Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsmulval 41703
Description: Polynomial evaluation builder for multiplication. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsaddval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsaddval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsaddval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsaddval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsaddval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsaddval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑍)
evlsaddval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsaddval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsaddval.m (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) = 𝑉))
evlsaddval.n (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = π‘Š))
evlsmulval.g βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
evlsmulval.f Β· = (.rβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
evlsmulval (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ™ 𝑁) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁))β€˜π΄) = (𝑉 Β· π‘Š)))

Proof of Theorem evlsmulval
StepHypRef Expression
1 evlsaddval.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑍)
2 evlsaddval.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3 evlsaddval.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
4 evlsaddval.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
5 evlsaddval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
6 evlsaddval.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
8 evlsaddval.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 21993 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
101, 2, 3, 9syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11 rhmrcl1 20378 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
13 evlsaddval.m . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) = 𝑉))
1413simpld 494 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
15 evlsaddval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = π‘Š))
1615simpld 494 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
17 evlsaddval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
18 evlsmulval.g . . . 4 βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
1917, 18ringcl 20155 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 βˆ™ 𝑁) ∈ 𝐡)
2012, 14, 16, 19syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ™ 𝑁) ∈ 𝐡)
21 eqid 2726 . . . . . . 7 (.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
2217, 18, 21rhmmul 20388 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘€)(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(π‘„β€˜π‘)))
2310, 14, 16, 22syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘€)(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(π‘„β€˜π‘)))
24 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
25 ovexd 7440 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
2617, 24rhmf 20387 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
2710, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
2827, 14ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
2927, 16ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
30 evlsmulval.f . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘†)
317, 24, 2, 25, 28, 29, 30, 21pwsmulrval 17446 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘€)(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(π‘„β€˜π‘)) = ((π‘„β€˜π‘€) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘)))
3223, 31eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘€) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘)))
3332fveq1d 6887 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘€) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘))β€˜π΄))
347, 8, 24, 2, 25, 28pwselbas 17444 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
3534ffnd 6712 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
367, 8, 24, 2, 25, 29pwselbas 17444 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
3736ffnd 6712 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
38 evlsaddval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
39 fnfvof 7684 . . . 4 ((((π‘„β€˜π‘€) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (π‘„β€˜π‘) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) β†’ (((π‘„β€˜π‘€) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) Β· ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄)))
4035, 37, 25, 38, 39syl22anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜π‘€) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) Β· ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄)))
4113simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) = 𝑉)
4215simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = π‘Š)
4341, 42oveq12d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) Β· ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄)) = (𝑉 Β· π‘Š))
4433, 40, 433eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁))β€˜π΄) = (𝑉 Β· π‘Š))
4520, 44jca 511 1 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ™ 𝑁) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁))β€˜π΄) = (𝑉 Β· π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ↑m cmap 8822  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207   ↑s cpws 17401  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  SubRingcsubrg 20469   mPoly cmpl 21800   evalSub ces 21975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-evls 21977
This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  41704
  Copyright terms: Public domain W3C validator