Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpsubst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpsubst 41057
Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial. 𝐺 is expected to depend on 𝑦 and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
2 elfvex 6880 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
323ad2ant2 1134 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
4 simp3 1138 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
5 simp2 1137 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
6 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊))
7 simpll3 1214 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
8 simpll2 1213 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
9 mzpf 41045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → 𝐺:(ℤ ↑m 𝑊)⟶ℤ)
109ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
1110expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) → (𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ))
1211ralimdv 3166 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) → (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → ∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ))
1312imp 407 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → ∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
14 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) = (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))
1514fmpt 7058 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
1613, 15sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
18 zex 12508 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
19 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑉 ∈ V)
20 elmapg 8778 . . . . . . . . 9 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ))
2118, 19, 20sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ))
2217, 21mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
236, 7, 8, 22syl21anc 836 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
24 vex 3449 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
2524fvconst2 7153 . . . . . 6 ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = 𝑏)
2623, 25syl 17 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = 𝑏)
2726mpteq2dva 5205 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ 𝑏))
28 mzpconstmpt 41049 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ 𝑏) ∈ (mzPoly‘𝑊))
29283ad2antl1 1185 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ 𝑏) ∈ (mzPoly‘𝑊))
3027, 29eqeltrd 2838 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
31 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊))
32 simpll3 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
33 simpll2 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
3431, 32, 33, 22syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
35 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) → (𝑐𝑏) = ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏))
36 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))
37 fvex 6855 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏) ∈ V
3835, 36, 37fvmpt 6948 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏))
40 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑏𝑉)
41 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥) ∈ V
42 csbeq1 3858 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏𝑎 / 𝑦𝐺 = 𝑏 / 𝑦𝐺)
4342fveq1d 6844 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 / 𝑦𝐺𝑥) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
44 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝐺𝑥)
45 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑎 / 𝑦𝐺
46 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑥
4745, 46nffv 6852 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝑎 / 𝑦𝐺𝑥)
48 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎𝐺 = 𝑎 / 𝑦𝐺)
4948fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝐺𝑥) = (𝑎 / 𝑦𝐺𝑥))
5044, 47, 49cbvmpt 5216 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑎 / 𝑦𝐺𝑥))
5143, 50fvmptg 6946 . . . . . . . 8 ((𝑏𝑉 ∧ (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥) ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
5240, 41, 51sylancl 586 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))‘𝑏) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
5339, 52eqtrd 2776 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥))
5453mpteq2dva 5205 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥)))
55 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
56 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
57 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑏 / 𝑦𝐺
5857nfel1 2923 . . . . . . . . 9 𝑦𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)
59 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏𝐺 = 𝑏 / 𝑦𝐺)
6059eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → (𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ 𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)))
6158, 60rspc 3569 . . . . . . . 8 (𝑏𝑉 → (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → 𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)))
6255, 56, 61sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
63 mzpf 41045 . . . . . . 7 (𝑏 / 𝑦𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) → 𝑏 / 𝑦𝐺:(ℤ ↑m 𝑊)⟶ℤ)
6462, 63syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 / 𝑦𝐺:(ℤ ↑m 𝑊)⟶ℤ)
6564feqmptd 6910 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 / 𝑦𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏 / 𝑦𝐺𝑥)))
6654, 65eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = 𝑏 / 𝑦𝐺)
6766, 62eqeltrd 2838 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
68 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
6968ffnd 6669 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉))
70 simp3l 1201 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
7170ffnd 6669 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉))
72 simp13 1205 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
73 simp12 1204 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → 𝑉 ∈ V)
74 simplll 773 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉))
75 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉))
76 ovexd 7392 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V)
77 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊))
78 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊))
7977, 78, 12sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → ∀𝑦𝑉 (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
8079, 15sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ)
81 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑉 ∈ V)
8218, 81, 20sylancr 587 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → ((𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)):𝑉⟶ℤ))
8380, 82mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
84 fnfvof 7634 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉))) → ((𝑏f + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
8574, 75, 76, 83, 84syl22anc 837 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → ((𝑏f + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
8685mpteq2dva 5205 . . . . 5 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏f + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
8769, 71, 72, 73, 86syl22anc 837 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏f + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
88 simp2r 1200 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
89 simp3r 1202 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
90 mzpaddmpt 41050 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
9188, 89, 90syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) + (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
9287, 91eqeltrd 2838 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏f + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
93 fnfvof 7634 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (ℤ ↑m 𝑉))) → ((𝑏f · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
9474, 75, 76, 83, 93syl22anc 837 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → ((𝑏f · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
9594mpteq2dva 5205 . . . . 5 (((𝑏 Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ (∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ 𝑉 ∈ V)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏f · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
9669, 71, 72, 73, 95syl22anc 837 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏f · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))))
97 mzpmulmpt 41051 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
9888, 89, 97syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) · (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
9996, 98eqeltrd 2838 . . 3 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑏:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ (𝑐:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏f · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
100 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
101100mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
102101eleq1d 2822 . . 3 (𝑎 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏}) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑏})‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
103 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
104103mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
105104eleq1d 2822 . . 3 (𝑎 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑐𝑏))‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
106 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
107106mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
108107eleq1d 2822 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
109 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
110109mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
111110eleq1d 2822 . . 3 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑐‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
112 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏f + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
113112mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏f + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
114113eleq1d 2822 . . 3 (𝑎 = (𝑏f + 𝑐) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏f + 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
115 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = ((𝑏f · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
116115mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏f · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
117116eleq1d 2822 . . 3 (𝑎 = (𝑏f · 𝑐) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ ((𝑏f · 𝑐)‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
118 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥))))
119118mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = 𝐹 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))))
120119eleq1d 2822 . . 3 (𝑎 = 𝐹 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑎‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊)))
12130, 67, 92, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120mzpindd 41055 . 2 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
1221, 3, 4, 5, 121syl31anc 1373 1 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑦𝑉 𝐺 ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑦𝑉 ↦ (𝐺𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  csb 3855  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765   + caddc 11054   · cmul 11056  cz 12499  mzPolycmzp 41031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-mzpcl 41032  df-mzp 41033
This theorem is referenced by:  mzprename  41058
  Copyright terms: Public domain W3C validator