MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg2hash 18523
Description: The symmetric group on a (proper) pair has cardinality 2. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
Assertion
Ref Expression
symg2hash ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)

Proof of Theorem symg2hash
StepHypRef Expression
1 symg2bas.0 . . . 4 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
2 prfi 8791 . . . 4 {𝐼, 𝐽} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2912 . . 3 𝐴 ∈ Fin
4 symg1bas.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
5 symg1bas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5symghash 18509 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴)))
73, 6ax-mp 5 . 2 (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴))
81fveq2i 6665 . . . . 5 (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼, 𝐽})
9 elex 3499 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐼 ∈ V)
10 elex 3499 . . . . . . 7 (𝐽𝑊𝐽 ∈ V)
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
129, 10, 113anim123i 1148 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼𝐽))
13 hashprb 13766 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼𝐽) ↔ (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
1412, 13sylib 221 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
158, 14syl5eq 2871 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐴) = 2)
1615fveq2d 6666 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (!‘(♯‘𝐴)) = (!‘2))
17 fac2 13647 . . 3 (!‘2) = 2
1816, 17syl6eq 2875 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (!‘(♯‘𝐴)) = 2)
197, 18syl5eq 2871 1 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3481  {cpr 4553  cfv 6344  Fincfn 8506  2c2 11692  !cfa 13641  chash 13698  Basecbs 16486  SymGrpcsymg 18498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-dju 9328  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-xnn0 11968  df-z 11982  df-uz 12244  df-fz 12898  df-seq 13377  df-fac 13642  df-bc 13671  df-hash 13699  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-tset 16587  df-efmnd 18037  df-symg 18499
This theorem is referenced by:  symg2bas  18524
  Copyright terms: Public domain W3C validator