Theorem frlmvplusgvalc 21986

Description: Coordinates of a sum with respect to a basis in a free module. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmvplusgvalc.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmvplusgvalc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmvplusgvalc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
frlmvplusgvalc.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmvplusgvalc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmvplusgvalc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
frlmvplusgvalc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
frlmvplusgvalc.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmvplusgvalc.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmvplusgvalc	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))

Proof of Theorem frlmvplusgvalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvplusgvalc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmvplusgvalc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		frlmvplusgvalc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		frlmvplusgvalc.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		frlmvplusgvalc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		frlmvplusgvalc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		frlmvplusgvalc.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8		frlmvplusgvalc.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	frlmplusgval 21983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘f + 𝑌))
10	9	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽))
11		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	1, 11, 2	frlmbasmap 21978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
13	4, 5, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
14		fvexd 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
15	14, 4	elmapd 8843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
16	13, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
18	1, 11, 2	frlmbasmap 21978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
19	4, 6, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
20	14, 4	elmapd 8843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑌:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
21	19, 20	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶(Base‘𝑅))
22	21	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼)
23		frlmvplusgvalc.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
24		fnfvof 7699	. . 3 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼)) → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))
25	17, 22, 4, 23, 24	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))
26	10, 25	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝐽) = ((𝑋‘𝐽) + (𝑌‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680   ↑_m cmap 8830  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348   freeLMod cfrlm 21965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-pws 17540  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966

This theorem is used by:  frlmplusgvalb  21988  frlmsnic  43430