Theorem frlmvplusgvalc 21080

Description: Coordinates of a sum with respect to a basis in a free module. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvplusgvalc.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvplusgvalc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmvplusgvalc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
frlmvplusgvalc.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvplusgvalc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvplusgvalc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
frlmvplusgvalc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
frlmvplusgvalc.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmvplusgvalc.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmvplusgvalc	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))

Proof of Theorem frlmvplusgvalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvplusgvalc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmvplusgvalc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		frlmvplusgvalc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		frlmvplusgvalc.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		frlmvplusgvalc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		frlmvplusgvalc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		frlmvplusgvalc.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8		frlmvplusgvalc.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	frlmplusgval 21077	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘f + 𝑌))
10	9	fveq1d 6827	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽))
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	1, 11, 2	frlmbasmap 21072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
13	4, 5, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
14		fvexd 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
15	14, 4	elmapd 8700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
16	13, 15	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6652	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
18	1, 11, 2	frlmbasmap 21072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
19	4, 6, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
20	14, 4	elmapd 8700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑌:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
21	19, 20	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶(Base‘𝑅))
22	21	ffnd 6652	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼)
23		frlmvplusgvalc.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
24		fnfvof 7612	. . 3 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))
25	17, 22, 4, 23, 24	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))
26	10, 25	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   Fn wfn 6474  ⟶wf 6475  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337   ∘_f cof 7593   ↑_m cmap 8686  Basecbs 17009  +_gcplusg 17059   freeLMod cfrlm 21059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-hom 17083  df-cco 17084  df-0g 17249  df-prds 17255  df-pws 17257  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-dsmm 21045  df-frlm 21060

This theorem is referenced by:  frlmplusgvalb  21082  frlmsnic  40531