Theorem fzval3 13763

Description: Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzval3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12635	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2		fzoval 13688	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
4		zcn 12596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11158	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		pncan 11463	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
9	3, 8	eqtr2d 2805	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  1c1 11101   + caddc 11103   − cmin 11441  ℤcz 12591  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  fz0add1fz1  13764  fzosn  13765  fzofzp1  13793  fzisfzounsn  13809  ffz0iswrd  14578  fzosump1  15803  telfsum  15856  telfsum2  15857  sadadd  16525  sadass  16529  smuval2  16540  smumul  16551  prmgaplem7  17117  volsup  25684  rplogsumlem2  27615  rpvmasumlem  27617  dchrisumlem2  27620  dchrisum0flblem1  27638  dchrisum0flb  27640  selberg2lem  27680  logdivbnd  27686  pntrsumo1  27695  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem4  27710  pntlemr  27732  wlkdlem1  29971  wwlknvtx  30135  wwlksnred  30182  1wlkdlem1  30429  eupth2lem3  30528  nn0diffz0  33080  f1ocnt  33086  gsummoncoe1fz  33833  vietalem  33914  lmat22det  34157  meascnbl  34554  fibp1  34736  signsplypnf  34882  fsum2dsub  34939  pfxwlk  35549  revwlk  35550  mblfinlem2  38231  itgspltprt  46619  fourierdlem20  46767  carageniuncllem1  47161  smfmullem2  47432  ormkglobd  47517  iccpartgtprec  48092  fargshiftfo  48114  sbgoldbo  48475  nnsum4primeseven  48488  nnsum4primesevenALTV  48489  gpg5order  48748  gpg5gricstgr3  48778  gpgprismgr4cycllem9  48791  nn0sumshdiglemA  49318  nn0sumshdiglemB  49319