Theorem frlmvscaval 21705

Description: Coordinates of a scalar multiple with respect to a basis in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvscaval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
frlmvscaval.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscaval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem frlmvscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscaval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmvscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		frlmvscaval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		frlmvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		frlmvscaval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
6		frlmvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		frlmvscaval.v	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		frlmvscaval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	frlmvscafval 21703	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
10	9	fveq1d 6824	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽))
11		fnconstg 6711	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐾 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
12	5, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼)
13	1, 3, 2	frlmbasf 21697	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶𝐾)
14	4, 6, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶𝐾)
15	14	ffnd 6652	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
16		frlmvscaval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
17		fnfvof 7627	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝐴}) Fn 𝐼 ∧ 𝑋 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)))
18	12, 15, 4, 16, 17	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋)‘𝐽) = (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)))
19		fvconst2g 7136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
20	5, 16, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝐴})‘𝐽) · (𝑋‘𝐽)) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
22	10, 18, 21	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573   × cxp 5612   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   ·_𝑠 cvsca 17165   freeLMod cfrlm 21683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-dsmm 21669  df-frlm 21684

This theorem is referenced by:  frlmvscavalb  21707  frlmvplusgscavalb  21708  frlmphl  21718  frlmssuvc2  21732  frlmup1  21735  rrxvsca  25321  frlmsnic  42643  prjspnfv01  42727  prjspner1  42729