MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn2 13679
Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcn2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2
StepHypRef Expression
1 2nn 11702 . . 3 2 ∈ ℕ
2 bcval5 13678 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
31, 2mpan2 690 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
4 2m1e1 11755 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
54oveq2i 7150 . . . . . . 7 ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1)
6 nn0cn 11899 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
7 2cn 11704 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
8 ax-1cn 10588 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
9 npncan 10900 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
107, 8, 9mp3an23 1450 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
116, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
125, 11syl5eqr 2850 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
1312seqeq1d 13374 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I ) = seq(𝑁 − 1)( · , I ))
1413fveq1d 6651 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁))
15 nn0z 11997 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
16 peano2zm 12017 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18 uzid 12250 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
1915, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
20 npcan 10888 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
216, 8, 20sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2221fveq2d 6653 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
2319, 22eleqtrrd 2896 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
24 seqm1 13387 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
2517, 23, 24syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
26 seq1 13381 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
2717, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
28 fvi 6719 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
2917, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
3027, 29eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
31 fvi 6719 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘𝑁) = 𝑁)
3230, 31oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
3325, 32eqtrd 2836 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
34 subcl 10878 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
356, 8, 34sylancl 589 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3635, 6mulcomd 10655 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
3733, 36eqtrd 2836 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
3814, 37eqtrd 2836 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
39 fac2 13639 . . . 4 (!‘2) = 2
4039a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘2) = 2)
4138, 40oveq12d 7157 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
423, 41eqtrd 2836 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112   I cid 5427  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  seqcseq 13368  !cfa 13633  Ccbc 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-seq 13369  df-fac 13634  df-bc 13663
This theorem is referenced by:  bcp1m1  13680  bpoly3  15408
  Copyright terms: Public domain W3C validator