Theorem frlmfzwrd 42474

Description: A vector of a module with indices from 0 to 𝑁 is a word over the scalars of the module. (Contributed by SN, 31-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzwrd.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
frlmfzwrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzwrd.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzwrd	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem frlmfzwrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7446	. . 3 ⊢ (0...𝑁) ∈ V
2		frlmfzwrd.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
3		frlmfzwrd.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
4		frlmfzwrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5	2, 3, 4	frlmbasf 21734	. . 3 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:(0...𝑁)⟶𝑆)
6	1, 5	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋:(0...𝑁)⟶𝑆)
7		ffz0iswrd 14561	. 2 ⊢ (𝑋:(0...𝑁)⟶𝑆 → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  0cc0 11137  ...cfz 13529  Word cword 14534  Basecbs 17229   freeLMod cfrlm 21720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-word 14535  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-hom 17297  df-cco 17298  df-0g 17457  df-prds 17463  df-pws 17465  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-dsmm 21706  df-frlm 21721

This theorem is referenced by: (None)