Theorem fzval3 13637

Description: Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzval3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12516	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2		fzoval 13563	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
4		zcn 12476	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11067	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		pncan 11369	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7365	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
9	3, 8	eqtr2d 2765	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010   + caddc 11012   − cmin 11347  ℤcz 12471  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558

This theorem is referenced by:  fz0add1fz1  13638  fzosn  13639  fzofzp1  13667  fzisfzounsn  13682  ffz0iswrd  14448  fzosump1  15659  telfsum  15711  telfsum2  15712  sadadd  16378  sadass  16382  smuval2  16393  smumul  16404  prmgaplem7  16969  volsup  25455  rplogsumlem2  27394  rpvmasumlem  27396  dchrisumlem2  27399  dchrisum0flblem1  27417  dchrisum0flb  27419  selberg2lem  27459  logdivbnd  27465  pntrsumo1  27474  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem4  27489  pntlemr  27511  wlkdlem1  29626  wwlknvtx  29790  wwlksnred  29837  1wlkdlem1  30081  eupth2lem3  30180  f1ocnt  32746  lmat22det  33795  meascnbl  34192  fibp1  34375  signsplypnf  34524  fsum2dsub  34581  pfxwlk  35107  revwlk  35108  mblfinlem2  37648  itgspltprt  45970  fourierdlem20  46118  carageniuncllem1  46512  smfmullem2  46783  ormkglobd  46866  iccpartgtprec  47414  fargshiftfo  47436  sbgoldbo  47781  nnsum4primeseven  47794  nnsum4primesevenALTV  47795  gpg5order  48054  gpg5gricstgr3  48084  gpgprismgr4cycllem9  48097  nn0sumshdiglemA  48614  nn0sumshdiglemB  48615