Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpsubst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpsubst 38271
 Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial. 𝐺 is expected to depend on 𝑦 and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1127 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
2 elfvex 6480 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
323ad2ant2 1125 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
4 simp3 1129 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
5 simp2 1128 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
6 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊))
7 simpll3 1230 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
8 simpll2 1228 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
9 mzpf 38259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → 𝐺:(ℤ ↑𝑚 𝑊)⟶ℤ)
109ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
1110expcom 404 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) → (𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ))
1211ralimdv 3145 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) → (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → ∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ))
1312imp 397 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → ∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
14 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) = (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))
1514fmpt 6644 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
1613, 15sylib 210 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
1716adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
18 zex 11737 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
19 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑉 ∈ V)
20 elmapg 8153 . . . . . . . . 9 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ))
2118, 19, 20sylancr 581 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ))
2217, 21mpbird 249 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
236, 7, 8, 22syl21anc 828 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
24 vex 3401 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
2524fvconst2 6741 . . . . . 6 ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = 𝑏)
2623, 25syl 17 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = 𝑏)
2726mpteq2dva 4979 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ 𝑏))
28 mzpconstmpt 38263 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ 𝑏) ∈ (mzPoly‘𝑊))
29283ad2antl1 1193 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ 𝑏) ∈ (mzPoly‘𝑊))
3027, 29eqeltrd 2859 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
31 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊))
32 simpll3 1230 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
33 simpll2 1228 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
3431, 32, 33, 22syl21anc 828 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
35 fveq1 6445 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) → (𝑐𝑏) = ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏))
36 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))
37 fvex 6459 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏) ∈ V
3835, 36, 37fvmpt 6542 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏))
40 simplr 759 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑏𝑉)
41 fvex 6459 . . . . . . . 8 (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥) ∈ V
42 csbeq1 3754 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏𝑎 / 𝑦𝐺 = 𝑏 / 𝑦𝐺)
4342fveq1d 6448 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 / 𝑦𝐺𝑥) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
44 nfcv 2934 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝐺𝑥)
45 nfcsb1v 3767 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑎 / 𝑦𝐺
46 nfcv 2934 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑥
4745, 46nffv 6456 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝑎 / 𝑦𝐺𝑥)
48 csbeq1a 3760 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎𝐺 = 𝑎 / 𝑦𝐺)
4948fveq1d 6448 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝐺𝑥) = (𝑎 / 𝑦𝐺𝑥))
5044, 47, 49cbvmpt 4984 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑎 / 𝑦𝐺𝑥))
5143, 50fvmptg 6540 . . . . . . . 8 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥) ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
5240, 41, 51sylancl 580 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
5339, 52eqtrd 2814 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
5453mpteq2dva 4979 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥)))
55 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
56 simpl3 1203 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
57 nfcsb1v 3767 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑏 / 𝑦𝐺
5857nfel1 2948 . . . . . . . . 9 𝑦𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)
59 csbeq1a 3760 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏𝐺 = 𝑏 / 𝑦𝐺)
6059eleq1d 2844 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → (𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ 𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)))
6158, 60rspc 3505 . . . . . . . 8 (𝑏𝑉 → (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → 𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)))
6255, 56, 61sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
63 mzpf 38259 . . . . . . 7 (𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → 𝑏 / 𝑦𝐺:(ℤ ↑𝑚 𝑊)⟶ℤ)
6462, 63syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 / 𝑦𝐺:(ℤ ↑𝑚 𝑊)⟶ℤ)
6564feqmptd 6509 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 / 𝑦𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥)))
6654, 65eqtr4d 2817 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = 𝑏 / 𝑦𝐺)
6766, 62eqeltrd 2859 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
68 simp2l 1213 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
6968ffnd 6292 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
70 simp3l 1215 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
7170ffnd 6292 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
72 simp13 1219 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
73 simp12 1218 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑉 ∈ V)
74 simplll 765 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
75 simpllr 766 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉))
76 ovexd 6956 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V)
77 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊))
78 simplrl 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
7977, 78, 12sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
8079, 15sylib 210 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
81 simplrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
8218, 81, 20sylancr 581 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ))
8380, 82mpbird 249 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
84 fnfvof 7188 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
8574, 75, 76, 83, 84syl22anc 829 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
8685mpteq2dva 4979 . . . . 5 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
8769, 71, 72, 73, 86syl22anc 829 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
88 simp2r 1214 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
89 simp3r 1216 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
90 mzpaddmpt 38264 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
9188, 89, 90syl2anc 579 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
9287, 91eqeltrd 2859 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
93 fnfvof 7188 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))) → ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
9474, 75, 76, 83, 93syl22anc 829 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
9594mpteq2dva 4979 . . . . 5 (((𝑏 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
9669, 71, 72, 73, 95syl22anc 829 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
97 mzpmulmpt 38265 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
9888, 89, 97syl2anc 579 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
9996, 98eqeltrd 2859 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
100 fveq1 6445 . . . . 5 (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
101100mpteq2dv 4980 . . . 4 (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
102101eleq1d 2844 . . 3 (𝑎 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏}) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
103 fveq1 6445 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
104103mpteq2dv 4980 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
105104eleq1d 2844 . . 3 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
106 fveq1 6445 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
107106mpteq2dv 4980 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
108107eleq1d 2844 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
109 fveq1 6445 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
110109mpteq2dv 4980 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
111110eleq1d 2844 . . 3 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
112 fveq1 6445 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏𝑓 + 𝑐) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
113112mpteq2dv 4980 . . . 4 (𝑎 = (𝑏𝑓 + 𝑐) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
114113eleq1d 2844 . . 3 (𝑎 = (𝑏𝑓 + 𝑐) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
115 fveq1 6445 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏𝑓 · 𝑐) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
116115mpteq2dv 4980 . . . 4 (𝑎 = (𝑏𝑓 · 𝑐) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
117116eleq1d 2844 . . 3 (𝑎 = (𝑏𝑓 · 𝑐) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ ((𝑏𝑓 · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
118 fveq1 6445 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
119118mpteq2dv 4980 . . . 4 (𝑎 = 𝐹 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
120119eleq1d 2844 . . 3 (𝑎 = 𝐹 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
12130, 67, 92, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120mzpindd 38269 . 2 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
1221, 3, 4, 5, 121syl31anc 1441 1 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Vcvv 3398  ⦋csb 3751  {csn 4398   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ∘𝑓 cof 7172   ↑𝑚 cmap 8140   + caddc 10275   · cmul 10277  ℤcz 11728  mzPolycmzp 38245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-mzpcl 38246  df-mzp 38247 This theorem is referenced by:  mzprename  38272
 Copyright terms: Public domain W3C validator