Theorem fmul01lt1 41363

Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1.1	⊢ Ⅎ𝑖𝐵
fmul01lt1.2	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
fmul01lt1.3	⊢ Ⅎ𝑗𝐴
fmul01lt1.4	⊢ 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
fmul01lt1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fmul01lt1.6	⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
fmul01lt1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
fmul01lt1.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1.10	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐸   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fmul01lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmul01lt1.10	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸)
2		nfv 1890	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
3		fmul01lt1.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		nfcv 2947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝑀
5	3, 4	nffv 6540	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴‘𝑀)
6		nfcv 2947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 <
7		nfcv 2947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐸
8	5, 6, 7	nfbr 5003	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴‘𝑀) < 𝐸
9		fmul01lt1.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
10		fmul01lt1.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
11		nfv 1890	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
12		nfcv 2947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑗
13	9, 12	nffv 6540	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐵‘𝑗)
14		nfcv 2947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 <
15		nfcv 2947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐸
16	13, 14, 15	nfbr 5003	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐵‘𝑗) < 𝐸
17	10, 11, 16	nf3an 1881	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸)
18		fmul01lt1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
19		1zzd 11851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
20		fmul01lt1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
21		elnnuz 12120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
22	20, 21	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
23	22	3ad2ant1 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
24		fmul01lt1.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
25	24	ffvelrnda 6707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
26	25	3ad2antl1 1176	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
27		fmul01lt1.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
28	27	3ad2antl1 1176	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
29		fmul01lt1.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
30	29	3ad2antl1 1176	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
31		fmul01lt1.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
32	31	3ad2ant1 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝐸 ∈ ℝ+)
33		simp2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
34		simp3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → (𝐵‘𝑗) < 𝐸)
35	9, 17, 18, 19, 23, 26, 28, 30, 32, 33, 34	fmul01lt1lem2 41362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)
36	35	3exp 1110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝐵‘𝑗) < 𝐸 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)))
37	2, 8, 36	rexlimd 3275	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸))
38	1, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520  Ⅎwnf 1763   ∈ wcel 2079  Ⅎwnfc 2931  ∃wrex 3104   class class class wbr 4956  ⟶wf 6213  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℝcr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   · cmul 10377   < clt 10510   ≤ cle 10511  ℕcn 11475  ℤ_≥cuz 12082  ℝ⁺crp 12228  ...cfz 12731  seqcseq 13207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208

This theorem is referenced by:  stoweidlem48  41829