MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdg2ssteplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdg2ssteplem1 27855
Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 27859. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
finsumvtxdg2ssteplem.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdg2ssteplem1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑆(𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem1
StepHypRef Expression
1 upgruhgr 27415 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2 finsumvtxdg2sstep.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
32uhgrfun 27379 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun 𝐸)
54ad2antrr 722 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Fun 𝐸)
6 simprr 769 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐸 ∈ Fin)
7 finsumvtxdg2sstep.i . . . . 5 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
87ssrab3 4016 . . . 4 𝐼 ⊆ dom 𝐸
98a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐼 ⊆ dom 𝐸)
10 hashreshashfun 14098 . . 3 ((Fun 𝐸𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐼 ⊆ dom 𝐸) → (♯‘𝐸) = ((♯‘(𝐸𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸𝐼))))
115, 6, 9, 10syl3anc 1369 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘(𝐸𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸𝐼))))
12 finsumvtxdg2sstep.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐸𝐼)
1312eqcomi 2746 . . . . 5 (𝐸𝐼) = 𝑃
1413fveq2i 6764 . . . 4 (♯‘(𝐸𝐼)) = (♯‘𝑃)
1514a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐸𝐼)) = (♯‘𝑃))
16 notrab 4247 . . . . . 6 (dom 𝐸 ∖ {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}) = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
177difeq2i 4055 . . . . . 6 (dom 𝐸𝐼) = (dom 𝐸 ∖ {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)})
18 finsumvtxdg2ssteplem.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
19 nnel 3056 . . . . . . . . 9 𝑁 ∉ (𝐸𝑖) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸𝑖))
2019bicomi 223 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ↔ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸𝑖))
2120rabbii 3402 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
2218, 21eqtri 2765 . . . . . 6 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
2316, 17, 223eqtr4i 2775 . . . . 5 (dom 𝐸𝐼) = 𝐽
2423a1i 11 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (dom 𝐸𝐼) = 𝐽)
2524fveq2d 6765 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘(dom 𝐸𝐼)) = (♯‘𝐽))
2615, 25oveq12d 7278 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘(𝐸𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸𝐼))) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))
2711, 26eqtrd 2777 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wnel 3047  {crab 3066  cdif 3885  wss 3888  {csn 4563  cop 4569  dom cdm 5585  cres 5587  Fun wfun 6417  cfv 6423  (class class class)co 7260  Fincfn 8696   + caddc 10821  chash 13988  Vtxcvtx 27309  iEdgciedg 27310  UHGraphcuhgr 27369  UPGraphcupgr 27393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-oadd 8276  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-dju 9606  df-card 9644  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-2 11982  df-n0 12180  df-xnn0 12252  df-z 12266  df-uz 12528  df-fz 13185  df-hash 13989  df-uhgr 27371  df-upgr 27395
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  27859
  Copyright terms: Public domain W3C validator