MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscaval 21190
Description: Coordinates of a scalar multiple with respect to a basis in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmvscaval.y ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
frlmvscaval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
frlmvscaval.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
frlmvscaval.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
frlmvscaval.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
frlmvscaval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
frlmvscaval.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐ผ)
frlmvscaval.v โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
frlmvscaval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
frlmvscaval (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ™ ๐‘‹)โ€˜๐ฝ) = (๐ด ยท (๐‘‹โ€˜๐ฝ)))

Proof of Theorem frlmvscaval
StepHypRef Expression
1 frlmvscaval.y . . . 4 ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
2 frlmvscaval.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
3 frlmvscaval.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
4 frlmvscaval.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
5 frlmvscaval.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
6 frlmvscaval.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
7 frlmvscaval.v . . . 4 โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
8 frlmvscaval.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frlmvscafval 21188 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ™ ๐‘‹) = ((๐ผ ร— {๐ด}) โˆ˜f ยท ๐‘‹))
109fveq1d 6845 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ™ ๐‘‹)โ€˜๐ฝ) = (((๐ผ ร— {๐ด}) โˆ˜f ยท ๐‘‹)โ€˜๐ฝ))
11 fnconstg 6731 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐พ โ†’ (๐ผ ร— {๐ด}) Fn ๐ผ)
125, 11syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ ร— {๐ด}) Fn ๐ผ)
131, 3, 2frlmbasf 21182 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹:๐ผโŸถ๐พ)
144, 6, 13syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹:๐ผโŸถ๐พ)
1514ffnd 6670 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ Fn ๐ผ)
16 frlmvscaval.j . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐ผ)
17 fnfvof 7635 . . 3 ((((๐ผ ร— {๐ด}) Fn ๐ผ โˆง ๐‘‹ Fn ๐ผ) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐ผ)) โ†’ (((๐ผ ร— {๐ด}) โˆ˜f ยท ๐‘‹)โ€˜๐ฝ) = (((๐ผ ร— {๐ด})โ€˜๐ฝ) ยท (๐‘‹โ€˜๐ฝ)))
1812, 15, 4, 16, 17syl22anc 838 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ผ ร— {๐ด}) โˆ˜f ยท ๐‘‹)โ€˜๐ฝ) = (((๐ผ ร— {๐ด})โ€˜๐ฝ) ยท (๐‘‹โ€˜๐ฝ)))
19 fvconst2g 7152 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐พ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐ผ ร— {๐ด})โ€˜๐ฝ) = ๐ด)
205, 16, 19syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ ร— {๐ด})โ€˜๐ฝ) = ๐ด)
2120oveq1d 7373 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ผ ร— {๐ด})โ€˜๐ฝ) ยท (๐‘‹โ€˜๐ฝ)) = (๐ด ยท (๐‘‹โ€˜๐ฝ)))
2210, 18, 213eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ™ ๐‘‹)โ€˜๐ฝ) = (๐ด ยท (๐‘‹โ€˜๐ฝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {csn 4587   ร— cxp 5632   Fn wfn 6492  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆ˜f cof 7616  Basecbs 17088  .rcmulr 17139   ยท๐‘  cvsca 17142   freeLMod cfrlm 21168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-prds 17334  df-pws 17336  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169
This theorem is referenced by:  frlmvscavalb  21192  frlmvplusgscavalb  21193  frlmphl  21203  frlmssuvc2  21217  frlmup1  21220  rrxvsca  24774  frlmsnic  40771  prjspnfv01  41005  prjspner1  41007
  Copyright terms: Public domain W3C validator