Theorem fzval3 13652

Description: Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzval3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12534	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2		fzoval 13578	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
4		zcn 12495	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11086	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		pncan 11388	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
9	3, 8	eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11366  ℤcz 12490  ...cfz 13425  ..^cfzo 13572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573

This theorem is referenced by:  fz0add1fz1  13653  fzosn  13654  fzofzp1  13682  fzisfzounsn  13698  ffz0iswrd  14466  fzosump1  15677  telfsum  15729  telfsum2  15730  sadadd  16396  sadass  16400  smuval2  16411  smumul  16422  prmgaplem7  16987  volsup  25515  rplogsumlem2  27454  rpvmasumlem  27456  dchrisumlem2  27459  dchrisum0flblem1  27477  dchrisum0flb  27479  selberg2lem  27519  logdivbnd  27525  pntrsumo1  27534  pntrlog2bndlem2  27547  pntrlog2bndlem4  27549  pntlemr  27571  wlkdlem1  29756  wwlknvtx  29920  wwlksnred  29967  1wlkdlem1  30214  eupth2lem3  30313  nn0diffz0  32876  f1ocnt  32882  gsummoncoe1fz  33681  vietalem  33737  lmat22det  33981  meascnbl  34378  fibp1  34560  signsplypnf  34709  fsum2dsub  34766  pfxwlk  35320  revwlk  35321  mblfinlem2  37861  itgspltprt  46244  fourierdlem20  46392  carageniuncllem1  46786  smfmullem2  47057  ormkglobd  47140  iccpartgtprec  47687  fargshiftfo  47709  sbgoldbo  48054  nnsum4primeseven  48067  nnsum4primesevenALTV  48068  gpg5order  48327  gpg5gricstgr3  48357  gpgprismgr4cycllem9  48370  nn0sumshdiglemA  48886  nn0sumshdiglemB  48887