MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdg2ssteplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdg2ssteplem3 26846
Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 26848. (Contributed by AV, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
finsumvtxdg2ssteplem.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdg2ssteplem3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖)   𝑆(𝑣,𝑖)   𝐼(𝑣,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem3
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdg2ssteplem.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
21rabeq2i 3411 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝐽 ↔ (𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)))
32anbi1i 619 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)) ↔ ((𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖)))
4 anass 462 . . . . . . . . 9 (((𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖)) ↔ (𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖))))
53, 4bitri 267 . . . . . . . 8 ((𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)) ↔ (𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖))))
65rabbia2 3401 . . . . . . 7 {𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖))}
76fveq2i 6437 . . . . . 6 (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖))})
87a1i 11 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖))}))
98sumeq2dv 14811 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖))}))
109oveq1d 6921 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖))}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})))
11 simpll 785 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ UPGraph)
12 simpr 479 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin))
13 simplr 787 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝑁𝑉)
14 finsumvtxdg2sstep.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15 finsumvtxdg2sstep.e . . . . 5 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
1614, 15numedglnl 26444 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) ∧ 𝑁𝑉) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖))}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}))
1711, 12, 13, 16syl3anc 1496 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸𝑖))}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}))
1810, 17eqtrd 2862 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}))
191fveq2i 6437 . 2 (♯‘𝐽) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)})
2018, 19syl6eqr 2880 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wnel 3103  {crab 3122  cdif 3796  {csn 4398  cop 4404  dom cdm 5343  cres 5345  cfv 6124  (class class class)co 6906  Fincfn 8223   + caddc 10256  chash 13411  Σcsu 14794  Vtxcvtx 26295  iEdgciedg 26296  UPGraphcupgr 26379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-disj 4843  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-clim 14597  df-sum 14795  df-edg 26347  df-uhgr 26357  df-upgr 26381
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  26847
  Copyright terms: Public domain W3C validator