Theorem frlmvplusgvalc 21886

Description: Coordinates of a sum with respect to a basis in a free module. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvplusgvalc.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvplusgvalc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmvplusgvalc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
frlmvplusgvalc.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvplusgvalc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvplusgvalc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
frlmvplusgvalc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
frlmvplusgvalc.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmvplusgvalc.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmvplusgvalc	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))

Proof of Theorem frlmvplusgvalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvplusgvalc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmvplusgvalc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		frlmvplusgvalc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		frlmvplusgvalc.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		frlmvplusgvalc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		frlmvplusgvalc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		frlmvplusgvalc.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8		frlmvplusgvalc.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	frlmplusgval 21883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘f + 𝑌))
10	9	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽))
11		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	1, 11, 2	frlmbasmap 21878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
13	4, 5, 12	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
14		fvexd 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
15	14, 4	elmapd 8837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
16	13, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
18	1, 11, 2	frlmbasmap 21878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
19	4, 6, 18	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
20	14, 4	elmapd 8837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑌:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
21	19, 20	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶(Base‘𝑅))
22	21	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼)
23		frlmvplusgvalc.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
24		fnfvof 7692	. . 3 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))
25	17, 22, 4, 23, 24	syl22anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))
26	10, 25	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7673   ↑_m cmap 8824  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310   freeLMod cfrlm 21865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-prds 17500  df-pws 17502  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-dsmm 21851  df-frlm 21866

This theorem is referenced by:  frlmplusgvalb  21888  frlmsnic  43200