Theorem frlmvscaval 21704

Description: Coordinates of a scalar multiple with respect to a basis in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvscaval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
frlmvscaval.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscaval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem frlmvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscaval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmvscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		frlmvscaval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		frlmvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		frlmvscaval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
6		frlmvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		frlmvscaval.v	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		frlmvscaval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	frlmvscafval 21702	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
10	9	fveq1d 6893	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽))
11		fnconstg 6779	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐾 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
12	5, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
13	1, 3, 2	frlmbasf 21696	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶𝐾)
14	4, 6, 13	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶𝐾)
15	14	ffnd 6717	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
16		frlmvscaval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
17		fnfvof 7698	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼 ∧ 𝑋 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)))
18	12, 15, 4, 16, 17	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)))
19		fvconst2g 7209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
20	5, 16, 19	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
22	10, 18, 21	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4624   × cxp 5670   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘_f cof 7679  Basecbs 17177  ._rcmulr 17231   ·_𝑠 cvsca 17234   freeLMod cfrlm 21682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-prds 17426  df-pws 17428  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683

This theorem is referenced by:  frlmvscavalb  21706  frlmvplusgscavalb  21707  frlmphl  21717  frlmssuvc2  21731  frlmup1  21734  rrxvsca  25338  frlmsnic  41825  prjspnfv01  42112  prjspner1  42114