Theorem frlmvscaval 21682

Description: Coordinates of a scalar multiple with respect to a basis in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvscaval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
frlmvscaval.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscaval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem frlmvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscaval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmvscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		frlmvscaval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		frlmvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		frlmvscaval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
6		frlmvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		frlmvscaval.v	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		frlmvscaval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	frlmvscafval 21680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
10	9	fveq1d 6893	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽))
11		fnconstg 6779	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐾 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
12	5, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
13	1, 3, 2	frlmbasf 21674	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶𝐾)
14	4, 6, 13	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶𝐾)
15	14	ffnd 6717	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
16		frlmvscaval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
17		fnfvof 7694	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼 ∧ 𝑋 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)))
18	12, 15, 4, 16, 17	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)))
19		fvconst2g 7208	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
20	5, 16, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
22	10, 18, 21	3eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624   × cxp 5670   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7675  Basecbs 17165  ._rcmulr 17219   ·_𝑠 cvsca 17222   freeLMod cfrlm 21660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-prds 17414  df-pws 17416  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661

This theorem is referenced by:  frlmvscavalb  21684  frlmvplusgscavalb  21685  frlmphl  21695  frlmssuvc2  21709  frlmup1  21712  rrxvsca  25296  frlmsnic  41683  prjspnfv01  41960  prjspner1  41962