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Theorem mzpsubst 41788
Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial. 𝐺 is expected to depend on 𝑦 and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑉,𝑦   π‘₯,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ V)
2 elfvex 6928 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
323ad2ant2 1132 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
4 simp3 1136 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
5 simp2 1135 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
6 simpr 483 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š))
7 simpll3 1212 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
8 simpll2 1211 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 mzpf 41776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ 𝐺:(β„€ ↑m π‘Š)βŸΆβ„€)
109ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
1110expcom 412 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) β†’ (𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€))
1211ralimdv 3167 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€))
1312imp 405 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
14 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))
1514fmpt 7110 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€ ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
1613, 15sylib 217 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
1716adantr 479 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
18 zex 12571 . . . . . . . . 9 β„€ ∈ V
19 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝑉 ∈ V)
20 elmapg 8835 . . . . . . . . 9 ((β„€ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€))
2118, 19, 20sylancr 585 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€))
2217, 21mpbird 256 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
236, 7, 8, 22syl21anc 834 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
24 vex 3476 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
2524fvconst2 7206 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = 𝑏)
2623, 25syl 17 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = 𝑏)
2726mpteq2dva 5247 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ 𝑏))
28 mzpconstmpt 41780 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ 𝑏) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
29283ad2antl1 1183 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ 𝑏) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
3027, 29eqeltrd 2831 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
31 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š))
32 simpll3 1212 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
33 simpll2 1211 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
3431, 32, 33, 22syl21anc 834 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
35 fveq1 6889 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘))
36 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))
37 fvex 6903 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘) ∈ V
3835, 36, 37fvmpt 6997 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘))
40 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
41 fvex 6903 . . . . . . . 8 (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯) ∈ V
42 csbeq1 3895 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊ = ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ)
4342fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
44 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ž(πΊβ€˜π‘₯)
45 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘¦β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊ
46 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦π‘₯
4745, 46nffv 6900 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯)
48 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Ž β†’ 𝐺 = β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊ)
4948fveq1d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Ž β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5044, 47, 49cbvmpt 5258 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ (β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5143, 50fvmptg 6995 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5240, 41, 51sylancl 584 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5339, 52eqtrd 2770 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5453mpteq2dva 5247 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯)))
55 simpr 483 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
56 simpl3 1191 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
57 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ
5857nfel1 2917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)
59 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 β†’ 𝐺 = ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ)
6059eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
6158, 60rspc 3599 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
6255, 56, 61sylc 65 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
63 mzpf 41776 . . . . . . 7 (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ:(β„€ ↑m π‘Š)βŸΆβ„€)
6462, 63syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ:(β„€ ↑m π‘Š)βŸΆβ„€)
6564feqmptd 6959 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯)))
6654, 65eqtr4d 2773 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ)
6766, 62eqeltrd 2831 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
68 simp2l 1197 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
6968ffnd 6717 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
70 simp3l 1199 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
7170ffnd 6717 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
72 simp13 1203 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
73 simp12 1202 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ V)
74 simplll 771 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
75 simpllr 772 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
76 ovexd 7446 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (β„€ ↑m 𝑉) ∈ V)
77 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š))
78 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
7977, 78, 12sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
8079, 15sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
81 simplrr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
8218, 81, 20sylancr 585 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€))
8380, 82mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
84 fnfvof 7689 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
8574, 75, 76, 83, 84syl22anc 835 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
8685mpteq2dva 5247 . . . . 5 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
8769, 71, 72, 73, 86syl22anc 835 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
88 simp2r 1198 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
89 simp3r 1200 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
90 mzpaddmpt 41781 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9188, 89, 90syl2anc 582 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9287, 91eqeltrd 2831 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
93 fnfvof 7689 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
9474, 75, 76, 83, 93syl22anc 835 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
9594mpteq2dva 5247 . . . . 5 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
9669, 71, 72, 73, 95syl22anc 835 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
97 mzpmulmpt 41782 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9888, 89, 97syl2anc 582 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9996, 98eqeltrd 2831 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
100 fveq1 6889 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
101100mpteq2dv 5249 . . . 4 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
102101eleq1d 2816 . . 3 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
103 fveq1 6889 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
104103mpteq2dv 5249 . . . 4 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
105104eleq1d 2816 . . 3 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
106 fveq1 6889 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
107106mpteq2dv 5249 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
108107eleq1d 2816 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
109 fveq1 6889 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
110109mpteq2dv 5249 . . . 4 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
111110eleq1d 2816 . . 3 (π‘Ž = 𝑐 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
112 fveq1 6889 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
113112mpteq2dv 5249 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
114113eleq1d 2816 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
115 fveq1 6889 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
116115mpteq2dv 5249 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
117116eleq1d 2816 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
118 fveq1 6889 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
119118mpteq2dv 5249 . . . 4 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
120119eleq1d 2816 . . 3 (π‘Ž = 𝐹 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
12130, 67, 92, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120mzpindd 41786 . 2 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
1221, 3, 4, 5, 121syl31anc 1371 1 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472  β¦‹csb 3892  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   ↑m cmap 8822   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„€cz 12562  mzPolycmzp 41762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-mzpcl 41763  df-mzp 41764
This theorem is referenced by:  mzprename  41789
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