Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscaval 20466
 Description: Coordinates of a scalar multiple with respect to a basis in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmvscaval.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscaval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscaval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscaval.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmvscaval.a (𝜑𝐴𝐾)
frlmvscaval.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmvscaval.j (𝜑𝐽𝐼)
frlmvscaval.v = ( ·𝑠𝑌)
frlmvscaval.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
frlmvscaval (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))

Proof of Theorem frlmvscaval
StepHypRef Expression
1 frlmvscaval.y . . . 4 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmvscaval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 frlmvscaval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 frlmvscaval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 frlmvscaval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
6 frlmvscaval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
7 frlmvscaval.v . . . 4 = ( ·𝑠𝑌)
8 frlmvscaval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8frlmvscafval 20464 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
109fveq1d 6665 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽))
11 fnconstg 6559 . . . 4 (𝐴𝐾 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
125, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
131, 3, 2frlmbasf 20458 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼𝐾)
144, 6, 13syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐼𝐾)
1514ffnd 6506 . . 3 (𝜑𝑋 Fn 𝐼)
16 frlmvscaval.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
17 fnfvof 7419 . . 3 ((((𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼𝑋 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑊𝐽𝐼)) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋𝐽)))
1812, 15, 4, 16, 17syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋𝐽)))
19 fvconst2g 6957 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐽𝐼) → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
205, 16, 19syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
2120oveq1d 7166 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋𝐽)) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))
2210, 18, 213eqtrd 2863 1 (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {csn 4550   × cxp 5541   Fn wfn 6340  ⟶wf 6341  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151   ∘f cof 7403  Basecbs 16485  .rcmulr 16568   ·𝑠 cvsca 16571   freeLMod cfrlm 20444 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-prds 16723  df-pws 16725  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-dsmm 20430  df-frlm 20445 This theorem is referenced by:  frlmvscavalb  20468  frlmvplusgscavalb  20469  frlmphl  20479  frlmssuvc2  20493  frlmup1  20496  rrxvsca  24007  frlmsnic  39414
 Copyright terms: Public domain W3C validator