MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn2 14225
Description: Binomial coefficient: ๐‘ choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcn2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2
StepHypRef Expression
1 2nn 12231 . . 3 2 โˆˆ โ„•
2 bcval5 14224 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘C2) = ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)))
31, 2mpan2 690 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)))
4 2m1e1 12284 . . . . . . . 8 (2 โˆ’ 1) = 1
54oveq2i 7369 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ 2) + 1)
6 nn0cn 12428 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7 2cn 12233 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
8 ax-1cn 11114 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
9 npncan 11427 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
107, 8, 9mp3an23 1454 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
116, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
125, 11eqtr3id 2787 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
1312seqeq1d 13918 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I ) = seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I ))
1413fveq1d 6845 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘))
15 nn0z 12529 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
16 peano2zm 12551 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
18 uzid 12783 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
1915, 18syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
20 npcan 11415 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
216, 8, 20sylancl 587 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
2221fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
2319, 22eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))
24 seqm1 13931 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = ((seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ( I โ€˜๐‘)))
2517, 23, 24syl2anc 585 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = ((seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ( I โ€˜๐‘)))
26 seq1 13925 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
2717, 26syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
28 fvi 6918 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
2917, 28syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
3027, 29eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
31 fvi 6918 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ( I โ€˜๐‘) = ๐‘)
3230, 31oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ( I โ€˜๐‘)) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘))
3325, 32eqtrd 2773 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘))
34 subcl 11405 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
356, 8, 34sylancl 587 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3635, 6mulcomd 11181 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
3733, 36eqtrd 2773 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
3814, 37eqtrd 2773 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
39 fac2 14185 . . . 4 (!โ€˜2) = 2
4039a1i 11 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜2) = 2)
4138, 40oveq12d 7376 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))
423, 41eqtrd 2773 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   I cid 5531  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  seqcseq 13912  !cfa 14179  Ccbc 14208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-seq 13913  df-fac 14180  df-bc 14209
This theorem is referenced by:  bcp1m1  14226  bpoly3  15946
  Copyright terms: Public domain W3C validator