Theorem evlsmulval 22451

Description: Polynomial evaluation builder for multiplication. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsaddval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsaddval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsaddval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsaddval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsaddval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsaddval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
evlsaddval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsaddval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsaddval.m	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlsaddval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
evlsmulval.g	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
evlsmulval.f	⊢ · = (.r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evlsmulval	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evlsmulval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsaddval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
2		evlsaddval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsaddval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsaddval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlsaddval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlsaddval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
8		evlsaddval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 22409	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11		rhmrcl1 20719	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		evlsaddval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
14	13	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
15		evlsaddval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
16	15	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
17		evlsaddval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
18		evlsmulval.g	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
19	17, 18	ringcl 20489	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵)
20	12, 14, 16, 19	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵)
21		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
22	17, 18, 21	rhmmul 20732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
23	10, 14, 16, 22	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
24		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
25		ovexd 7462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
26	17, 24	rhmf 20727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
27	10, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
28	27, 14	ffvelcdmd 7093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
29	27, 16	ffvelcdmd 7093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
30		evlsmulval.f	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑆)
31	7, 24, 2, 25, 28, 29, 30, 21	pwsmulrval 17675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁)))
32	23, 31	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁)))
33	32	fveq1d 6895	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴))
34	7, 8, 24, 2, 25, 28	pwselbas 17672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
35	34	ffnd 6718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
36	7, 8, 24, 2, 25, 29	pwselbas 17672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
37	36	ffnd 6718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
38		evlsaddval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
39		fnfvof 7717	. . . 4 ⊢ ((((𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) → (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
40	35, 37, 25, 38, 39	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
41	13	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
42	15	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
43	41, 42	oveq12d 7445	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 · 𝑊))
44	33, 40, 43	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊))
45	20, 44	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ∘_f cof 7698   ↑_m cmap 8858  Basecbs 17399   ↾_s cress 17420  ._rcmulr 17441   ↑_s cpws 17629  Ringcrg 20471  CRingccrg 20472   RingHom crh 20711  SubRingcsubrg 20833   mPoly cmpl 22226   evalSub ces 22393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-ofr 7701  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-srg 20425  df-ring 20473  df-cring 20474  df-rhm 20714  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-assa 22173  df-asp 22174  df-ascl 22175  df-psr 22229  df-mvr 22230  df-mpl 22231  df-evls 22395

This theorem is used by:  evlsmaprhm  22452