Theorem finsumvtxdg2ssteplem3 30137

Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 30139. (Contributed by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
finsumvtxdg2ssteplem.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2ssteplem3	⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣, 𝑖)   𝑆(𝑣, 𝑖)   𝐼(𝑣, 𝑖)   𝐽(𝑣, 𝑖)   𝐾(𝑣, 𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finsumvtxdg2ssteplem.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
2	1	reqabi 3434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐽 ↔ (𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)))
3	2	anbi1i 636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)) ↔ ((𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)))
4		anass 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)) ↔ (𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))))
5	3, 4	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)) ↔ (𝑖 ∈ dom 𝐸 ∧ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))))
6	5	rabbia2 3415	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}
7	6	fveq2i 6893	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))})
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}))
9	8	sumeq2dv 15878	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}))
10	9	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))
11		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ UPGraph)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin))
13		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
14		finsumvtxdg2sstep.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15		finsumvtxdg2sstep.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
16	14, 15	numedglnl 29731	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}))
17	11, 12, 13, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖) ∧ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖))}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}))
18	10, 17	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}))
19	1	fveq2i 6893	. 2 ⊢ (♯‘𝐽) = (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)})
20	18, 19	eqtr4di 2813	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  {crab 3412   ∖ cdif 4044  {csn 4584  ⟨cop 4834  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Fincfn 8981   + caddc 11210  ♯chash 14481  Σcsu 15862  Vtxcvtx 29583  iEdgciedg 29584  UPGraphcupgr 29667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-oadd 8488  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-edg 29635  df-uhgr 29645  df-upgr 29669

This theorem is used by:  finsumvtxdg2ssteplem4  30138