Theorem bcn2 14373

Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcn2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12329	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		bcval5 14372	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)))
4		2m1e1 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
5	4	oveq2i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1)
6		nn0cn 12529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
7		2cn 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		ax-1cn 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		npncan 11494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
10	7, 8, 9	mp3an23 1482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
11	6, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
12	5, 11	eqtr3id 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
13	12	seqeq1d 14061	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I ) = seq(𝑁 − 1)( · , I ))
14	13	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁))
15		nn0z 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
16		peano2zm 12652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18		uzid 12893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
19	15, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		npcan 11481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	6, 8, 20	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	21	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
23	19, 22	eleqtrrd 2868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
24		seqm1 14073	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
25	17, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)))
26		seq1 14068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
27	17, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = ( I ‘(𝑁 − 1)))
28		fvi 6961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
29	17, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
30	27, 29	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
31		fvi 6961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( I ‘𝑁) = 𝑁)
32	30, 31	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq(𝑁 − 1)( · , I )‘(𝑁 − 1)) · ( I ‘𝑁)) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
33	25, 32	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = ((𝑁 − 1) · 𝑁))
34		subcl 11471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
35	6, 8, 34	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
36	35, 6	mulcomd 11245	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) · 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
37	33, 36	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq(𝑁 − 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
38	14, 37	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) = (𝑁 · (𝑁 − 1)))
39		fac2 14333	. . . 4 ⊢ (!‘2) = 2
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘2) = 2)
41	38, 40	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((seq((𝑁 − 2) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘2)) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))
42	3, 41	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) = ((𝑁 · (𝑁 − 1)) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   I cid 5557  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456   / cdiv 11886  ℕcn 12248  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  seqcseq 14055  !cfa 14327  Ccbc 14356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-seq 14056  df-fac 14328  df-bc 14357

This theorem is used by:  bcp1m1  14374  bpoly3  16134