Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01lt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmul01lt1 43722
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1.1 𝑖𝐵
fmul01lt1.2 𝑖𝜑
fmul01lt1.3 𝑗𝐴
fmul01lt1.4 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
fmul01lt1.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fmul01lt1.6 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
fmul01lt1.7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1.8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1.10 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐸   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fmul01lt1
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1.10 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸)
2 nfv 1918 . . 3 𝑗𝜑
3 fmul01lt1.3 . . . . 5 𝑗𝐴
4 nfcv 2906 . . . . 5 𝑗𝑀
53, 4nffv 6850 . . . 4 𝑗(𝐴𝑀)
6 nfcv 2906 . . . 4 𝑗 <
7 nfcv 2906 . . . 4 𝑗𝐸
85, 6, 7nfbr 5151 . . 3 𝑗(𝐴𝑀) < 𝐸
9 fmul01lt1.1 . . . . 5 𝑖𝐵
10 fmul01lt1.2 . . . . . 6 𝑖𝜑
11 nfv 1918 . . . . . 6 𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
12 nfcv 2906 . . . . . . . 8 𝑖𝑗
139, 12nffv 6850 . . . . . . 7 𝑖(𝐵𝑗)
14 nfcv 2906 . . . . . . 7 𝑖 <
15 nfcv 2906 . . . . . . 7 𝑖𝐸
1613, 14, 15nfbr 5151 . . . . . 6 𝑖(𝐵𝑗) < 𝐸
1710, 11, 16nf3an 1905 . . . . 5 𝑖(𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸)
18 fmul01lt1.4 . . . . 5 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
19 1zzd 12493 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
20 fmul01lt1.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21 elnnuz 12762 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
2220, 21sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
23223ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
24 fmul01lt1.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
2524ffvelcdmda 7032 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
26253ad2antl1 1186 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
27 fmul01lt1.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
28273ad2antl1 1186 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
29 fmul01lt1.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
30293ad2antl1 1186 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
31 fmul01lt1.9 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32313ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝐸 ∈ ℝ+)
33 simp2 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
34 simp3 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → (𝐵𝑗) < 𝐸)
359, 17, 18, 19, 23, 26, 28, 30, 32, 33, 34fmul01lt1lem2 43721 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
36353exp 1120 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝐵𝑗) < 𝐸 → (𝐴𝑀) < 𝐸)))
372, 8, 36rexlimd 3248 . 2 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸 → (𝐴𝑀) < 𝐸))
381, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2886  wrex 3072   class class class wbr 5104  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  cr 11009  0cc0 11010  1c1 11011   · cmul 11015   < clt 11148  cle 11149  cn 12112  cuz 12722  +crp 12870  ...cfz 13379  seqcseq 13861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862
This theorem is referenced by:  stoweidlem48  44184
  Copyright terms: Public domain W3C validator