | a1i 11 | . . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘2) = 2) | 
| 41 | 38, 40 | oveq12d 7450 | . 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((seq((𝑁 − 2)
+ 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2)) | 
| 42 | 3, 41 | eqtrd 2776 | 1
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2)) |