Theorem fzval3 12921

Description: Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzval3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 11836	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2		fzoval 12855	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
4		zcn 11798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 10393	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		pncan 10692	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 577	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8	7	oveq2d 6992	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
9	3, 8	eqtr2d 2815	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  1c1 10336   + caddc 10338   − cmin 10670  ℤcz 11793  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850

This theorem is referenced by:  fz0add1fz1  12922  fzosn  12923  fzofzp1  12949  fzisfzounsn  12964  ffz0iswrd  13702  ffz0iswrdOLD  13703  fzosump1  14967  telfsum  15019  telfsum2  15020  sadadd  15676  sadass  15680  smuval2  15691  smumul  15702  prmgaplem7  16249  volsup  23860  rplogsumlem2  25763  rpvmasumlem  25765  dchrisumlem2  25768  dchrisum0flblem1  25786  dchrisum0flb  25788  selberg2lem  25828  logdivbnd  25834  pntrsumo1  25843  pntrlog2bndlem2  25856  pntrlog2bndlem4  25858  pntlemr  25880  wlkdlem1  27170  wwlknvtx  27331  wwlksnred  27379  wwlksnredOLD  27380  1wlkdlem1  27666  eupth2lem3  27766  f1ocnt  30279  lmat22det  30735  meascnbl  31129  fibp1  31311  signsplypnf  31472  fsum2dsub  31532  mblfinlem2  34377  itgspltprt  41700  fourierdlem20  41849  carageniuncllem1  42240  smfmullem2  42504  iccpartgtprec  42958  fargshiftfo  42980  sbgoldbo  43326  nnsum4primeseven  43339  nnsum4primesevenALTV  43340  nn0sumshdiglemA  44053  nn0sumshdiglemB  44054