MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscaval 20511
Description: Coordinates of a scalar multiple with respect to a basis in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmvscaval.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscaval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscaval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscaval.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmvscaval.a (𝜑𝐴𝐾)
frlmvscaval.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmvscaval.j (𝜑𝐽𝐼)
frlmvscaval.v = ( ·𝑠𝑌)
frlmvscaval.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
frlmvscaval (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))

Proof of Theorem frlmvscaval
StepHypRef Expression
1 frlmvscaval.y . . . 4 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmvscaval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 frlmvscaval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 frlmvscaval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 frlmvscaval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
6 frlmvscaval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
7 frlmvscaval.v . . . 4 = ( ·𝑠𝑌)
8 frlmvscaval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frlmvscafval 20509 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋))
109fveq1d 6448 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋)‘𝐽))
11 fnconstg 6343 . . . 4 (𝐴𝐾 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
125, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
131, 3, 2frlmbasf 20503 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼𝐾)
144, 6, 13syl2anc 579 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐼𝐾)
1514ffnd 6292 . . 3 (𝜑𝑋 Fn 𝐼)
16 frlmvscaval.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
17 fnfvof 7188 . . 3 ((((𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼𝑋 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑊𝐽𝐼)) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋𝐽)))
1812, 15, 4, 16, 17syl22anc 829 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋𝐽)))
19 fvconst2g 6739 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐽𝐼) → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
205, 16, 19syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
2120oveq1d 6937 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋𝐽)) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))
2210, 18, 213eqtrd 2817 1 (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2106  {csn 4397   × cxp 5353   Fn wfn 6130  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  𝑓 cof 7172  Basecbs 16255  .rcmulr 16339   ·𝑠 cvsca 16342   freeLMod cfrlm 20489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-dsmm 20475  df-frlm 20490
This theorem is referenced by:  frlmvscavalb  20513  frlmvplusgscavalb  20514  frlmphl  20524  frlmssuvc2  20538  frlmup1  20541  rrxvsca  23600
  Copyright terms: Public domain W3C validator