Theorem fmul01lt1 43127

Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1.1	⊢ Ⅎ𝑖𝐵
fmul01lt1.2	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
fmul01lt1.3	⊢ Ⅎ𝑗𝐴
fmul01lt1.4	⊢ 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
fmul01lt1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fmul01lt1.6	⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
fmul01lt1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
fmul01lt1.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1.10	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐸   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fmul01lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmul01lt1.10	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸)
2		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
3		fmul01lt1.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝑀
5	3, 4	nffv 6784	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴‘𝑀)
6		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 <
7		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐸
8	5, 6, 7	nfbr 5121	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐴‘𝑀) < 𝐸
9		fmul01lt1.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
10		fmul01lt1.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
11		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ (1...𝑀)
12		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑗
13	9, 12	nffv 6784	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐵‘𝑗)
14		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 <
15		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐸
16	13, 14, 15	nfbr 5121	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐵‘𝑗) < 𝐸
17	10, 11, 16	nf3an 1904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸)
18		fmul01lt1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = seq1( · , 𝐵)
19		1zzd 12351	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
20		fmul01lt1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
21		elnnuz 12622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
22	20, 21	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
23	22	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
24		fmul01lt1.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(1...𝑀)⟶ℝ)
25	24	ffvelrnda 6961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
26	25	3ad2antl1 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
27		fmul01lt1.7	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
28	27	3ad2antl1 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵‘𝑖))
29		fmul01lt1.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
30	29	3ad2antl1 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐵‘𝑖) ≤ 1)
31		fmul01lt1.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
32	31	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝐸 ∈ ℝ+)
33		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
34		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → (𝐵‘𝑗) < 𝐸)
35	9, 17, 18, 19, 23, 26, 28, 30, 32, 33, 34	fmul01lt1lem2 43126	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐵‘𝑗) < 𝐸) → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)
36	35	3exp 1118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝐵‘𝑗) < 𝐸 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)))
37	2, 8, 36	rexlimd 3250	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐵‘𝑗) < 𝐸 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸))
38	1, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑀) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ...cfz 13239  seqcseq 13721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722

This theorem is referenced by:  stoweidlem48  43589