Theorem finsumvtxdg2ssteplem3 29634

Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 29636. (Contributed by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
finsumvtxdg2ssteplem.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2ssteplem3	⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖)   𝑆(𝑣,𝑖)   𝐼(𝑣,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finsumvtxdg2ssteplem.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
2	1	reqabi 3413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐽 ↔ (𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)))
3	2	anbi1i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)) ↔ ((𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)))
4		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)) ↔ (𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))))
5	3, 4	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)) ↔ (𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))))
6	5	rabbia2 3393	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}
7	6	fveq2i 6838	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))})
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}))
9	8	sumeq2dv 15658	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}))
10	9	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))
11		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ UPGraph)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin))
13		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
14		finsumvtxdg2sstep.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15		finsumvtxdg2sstep.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
16	14, 15	numedglnl 29230	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}))
17	11, 12, 13, 16	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}))
18	10, 17	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}))
19	1	fveq2i 6838	. 2 ⊢ (♯‘𝐽) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)})
20	18, 19	eqtr4di 2790	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  {crab 3390   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ⟨cop 4574  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887   + caddc 11035  ♯chash 14286  Σcsu 15642  Vtxcvtx 29082  iEdgciedg 29083  UPGraphcupgr 29166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643  df-edg 29134  df-uhgr 29144  df-upgr 29168

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  29635