MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg2hash 18980
Description: The symmetric group on a (proper) pair has cardinality 2. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
Assertion
Ref Expression
symg2hash ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)

Proof of Theorem symg2hash
StepHypRef Expression
1 symg2bas.0 . . . 4 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
2 prfi 9050 . . . 4 {𝐼, 𝐽} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2836 . . 3 𝐴 ∈ Fin
4 symg1bas.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
5 symg1bas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5symghash 18966 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴)))
73, 6ax-mp 5 . 2 (♯‘𝐵) = (!‘(♯‘𝐴))
81fveq2i 6771 . . . . 5 (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼, 𝐽})
9 elex 3448 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐼 ∈ V)
10 elex 3448 . . . . . . 7 (𝐽𝑊𝐽 ∈ V)
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
129, 10, 113anim123i 1149 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼𝐽))
13 hashprb 14093 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V ∧ 𝐼𝐽) ↔ (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
1412, 13sylib 217 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘{𝐼, 𝐽}) = 2)
158, 14eqtrid 2791 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐴) = 2)
1615fveq2d 6772 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (!‘(♯‘𝐴)) = (!‘2))
17 fac2 13974 . . 3 (!‘2) = 2
1816, 17eqtrdi 2795 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (!‘(♯‘𝐴)) = 2)
197, 18eqtrid 2791 1 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  Vcvv 3430  {cpr 4568  cfv 6430  Fincfn 8707  2c2 12011  !cfa 13968  chash 14025  Basecbs 16893  SymGrpcsymg 18955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-oadd 8285  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-seq 13703  df-fac 13969  df-bc 13998  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-tset 16962  df-efmnd 18489  df-symg 18956
This theorem is referenced by:  symg2bas  18981
  Copyright terms: Public domain W3C validator