Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01lt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmul01lt1 45542
Description: Given a finite multiplication of values between 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1.1 𝑖𝐵
fmul01lt1.2 𝑖𝜑
fmul01lt1.3 𝑗𝐴
fmul01lt1.4 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
fmul01lt1.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fmul01lt1.6 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
fmul01lt1.7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1.8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1.10 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐸   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fmul01lt1
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1.10 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸)
2 nfv 1912 . . 3 𝑗𝜑
3 fmul01lt1.3 . . . . 5 𝑗𝐴
4 nfcv 2903 . . . . 5 𝑗𝑀
53, 4nffv 6917 . . . 4 𝑗(𝐴𝑀)
6 nfcv 2903 . . . 4 𝑗 <
7 nfcv 2903 . . . 4 𝑗𝐸
85, 6, 7nfbr 5195 . . 3 𝑗(𝐴𝑀) < 𝐸
9 fmul01lt1.1 . . . . 5 𝑖𝐵
10 fmul01lt1.2 . . . . . 6 𝑖𝜑
11 nfv 1912 . . . . . 6 𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
12 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑖𝑗
139, 12nffv 6917 . . . . . . 7 𝑖(𝐵𝑗)
14 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑖 <
15 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑖𝐸
1613, 14, 15nfbr 5195 . . . . . 6 𝑖(𝐵𝑗) < 𝐸
1710, 11, 16nf3an 1899 . . . . 5 𝑖(𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸)
18 fmul01lt1.4 . . . . 5 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
19 1zzd 12646 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
20 fmul01lt1.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21 elnnuz 12920 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
2220, 21sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
23223ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
24 fmul01lt1.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
2524ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
26253ad2antl1 1184 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
27 fmul01lt1.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
28273ad2antl1 1184 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
29 fmul01lt1.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
30293ad2antl1 1184 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
31 fmul01lt1.9 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32313ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝐸 ∈ ℝ+)
33 simp2 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
34 simp3 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → (𝐵𝑗) < 𝐸)
359, 17, 18, 19, 23, 26, 28, 30, 32, 33, 34fmul01lt1lem2 45541 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
36353exp 1118 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝐵𝑗) < 𝐸 → (𝐴𝑀) < 𝐸)))
372, 8, 36rexlimd 3264 . 2 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸 → (𝐴𝑀) < 𝐸))
381, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  wrex 3068   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  cuz 12876  +crp 13032  ...cfz 13544  seqcseq 14039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040
This theorem is referenced by:  stoweidlem48  46004
  Copyright terms: Public domain W3C validator