Theorem finsumvtxdg2ssteplem1 29578

Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 29582. (Contributed by AV, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
finsumvtxdg2ssteplem.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2ssteplem1	⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑆(𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgruhgr 29134	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		finsumvtxdg2sstep.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgrfun 29098	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → Fun 𝐸)
5	4	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Fun 𝐸)
6		simprr 773	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐸 ∈ Fin)
7		finsumvtxdg2sstep.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
8	7	ssrab3 4092	. . . 4 ⊢ 𝐼 ⊆ dom 𝐸
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐼 ⊆ dom 𝐸)
10		hashreshashfun 14475	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐼 ⊆ dom 𝐸) → (♯‘𝐸) = ((♯‘(𝐸 ↾ 𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸 ∖ 𝐼))))
11	5, 6, 9, 10	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘(𝐸 ↾ 𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸 ∖ 𝐼))))
12		finsumvtxdg2sstep.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
13	12	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐼) = 𝑃
14	13	fveq2i 6910	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐸 ↾ 𝐼)) = (♯‘𝑃)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐸 ↾ 𝐼)) = (♯‘𝑃))
16		notrab 4328	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐸 ∖ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}) = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
17	7	difeq2i 4133	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐸 ∖ 𝐼) = (dom 𝐸 ∖ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)})
18		finsumvtxdg2ssteplem.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
19		nnel 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖))
20	19	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ↔ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖))
21	20	rabbii 3439	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
22	18, 21	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ ¬ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
23	16, 17, 22	3eqtr4i 2773	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐸 ∖ 𝐼) = 𝐽
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (dom 𝐸 ∖ 𝐼) = 𝐽)
25	24	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘(dom 𝐸 ∖ 𝐼)) = (♯‘𝐽))
26	15, 25	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘(𝐸 ↾ 𝐼)) + (♯‘(dom 𝐸 ∖ 𝐼))) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))
27	11, 26	eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐸) = ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044  {crab 3433   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ⟨cop 4637  dom cdm 5689   ↾ cres 5691  Fun wfun 6557  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984   + caddc 11156  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  UHGraphcuhgr 29088  UPGraphcupgr 29112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-uhgr 29090  df-upgr 29114

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  29582