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Theorem mzpsubst 41476
Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial. 𝐺 is expected to depend on 𝑦 and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑉,𝑦   π‘₯,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ V)
2 elfvex 6929 . . 3 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
323ad2ant2 1134 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
4 simp3 1138 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
5 simp2 1137 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
6 simpr 485 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š))
7 simpll3 1214 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
8 simpll2 1213 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 mzpf 41464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ 𝐺:(β„€ ↑m π‘Š)βŸΆβ„€)
109ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
1110expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) β†’ (𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€))
1211ralimdv 3169 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€))
1312imp 407 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))
1514fmpt 7109 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€ ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
1613, 15sylib 217 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
18 zex 12566 . . . . . . . . 9 β„€ ∈ V
19 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝑉 ∈ V)
20 elmapg 8832 . . . . . . . . 9 ((β„€ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€))
2118, 19, 20sylancr 587 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€))
2217, 21mpbird 256 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
236, 7, 8, 22syl21anc 836 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
24 vex 3478 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
2524fvconst2 7204 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = 𝑏)
2623, 25syl 17 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = 𝑏)
2726mpteq2dva 5248 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ 𝑏))
28 mzpconstmpt 41468 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ 𝑏) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
29283ad2antl1 1185 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ 𝑏) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
3027, 29eqeltrd 2833 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
31 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š))
32 simpll3 1214 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
33 simpll2 1213 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
3431, 32, 33, 22syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
35 fveq1 6890 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘))
36 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))
37 fvex 6904 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘) ∈ V
3835, 36, 37fvmpt 6998 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘))
40 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
41 fvex 6904 . . . . . . . 8 (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯) ∈ V
42 csbeq1 3896 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊ = ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ)
4342fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
44 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ž(πΊβ€˜π‘₯)
45 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘¦β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊ
46 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦π‘₯
4745, 46nffv 6901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯)
48 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Ž β†’ 𝐺 = β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊ)
4948fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Ž β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5044, 47, 49cbvmpt 5259 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ (β¦‹π‘Ž / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5143, 50fvmptg 6996 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5240, 41, 51sylancl 586 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))β€˜π‘) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5339, 52eqtrd 2772 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯))
5453mpteq2dva 5248 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯)))
55 simpr 485 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
56 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
57 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ
5857nfel1 2919 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)
59 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 β†’ 𝐺 = ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ)
6059eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
6158, 60rspc 3600 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
6255, 56, 61sylc 65 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
63 mzpf 41464 . . . . . . 7 (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ:(β„€ ↑m π‘Š)βŸΆβ„€)
6462, 63syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ:(β„€ ↑m π‘Š)βŸΆβ„€)
6564feqmptd 6960 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊβ€˜π‘₯)))
6654, 65eqtr4d 2775 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = ⦋𝑏 / π‘¦β¦ŒπΊ)
6766, 62eqeltrd 2833 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
68 simp2l 1199 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
6968ffnd 6718 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
70 simp3l 1201 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
7170ffnd 6718 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
72 simp13 1205 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
73 simp12 1204 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ V)
74 simplll 773 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
75 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉))
76 ovexd 7443 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (β„€ ↑m 𝑉) ∈ V)
77 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š))
78 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
7977, 78, 12sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
8079, 15sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€)
81 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ V)
8218, 81, 20sylancr 587 . . . . . . . 8 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)):π‘‰βŸΆβ„€))
8380, 82mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))
84 fnfvof 7686 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
8574, 75, 76, 83, 84syl22anc 837 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
8685mpteq2dva 5248 . . . . 5 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
8769, 71, 72, 73, 86syl22anc 837 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
88 simp2r 1200 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
89 simp3r 1202 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
90 mzpaddmpt 41469 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9188, 89, 90syl2anc 584 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) + (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9287, 91eqeltrd 2833 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
93 fnfvof 7686 . . . . . . 7 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ ((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (β„€ ↑m 𝑉))) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
9474, 75, 76, 83, 93syl22anc 837 . . . . . 6 ((((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
9594mpteq2dva 5248 . . . . 5 (((𝑏 Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ 𝑐 Fn (β„€ ↑m 𝑉)) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 ∈ V)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
9669, 71, 72, 73, 95syl22anc 837 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))))
97 mzpmulmpt 41470 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9888, 89, 97syl2anc 584 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) Β· (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
9996, 98eqeltrd 2833 . . 3 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑏:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑐:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
100 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
101100mpteq2dv 5250 . . . 4 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
102101eleq1d 2818 . . 3 (π‘Ž = ((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏}) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (((β„€ ↑m 𝑉) Γ— {𝑏})β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
103 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
104103mpteq2dv 5250 . . . 4 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
105104eleq1d 2818 . . 3 (π‘Ž = (𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑐 ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π‘β€˜π‘))β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
106 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
107106mpteq2dv 5250 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
108107eleq1d 2818 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
109 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
110109mpteq2dv 5250 . . . 4 (π‘Ž = 𝑐 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
111110eleq1d 2818 . . 3 (π‘Ž = 𝑐 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
112 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
113112mpteq2dv 5250 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
114113eleq1d 2818 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f + 𝑐) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f + 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
115 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
116115mpteq2dv 5250 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
117116eleq1d 2818 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 ∘f Β· 𝑐) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ ((𝑏 ∘f Β· 𝑐)β€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
118 fveq1 6890 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
119118mpteq2dv 5250 . . . 4 (π‘Ž = 𝐹 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))))
120119eleq1d 2818 . . 3 (π‘Ž = 𝐹 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)))
12130, 67, 92, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120mzpindd 41474 . 2 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
1221, 3, 4, 5, 121syl31anc 1373 1 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 𝐺 ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  β¦‹csb 3893  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   ↑m cmap 8819   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„€cz 12557  mzPolycmzp 41450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-mzpcl 41451  df-mzp 41452
This theorem is referenced by:  mzprename  41477
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