MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg2hash 19181
Description: The symmetric group on a (proper) pair has cardinality 2. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
Assertion
Ref Expression
symg2hash ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)

Proof of Theorem symg2hash
StepHypRef Expression
1 symg2bas.0 . . . 4 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
2 prfi 9272 . . . 4 {𝐼, 𝐽} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2830 . . 3 𝐴 ∈ Fin
4 symg1bas.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
5 symg1bas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5symghash 19167 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴)))
73, 6ax-mp 5 . 2 (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴))
81fveq2i 6849 . . . . 5 (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼, 𝐽})
9 elex 3465 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐼 ∈ V)
10 elex 3465 . . . . . . 7 (𝐽𝑊𝐽 ∈ V)
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
129, 10, 113anim123i 1152 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼𝐽))
13 hashprb 14306 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼𝐽) ↔ (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
1412, 13sylib 217 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
158, 14eqtrid 2785 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐴) = 2)
1615fveq2d 6850 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (!‘(♯‘𝐴)) = (!‘2))
17 fac2 14188 . . 3 (!‘2) = 2
1816, 17eqtrdi 2789 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (!‘(♯‘𝐴)) = 2)
197, 18eqtrid 2785 1 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3447  {cpr 4592  cfv 6500  Fincfn 8889  2c2 12216  !cfa 14182  chash 14239  Basecbs 17091  SymGrpcsymg 19156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-efmnd 18687  df-symg 19157
This theorem is referenced by:  symg2bas  19182
  Copyright terms: Public domain W3C validator