MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcn2 14279
Description: Binomial coefficient: ๐‘ choose 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcn2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))

Proof of Theorem bcn2
StepHypRef Expression
1 2nn 12285 . . 3 2 โˆˆ โ„•
2 bcval5 14278 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘C2) = ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)))
31, 2mpan2 690 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)))
4 2m1e1 12338 . . . . . . . 8 (2 โˆ’ 1) = 1
54oveq2i 7420 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ 2) + 1)
6 nn0cn 12482 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7 2cn 12287 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
8 ax-1cn 11168 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
9 npncan 11481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
107, 8, 9mp3an23 1454 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
116, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
125, 11eqtr3id 2787 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 2) + 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
1312seqeq1d 13972 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I ) = seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I ))
1413fveq1d 6894 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘))
15 nn0z 12583 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
16 peano2zm 12605 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
18 uzid 12837 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
1915, 18syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
20 npcan 11469 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
216, 8, 20sylancl 587 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
2221fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
2319, 22eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))
24 seqm1 13985 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = ((seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ( I โ€˜๐‘)))
2517, 23, 24syl2anc 585 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = ((seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ( I โ€˜๐‘)))
26 seq1 13979 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
2717, 26syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
28 fvi 6968 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
2917, 28syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ( I โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
3027, 29eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ 1))
31 fvi 6968 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ( I โ€˜๐‘) = ๐‘)
3230, 31oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) ยท ( I โ€˜๐‘)) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘))
3325, 32eqtrd 2773 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘))
34 subcl 11459 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
356, 8, 34sylancl 587 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3635, 6mulcomd 11235 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) ยท ๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
3733, 36eqtrd 2773 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq(๐‘ โˆ’ 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
3814, 37eqtrd 2773 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))
39 fac2 14239 . . . 4 (!โ€˜2) = 2
4039a1i 11 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜2) = 2)
4138, 40oveq12d 7427 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((seq((๐‘ โˆ’ 2) + 1)( ยท , I )โ€˜๐‘) / (!โ€˜2)) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))
423, 41eqtrd 2773 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C2) = ((๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   I cid 5574  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  seqcseq 13966  !cfa 14233  Ccbc 14262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-fac 14234  df-bc 14263
This theorem is referenced by:  bcp1m1  14280  bpoly3  16002
  Copyright terms: Public domain W3C validator