Theorem fmul01lt1 45584

Description: Given a finite multiplication of values between 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1.1	⊢ Ⅎ𝑖𝐵
fmul01lt1.2	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
fmul01lt1.3	⊢ Ⅎ𝑗𝐴
fmul01lt1.4	⊢ 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
fmul01lt1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fmul01lt1.6	⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
fmul01lt1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
fmul01lt1.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1.10	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐸   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fmul01lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmul01lt1.10	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸)
2		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
3		fmul01lt1.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝑀
5	3, 4	nffv 6868	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴‘𝑀)
6		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 <
7		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐸
8	5, 6, 7	nfbr 5154	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴‘𝑀) < 𝐸
9		fmul01lt1.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
10		fmul01lt1.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
11		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
12		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑗
13	9, 12	nffv 6868	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐵‘𝑗)
14		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 <
15		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐸
16	13, 14, 15	nfbr 5154	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐵‘𝑗) < 𝐸
17	10, 11, 16	nf3an 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸)
18		fmul01lt1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
19		1zzd 12564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
20		fmul01lt1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
21		elnnuz 12837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
22	20, 21	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
24		fmul01lt1.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
26	25	3ad2antl1 1186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
27		fmul01lt1.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
28	27	3ad2antl1 1186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
29		fmul01lt1.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
30	29	3ad2antl1 1186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
31		fmul01lt1.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝐸 ∈ ℝ+)
33		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
34		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → (𝐵‘𝑗) < 𝐸)
35	9, 17, 18, 19, 23, 26, 28, 30, 32, 33, 34	fmul01lt1lem2 45583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)
36	35	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝐵‘𝑗) < 𝐸 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)))
37	2, 8, 36	rexlimd 3244	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸))
38	1, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  ...cfz 13468  seqcseq 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967

This theorem is referenced by:  stoweidlem48  46046