Theorem frlmvscaval 20975

Description: Coordinates of a scalar multiple with respect to a basis in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvscaval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
frlmvscaval.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscaval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem frlmvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscaval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmvscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		frlmvscaval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		frlmvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		frlmvscaval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
6		frlmvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		frlmvscaval.v	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		frlmvscaval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	frlmvscafval 20973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
10	9	fveq1d 6776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽))
11		fnconstg 6662	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐾 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
12	5, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
13	1, 3, 2	frlmbasf 20967	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶𝐾)
14	4, 6, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶𝐾)
15	14	ffnd 6601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
16		frlmvscaval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
17		fnfvof 7550	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼 ∧ 𝑋 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)))
18	12, 15, 4, 16, 17	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)))
19		fvconst2g 7077	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
20	5, 16, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
22	10, 18, 21	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561   × cxp 5587   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   ·_𝑠 cvsca 16966   freeLMod cfrlm 20953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954

This theorem is referenced by:  frlmvscavalb  20977  frlmvplusgscavalb  20978  frlmphl  20988  frlmssuvc2  21002  frlmup1  21005  rrxvsca  24558  frlmsnic  40263  prjspnfv01  40461  prjspner1  40463