MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscaval 20956
Description: Coordinates of a scalar multiple with respect to a basis in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmvscaval.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscaval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscaval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscaval.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmvscaval.a (𝜑𝐴𝐾)
frlmvscaval.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmvscaval.j (𝜑𝐽𝐼)
frlmvscaval.v = ( ·𝑠𝑌)
frlmvscaval.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
frlmvscaval (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))

Proof of Theorem frlmvscaval
StepHypRef Expression
1 frlmvscaval.y . . . 4 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmvscaval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 frlmvscaval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 frlmvscaval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 frlmvscaval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
6 frlmvscaval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
7 frlmvscaval.v . . . 4 = ( ·𝑠𝑌)
8 frlmvscaval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frlmvscafval 20954 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
109fveq1d 6770 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽))
11 fnconstg 6658 . . . 4 (𝐴𝐾 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
125, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
131, 3, 2frlmbasf 20948 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼𝐾)
144, 6, 13syl2anc 583 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐼𝐾)
1514ffnd 6597 . . 3 (𝜑𝑋 Fn 𝐼)
16 frlmvscaval.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
17 fnfvof 7541 . . 3 ((((𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼𝑋 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑊𝐽𝐼)) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋𝐽)))
1812, 15, 4, 16, 17syl22anc 835 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋𝐽)))
19 fvconst2g 7071 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐽𝐼) → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
205, 16, 19syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
2120oveq1d 7283 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋𝐽)) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))
2210, 18, 213eqtrd 2783 1 (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2109  {csn 4566   × cxp 5586   Fn wfn 6425  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  f cof 7522  Basecbs 16893  .rcmulr 16944   ·𝑠 cvsca 16947   freeLMod cfrlm 20934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-prds 17139  df-pws 17141  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-dsmm 20920  df-frlm 20935
This theorem is referenced by:  frlmvscavalb  20958  frlmvplusgscavalb  20959  frlmphl  20969  frlmssuvc2  20983  frlmup1  20986  rrxvsca  24539  frlmsnic  40243  prjspnfv01  40441  prjspner1  40443
  Copyright terms: Public domain W3C validator