Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsmulval 41724
Description: Polynomial evaluation builder for multiplication. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsaddval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsaddval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsaddval.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsaddval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsaddval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsaddval.i (𝜑𝐼𝑍)
evlsaddval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsaddval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
evlsaddval.m (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlsaddval.n (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
evlsmulval.g = (.r𝑃)
evlsmulval.f · = (.r𝑆)
Assertion
Ref Expression
evlsmulval (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evlsmulval
StepHypRef Expression
1 evlsaddval.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑍)
2 evlsaddval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlsaddval.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlsaddval.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 evlsaddval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 evlsaddval.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
7 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑆s (𝐾m 𝐼)) = (𝑆s (𝐾m 𝐼))
8 evlsaddval.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 22021 . . . . 5 ((𝐼𝑍𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
101, 2, 3, 9syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
11 rhmrcl1 20404 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
13 evlsaddval.m . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
1413simpld 494 . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
15 evlsaddval.n . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
1615simpld 494 . . 3 (𝜑𝑁𝐵)
17 evlsaddval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
18 evlsmulval.g . . . 4 = (.r𝑃)
1917, 18ringcl 20181 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
2012, 14, 16, 19syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
21 eqid 2727 . . . . . . 7 (.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
2217, 18, 21rhmmul 20414 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
2310, 14, 16, 22syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
24 eqid 2727 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
25 ovexd 7449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
2617, 24rhmf 20413 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2710, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2827, 14ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2927, 16ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑁) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
30 evlsmulval.f . . . . . 6 · = (.r𝑆)
317, 24, 2, 25, 28, 29, 30, 21pwsmulrval 17464 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑀)(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f · (𝑄𝑁)))
3223, 31eqtrd 2767 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f · (𝑄𝑁)))
3332fveq1d 6893 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀) ∘f · (𝑄𝑁))‘𝐴))
347, 8, 24, 2, 25, 28pwselbas 17462 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑀):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3534ffnd 6717 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼))
367, 8, 24, 2, 25, 29pwselbas 17462 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑁):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3736ffnd 6717 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼))
38 evlsaddval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
39 fnfvof 7696 . . . 4 ((((𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼) ∧ (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼)) ∧ ((𝐾m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))) → (((𝑄𝑀) ∘f · (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) · ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4035, 37, 25, 38, 39syl22anc 838 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀) ∘f · (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) · ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4113simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
4215simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
4341, 42oveq12d 7432 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀)‘𝐴) · ((𝑄𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 · 𝑊))
4433, 40, 433eqtrd 2771 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊))
4520, 44jca 511 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  f cof 7677  m cmap 8836  Basecbs 17171  s cress 17200  .rcmulr 17225  s cpws 17419  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165   RingHom crh 20397  SubRingcsubrg 20495   mPoly cmpl 21826   evalSub ces 22003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-srg 20118  df-ring 20166  df-cring 20167  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-assa 21774  df-asp 21775  df-ascl 21776  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-evls 22005
This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  41725
  Copyright terms: Public domain W3C validator