Theorem finsumvtxdg2ssteplem1 29639

Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 29643. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
finsumvtxdg2ssteplem.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2ssteplem1	⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑆(𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgruhgr 29196	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		finsumvtxdg2sstep.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgrfun 29160	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → Fun 𝐸)
5	4	ad2antrr 732	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Fun 𝐸)
6		simprr 778	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐸 ∈ Fin)
7		finsumvtxdg2sstep.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
8	7	ssrab3 4020	. . . 4 ⊢ 𝐼 ⊆ dom 𝐸
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐼 ⊆ dom 𝐸)
10		hashreshashfun 14399	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐼 ⊆ dom 𝐸) → (♯‘𝐸) = ((♯‘(𝐸 ↾ 𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸 ∖ 𝐼))))
11	5, 6, 9, 10	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘(𝐸 ↾ 𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸 ∖ 𝐼))))
12		finsumvtxdg2sstep.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
13	12	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐼) = 𝑃
14	13	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐸 ↾ 𝐼)) = (♯‘𝑃)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐸 ↾ 𝐼)) = (♯‘𝑃))
16		notrab 4257	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐸 ∖ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}) = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
17	7	difeq2i 4061	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐸 ∖ 𝐼) = (dom 𝐸 ∖ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)})
18		finsumvtxdg2ssteplem.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
19		nnel 3049	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖))
20	19	bicomi 225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ↔ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖))
21	20	rabbii 3397	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
22	18, 21	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
23	16, 17, 22	3eqtr4i 2773	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐸 ∖ 𝐼) = 𝐽
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (dom 𝐸 ∖ 𝐼) = 𝐽)
25	24	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘(dom 𝐸 ∖ 𝐼)) = (♯‘𝐽))
26	15, 25	oveq12d 7381	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘(𝐸 ↾ 𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸 ∖ 𝐼))) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))
27	11, 26	eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3039  {crab 3392   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4562  ⟨cop 4568  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890   + caddc 11039  ♯chash 14290  Vtxcvtx 29090  iEdgciedg 29091  UHGraphcuhgr 29150  UPGraphcupgr 29174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291  df-uhgr 29152  df-upgr 29176

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  29643