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Theorem mzpsubst 41486
Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial. 𝐺 is expected to depend on 𝑦 and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑉,𝑦   π‘₯,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ V)
2 elfvex 6930 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
323ad2ant2 1135 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
4 simp3 1139 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
5 simp2 1138 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
6 simpr 486 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š))
7 simpll3 1215 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
8 simpll2 1214 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 mzpf 41474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ 𝐺:(β„€ ↑m π‘Š)βŸΆβ„€)
109ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
1110expcom 415 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) β†’ (𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€))
1211ralimdv 3170 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€))
1312imp 408 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))
1514fmpt 7110 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€ ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
1613, 15sylib 217 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
1716adantr 482 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
18 zex 12567 . . . . . . . . 9 β„€ ∈ V
19 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝑉 ∈ V)
20 elmapg 8833 . . . . . . . . 9 ((β„€ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€))
2118, 19, 20sylancr 588 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€))
2217, 21mpbird 257 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
236, 7, 8, 22syl21anc 837 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
24 vex 3479 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
2524fvconst2 7205 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = 𝑏)
2623, 25syl 17 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = 𝑏)
2726mpteq2dva 5249 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ 𝑏))
28 mzpconstmpt 41478 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ 𝑏) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
29283ad2antl1 1186 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ 𝑏) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
3027, 29eqeltrd 2834 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
31 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š))
32 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
33 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
3431, 32, 33, 22syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
35 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘))
36 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))
37 fvex 6905 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘) ∈ V
3835, 36, 37fvmpt 6999 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘))
40 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
41 fvex 6905 . . . . . . . 8 (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯) ∈ V
42 csbeq1 3897 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊ = ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ)
4342fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
44 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ž(πΊβ€˜π‘₯)
45 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘¦β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊ
46 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦π‘₯
4745, 46nffv 6902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯)
48 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Ž β†’ 𝐺 = β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊ)
4948fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Ž β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5044, 47, 49cbvmpt 5260 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ (β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5143, 50fvmptg 6997 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5240, 41, 51sylancl 587 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5339, 52eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5453mpteq2dva 5249 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯)))
55 simpr 486 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
56 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
57 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ
5857nfel1 2920 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)
59 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 β†’ 𝐺 = ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ)
6059eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
6158, 60rspc 3601 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
6255, 56, 61sylc 65 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
63 mzpf 41474 . . . . . . 7 (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ:(β„€ ↑m π‘Š)βŸΆβ„€)
6462, 63syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ:(β„€ ↑m π‘Š)βŸΆβ„€)
6564feqmptd 6961 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯)))
6654, 65eqtr4d 2776 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ)
6766, 62eqeltrd 2834 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
68 simp2l 1200 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
6968ffnd 6719 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
70 simp3l 1202 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
7170ffnd 6719 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
72 simp13 1206 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
73 simp12 1205 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ V)
74 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
75 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
76 ovexd 7444 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (β„€ ↑m 𝑉) ∈ V)
77 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š))
78 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
7977, 78, 12sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
8079, 15sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
81 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
8218, 81, 20sylancr 588 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€))
8380, 82mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
84 fnfvof 7687 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
8574, 75, 76, 83, 84syl22anc 838 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
8685mpteq2dva 5249 . . . . 5 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
8769, 71, 72, 73, 86syl22anc 838 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
88 simp2r 1201 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
89 simp3r 1203 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
90 mzpaddmpt 41479 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9188, 89, 90syl2anc 585 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9287, 91eqeltrd 2834 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
93 fnfvof 7687 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
9474, 75, 76, 83, 93syl22anc 838 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
9594mpteq2dva 5249 . . . . 5 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
9669, 71, 72, 73, 95syl22anc 838 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
97 mzpmulmpt 41480 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9888, 89, 97syl2anc 585 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9996, 98eqeltrd 2834 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
100 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
101100mpteq2dv 5251 . . . 4 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
102101eleq1d 2819 . . 3 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
103 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
104103mpteq2dv 5251 . . . 4 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
105104eleq1d 2819 . . 3 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
106 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
107106mpteq2dv 5251 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
108107eleq1d 2819 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
109 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
110109mpteq2dv 5251 . . . 4 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
111110eleq1d 2819 . . 3 (π‘Ž = 𝑐 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
112 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
113112mpteq2dv 5251 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
114113eleq1d 2819 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
115 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
116115mpteq2dv 5251 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
117116eleq1d 2819 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
118 fveq1 6891 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
119118mpteq2dv 5251 . . . 4 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
120119eleq1d 2819 . . 3 (π‘Ž = 𝐹 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
12130, 67, 92, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120mzpindd 41484 . 2 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
1221, 3, 4, 5, 121syl31anc 1374 1 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  β¦‹csb 3894  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   ↑m cmap 8820   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„€cz 12558  mzPolycmzp 41460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-mzpcl 41461  df-mzp 41462
This theorem is referenced by:  mzprename  41487
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