Theorem fmul01lt1 46597

Description: Given a finite multiplication of values between 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1.1	⊢ Ⅎ𝑖𝐵
fmul01lt1.2	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
fmul01lt1.3	⊢ Ⅎ𝑗𝐴
fmul01lt1.4	⊢ 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
fmul01lt1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fmul01lt1.6	⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
fmul01lt1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
fmul01lt1.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1.10	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐸   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖, 𝑗)   𝐵(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem fmul01lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmul01lt1.10	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸)
2		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
3		fmul01lt1.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝑀
5	3, 4	nffv 6895	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴‘𝑀)
6		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 <
7		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐸
8	5, 6, 7	nfbr 5152	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴‘𝑀) < 𝐸
9		fmul01lt1.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
10		fmul01lt1.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
11		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
12		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑗
13	9, 12	nffv 6895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐵‘𝑗)
14		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 <
15		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐸
16	13, 14, 15	nfbr 5152	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐵‘𝑗) < 𝐸
17	10, 11, 16	nf3an 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸)
18		fmul01lt1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
19		1zzd 12727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
20		fmul01lt1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
21		elnnuz 13005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
22	20, 21	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
24		fmul01lt1.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
26	25	3ad2antl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
27		fmul01lt1.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
28	27	3ad2antl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
29		fmul01lt1.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
30	29	3ad2antl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
31		fmul01lt1.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
32	31	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝐸 ∈ ℝ+)
33		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
34		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → (𝐵‘𝑗) < 𝐸)
35	9, 17, 18, 19, 23, 26, 28, 30, 32, 33, 34	fmul01lt1lem2 46596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)
36	35	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝐵‘𝑗) < 𝐸 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)))
37	2, 8, 36	rexlimd 3270	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸))
38	1, 37	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  ...cfz 13639  seqcseq 14144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145

This theorem is used by:  stoweidlem48  47057