MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdg2ssteplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdg2ssteplem1 26676
Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 26680. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
finsumvtxdg2ssteplem.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdg2ssteplem1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑆(𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem1
StepHypRef Expression
1 upgruhgr 26218 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2 finsumvtxdg2sstep.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
32uhgrfun 26182 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun 𝐸)
54ad2antrr 705 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Fun 𝐸)
6 simprr 756 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐸 ∈ Fin)
7 finsumvtxdg2sstep.i . . . . 5 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
8 ssrab2 3836 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)} ⊆ dom 𝐸
97, 8eqsstri 3784 . . . 4 𝐼 ⊆ dom 𝐸
109a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐼 ⊆ dom 𝐸)
11 hashreshashfun 13428 . . 3 ((Fun 𝐸𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐼 ⊆ dom 𝐸) → (♯‘𝐸) = ((♯‘(𝐸𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸𝐼))))
125, 6, 10, 11syl3anc 1476 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘(𝐸𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸𝐼))))
13 finsumvtxdg2sstep.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐸𝐼)
1413eqcomi 2780 . . . . 5 (𝐸𝐼) = 𝑃
1514fveq2i 6335 . . . 4 (♯‘(𝐸𝐼)) = (♯‘𝑃)
1615a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐸𝐼)) = (♯‘𝑃))
17 notrab 4052 . . . . . 6 (dom 𝐸 ∖ {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}) = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
187difeq2i 3876 . . . . . 6 (dom 𝐸𝐼) = (dom 𝐸 ∖ {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)})
19 finsumvtxdg2ssteplem.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
20 nnel 3055 . . . . . . . . 9 𝑁 ∉ (𝐸𝑖) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸𝑖))
2120bicomi 214 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ↔ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸𝑖))
2221rabbii 3335 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
2319, 22eqtri 2793 . . . . . 6 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
2417, 18, 233eqtr4i 2803 . . . . 5 (dom 𝐸𝐼) = 𝐽
2524a1i 11 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (dom 𝐸𝐼) = 𝐽)
2625fveq2d 6336 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘(dom 𝐸𝐼)) = (♯‘𝐽))
2716, 26oveq12d 6811 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘(𝐸𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸𝐼))) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))
2812, 27eqtrd 2805 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wnel 3046  {crab 3065  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316  cop 4322  dom cdm 5249  cres 5251  Fun wfun 6025  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109   + caddc 10141  chash 13321  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  UHGraphcuhgr 26172  UPGraphcupgr 26196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322  df-uhgr 26174  df-upgr 26198
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  26680
  Copyright terms: Public domain W3C validator