Theorem frlmvplusgvalc 21812

Description: Coordinates of a sum with respect to a basis in a free module. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvplusgvalc.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvplusgvalc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmvplusgvalc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
frlmvplusgvalc.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvplusgvalc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvplusgvalc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
frlmvplusgvalc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
frlmvplusgvalc.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmvplusgvalc.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmvplusgvalc	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))

Proof of Theorem frlmvplusgvalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvplusgvalc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmvplusgvalc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		frlmvplusgvalc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		frlmvplusgvalc.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		frlmvplusgvalc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		frlmvplusgvalc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		frlmvplusgvalc.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8		frlmvplusgvalc.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	frlmplusgval 21809	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘f + 𝑌))
10	9	fveq1d 6924	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽))
11		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	1, 11, 2	frlmbasmap 21804	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
13	4, 5, 12	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
14		fvexd 6937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
15	14, 4	elmapd 8900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
16	13, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6750	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
18	1, 11, 2	frlmbasmap 21804	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
19	4, 6, 18	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
20	14, 4	elmapd 8900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑌:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
21	19, 20	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶(Base‘𝑅))
22	21	ffnd 6750	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼)
23		frlmvplusgvalc.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
24		fnfvof 7733	. . 3 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))
25	17, 22, 4, 23, 24	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))
26	10, 25	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   Fn wfn 6570  ⟶wf 6571  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450   ∘_f cof 7714   ↑_m cmap 8886  Basecbs 17260  +_gcplusg 17313   freeLMod cfrlm 21791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-map 8888  df-ixp 8958  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-sup 9513  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-hom 17337  df-cco 17338  df-0g 17503  df-prds 17509  df-pws 17511  df-sra 21197  df-rgmod 21198  df-dsmm 21777  df-frlm 21792

This theorem is referenced by:  frlmplusgvalb  21814  frlmsnic  42497