Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01lt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmul01lt1 41363
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1.1 𝑖𝐵
fmul01lt1.2 𝑖𝜑
fmul01lt1.3 𝑗𝐴
fmul01lt1.4 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
fmul01lt1.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fmul01lt1.6 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
fmul01lt1.7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1.8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1.10 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐸   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fmul01lt1
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1.10 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸)
2 nfv 1890 . . 3 𝑗𝜑
3 fmul01lt1.3 . . . . 5 𝑗𝐴
4 nfcv 2947 . . . . 5 𝑗𝑀
53, 4nffv 6540 . . . 4 𝑗(𝐴𝑀)
6 nfcv 2947 . . . 4 𝑗 <
7 nfcv 2947 . . . 4 𝑗𝐸
85, 6, 7nfbr 5003 . . 3 𝑗(𝐴𝑀) < 𝐸
9 fmul01lt1.1 . . . . 5 𝑖𝐵
10 fmul01lt1.2 . . . . . 6 𝑖𝜑
11 nfv 1890 . . . . . 6 𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
12 nfcv 2947 . . . . . . . 8 𝑖𝑗
139, 12nffv 6540 . . . . . . 7 𝑖(𝐵𝑗)
14 nfcv 2947 . . . . . . 7 𝑖 <
15 nfcv 2947 . . . . . . 7 𝑖𝐸
1613, 14, 15nfbr 5003 . . . . . 6 𝑖(𝐵𝑗) < 𝐸
1710, 11, 16nf3an 1881 . . . . 5 𝑖(𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸)
18 fmul01lt1.4 . . . . 5 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
19 1zzd 11851 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
20 fmul01lt1.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21 elnnuz 12120 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
2220, 21sylib 219 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
23223ad2ant1 1124 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
24 fmul01lt1.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
2524ffvelrnda 6707 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
26253ad2antl1 1176 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
27 fmul01lt1.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
28273ad2antl1 1176 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
29 fmul01lt1.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
30293ad2antl1 1176 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
31 fmul01lt1.9 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
32313ad2ant1 1124 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝐸 ∈ ℝ+)
33 simp2 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
34 simp3 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → (𝐵𝑗) < 𝐸)
359, 17, 18, 19, 23, 26, 28, 30, 32, 33, 34fmul01lt1lem2 41362 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵𝑗) < 𝐸) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
36353exp 1110 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝐵𝑗) < 𝐸 → (𝐴𝑀) < 𝐸)))
372, 8, 36rexlimd 3275 . 2 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵𝑗) < 𝐸 → (𝐴𝑀) < 𝐸))
381, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wnf 1763  wcel 2079  wnfc 2931  wrex 3104   class class class wbr 4956  wf 6213  cfv 6217  (class class class)co 7007  cr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   · cmul 10377   < clt 10510  cle 10511  cn 11475  cuz 12082  +crp 12228  ...cfz 12731  seqcseq 13207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208
This theorem is referenced by:  stoweidlem48  41829
  Copyright terms: Public domain W3C validator