Theorem symg2hash 19322

Description: The symmetric group on a (proper) pair has cardinality 2. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
symg2hash	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)

Proof of Theorem symg2hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symg2bas.0	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
2		prfi 9274	. . . 4 ⊢ {𝐼, 𝐽} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		symg1bas.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
5		symg1bas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	symghash 19308	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴)))
7	3, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴))
8	1	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼, 𝐽})
9		elex 3468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
10		elex 3468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → 𝐽 ∈ V)
11		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
12	9, 10, 11	3anim123i 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
13		hashprb 14362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ↔ (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
14	12, 13	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
15	8, 14	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐴) = 2)
16	15	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (!‘(♯‘𝐴)) = (!‘2))
17		fac2 14244	. . 3 ⊢ (!‘2) = 2
18	16, 17	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (!‘(♯‘𝐴)) = 2)
19	7, 18	eqtrid 2776	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447  {cpr 4591  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  2c2 12241  !cfa 14238  ♯chash 14295  Basecbs 17179  SymGrpcsymg 19299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-efmnd 18796  df-symg 19300

This theorem is referenced by:  symg2bas  19323