Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01lt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmul01lt1 42271
 Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1.1 𝑖𝐵
fmul01lt1.2 𝑖𝜑
fmul01lt1.3 𝑗𝐴
fmul01lt1.4 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
fmul01lt1.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fmul01lt1.6 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
fmul01lt1.7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1.8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1.10 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐸   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fmul01lt1
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1.10 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸)
2 nfv 1915 . . 3 𝑗𝜑
3 fmul01lt1.3 . . . . 5 𝑗𝐴
4 nfcv 2955 . . . . 5 𝑗𝑀
53, 4nffv 6656 . . . 4 𝑗(𝐴𝑀)
6 nfcv 2955 . . . 4 𝑗 <
7 nfcv 2955 . . . 4 𝑗𝐸
85, 6, 7nfbr 5078 . . 3 𝑗(𝐴𝑀) < 𝐸
9 fmul01lt1.1 . . . . 5 𝑖𝐵
10 fmul01lt1.2 . . . . . 6 𝑖𝜑
11 nfv 1915 . . . . . 6 𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
12 nfcv 2955 . . . . . . . 8 𝑖𝑗
139, 12nffv 6656 . . . . . . 7 𝑖(𝐵𝑗)
14 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑖 <
15 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑖𝐸
1613, 14, 15nfbr 5078 . . . . . 6 𝑖(𝐵𝑗) < 𝐸
1710, 11, 16nf3an 1902 . . . . 5 𝑖(𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸)
18 fmul01lt1.4 . . . . 5 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
19 1zzd 12004 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
20 fmul01lt1.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21 elnnuz 12273 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
2220, 21sylib 221 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
23223ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
24 fmul01lt1.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
2524ffvelrnda 6829 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
26253ad2antl1 1182 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
27 fmul01lt1.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
28273ad2antl1 1182 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
29 fmul01lt1.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
30293ad2antl1 1182 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
31 fmul01lt1.9 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32313ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝐸 ∈ ℝ+)
33 simp2 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
34 simp3 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → (𝐵𝑗) < 𝐸)
359, 17, 18, 19, 23, 26, 28, 30, 32, 33, 34fmul01lt1lem2 42270 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
36353exp 1116 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝐵𝑗) < 𝐸 → (𝐴𝑀) < 𝐸)))
372, 8, 36rexlimd 3276 . 2 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸 → (𝐴𝑀) < 𝐸))
381, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936  ∃wrex 3107   class class class wbr 5031  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℕcn 11628  ℤ≥cuz 12234  ℝ+crp 12380  ...cfz 12888  seqcseq 13367 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368 This theorem is referenced by:  stoweidlem48  42733
 Copyright terms: Public domain W3C validator