Theorem frlmvscaval 21746

Description: Coordinates of a scalar multiple with respect to a basis in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvscaval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
frlmvscaval.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscaval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem frlmvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscaval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmvscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		frlmvscaval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		frlmvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		frlmvscaval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
6		frlmvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		frlmvscaval.v	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		frlmvscaval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	frlmvscafval 21744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
10	9	fveq1d 6832	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽))
11		fnconstg 6718	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐾 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
12	5, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
13	1, 3, 2	frlmbasf 21738	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶𝐾)
14	4, 6, 13	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶𝐾)
15	14	ffnd 6659	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
16		frlmvscaval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
17		fnfvof 7640	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼 ∧ 𝑋 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)))
18	12, 15, 4, 16, 17	syl22anc 845	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)))
19		fvconst2g 7149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
20	5, 16, 19	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
22	10, 18, 21	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4557   × cxp 5618   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∘_f cof 7621  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216   ·_𝑠 cvsca 17219   freeLMod cfrlm 21724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-pws 17407  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-dsmm 21710  df-frlm 21725

This theorem is referenced by:  frlmvscavalb  21748  frlmvplusgscavalb  21749  frlmphl  21759  frlmssuvc2  21773  frlmup1  21776  rrxvsca  25382  frlmsnic  43039  prjspnfv01  43087  prjspner1  43089