Theorem fzval3 13689

Description: Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzval3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12568	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2		fzoval 13614	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
4		zcn 12529	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11096	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		pncan 11399	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7383	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
9	3, 8	eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  fz0add1fz1  13690  fzosn  13691  fzofzp1  13719  fzisfzounsn  13735  ffz0iswrd  14503  fzosump1  15714  telfsum  15767  telfsum2  15768  sadadd  16436  sadass  16440  smuval2  16451  smumul  16462  prmgaplem7  17028  volsup  25523  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisumlem2  27453  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0flb  27473  selberg2lem  27513  logdivbnd  27519  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntlemr  27565  wlkdlem1  29749  wwlknvtx  29913  wwlksnred  29960  1wlkdlem1  30207  eupth2lem3  30306  nn0diffz0  32867  f1ocnt  32873  gsummoncoe1fz  33658  vietalem  33723  lmat22det  33966  meascnbl  34363  fibp1  34545  signsplypnf  34694  fsum2dsub  34751  pfxwlk  35306  revwlk  35307  mblfinlem2  37979  itgspltprt  46407  fourierdlem20  46555  carageniuncllem1  46949  smfmullem2  47220  ormkglobd  47305  iccpartgtprec  47880  fargshiftfo  47902  sbgoldbo  48263  nnsum4primeseven  48276  nnsum4primesevenALTV  48277  gpg5order  48536  gpg5gricstgr3  48566  gpgprismgr4cycllem9  48579  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096