Theorem bcn2 14033

Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcn2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12046	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		bcval5 14032	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
3	1, 2	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
4		2m1e1 12099	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
5	4	oveq2i 7286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1)
6		nn0cn 12243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
7		2cn 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		ax-1cn 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		npncan 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
10	7, 8, 9	mp3an23 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
12	5, 11	eqtr3id 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
13	12	seqeq1d 13727	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I ) = seq(𝑁 − 1)( · , I ))
14	13	fveq1d 6776	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁))
15		nn0z 12343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		peano2zm 12363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18		uzid 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
19	15, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		npcan 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	6, 8, 20	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	21	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
23	19, 22	eleqtrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
24		seqm1 13740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
25	17, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
26		seq1 13734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
27	17, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
28		fvi 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
29	17, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
30	27, 29	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
31		fvi 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘𝑁) = 𝑁)
32	30, 31	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
33	25, 32	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
34		subcl 11220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
35	6, 8, 34	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
36	35, 6	mulcomd 10996	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
37	33, 36	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
38	14, 37	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
39		fac2 13993	. . . 4 ⊢ (!‘2) = 2
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘2) = 2)
41	38, 40	oveq12d 7293	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
42	3, 41	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   I cid 5488  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  seqcseq 13721  !cfa 13987  Ccbc 14016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-fac 13988  df-bc 14017

This theorem is referenced by:  bcp1m1  14034  bpoly3  15768