Theorem symg2hash 18980

Description: The symmetric group on a (proper) pair has cardinality 2. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
symg2hash	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)

Proof of Theorem symg2hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symg2bas.0	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
2		prfi 9050	. . . 4 ⊢ {𝐼, 𝐽} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		symg1bas.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
5		symg1bas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	symghash 18966	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴)))
7	3, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴))
8	1	fveq2i 6771	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼, 𝐽})
9		elex 3448	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
10		elex 3448	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → 𝐽 ∈ V)
11		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
12	9, 10, 11	3anim123i 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
13		hashprb 14093	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ↔ (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
14	12, 13	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
15	8, 14	eqtrid 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐴) = 2)
16	15	fveq2d 6772	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (!‘(♯‘𝐴)) = (!‘2))
17		fac2 13974	. . 3 ⊢ (!‘2) = 2
18	16, 17	eqtrdi 2795	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (!‘(♯‘𝐴)) = 2)
19	7, 18	eqtrid 2791	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  Vcvv 3430  {cpr 4568  ‘cfv 6430  Fincfn 8707  2c2 12011  !cfa 13968  ♯chash 14025  Basecbs 16893  SymGrpcsymg 18955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-oadd 8285  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-seq 13703  df-fac 13969  df-bc 13998  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-tset 16962  df-efmnd 18489  df-symg 18956

This theorem is referenced by:  symg2bas  18981