Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsmulval 40286
Description: Polynomial evaluation builder for multiplication. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsaddval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsaddval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsaddval.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsaddval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsaddval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsaddval.i (𝜑𝐼𝑍)
evlsaddval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsaddval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
evlsaddval.m (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlsaddval.n (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
evlsmulval.g = (.r𝑃)
evlsmulval.f · = (.r𝑆)
Assertion
Ref Expression
evlsmulval (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evlsmulval
StepHypRef Expression
1 evlsaddval.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑍)
2 evlsaddval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlsaddval.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlsaddval.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 evlsaddval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 evlsaddval.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
7 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑆s (𝐾m 𝐼)) = (𝑆s (𝐾m 𝐼))
8 evlsaddval.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 21308 . . . . 5 ((𝐼𝑍𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
101, 2, 3, 9syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
11 rhmrcl1 19973 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
13 evlsaddval.m . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
1413simpld 495 . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
15 evlsaddval.n . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
1615simpld 495 . . 3 (𝜑𝑁𝐵)
17 evlsaddval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
18 evlsmulval.g . . . 4 = (.r𝑃)
1917, 18ringcl 19810 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
2012, 14, 16, 19syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
21 eqid 2738 . . . . . . 7 (.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
2217, 18, 21rhmmul 19981 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
2310, 14, 16, 22syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
24 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
25 ovexd 7302 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
2617, 24rhmf 19980 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2710, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2827, 14ffvelrnd 6954 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2927, 16ffvelrnd 6954 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑁) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
30 evlsmulval.f . . . . . 6 · = (.r𝑆)
317, 24, 2, 25, 28, 29, 30, 21pwsmulrval 17212 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑀)(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f · (𝑄𝑁)))
3223, 31eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f · (𝑄𝑁)))
3332fveq1d 6768 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀) ∘f · (𝑄𝑁))‘𝐴))
347, 8, 24, 2, 25, 28pwselbas 17210 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑀):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3534ffnd 6593 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼))
367, 8, 24, 2, 25, 29pwselbas 17210 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑁):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3736ffnd 6593 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼))
38 evlsaddval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
39 fnfvof 7540 . . . 4 ((((𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼) ∧ (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼)) ∧ ((𝐾m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))) → (((𝑄𝑀) ∘f · (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) · ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4035, 37, 25, 38, 39syl22anc 836 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀) ∘f · (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) · ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4113simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
4215simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
4341, 42oveq12d 7285 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀)‘𝐴) · ((𝑄𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 · 𝑊))
4433, 40, 433eqtrd 2782 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊))
4520, 44jca 512 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3429   Fn wfn 6421  wf 6422  cfv 6426  (class class class)co 7267  f cof 7521  m cmap 8602  Basecbs 16922  s cress 16951  .rcmulr 16973  s cpws 17167  Ringcrg 19793  CRingccrg 19794   RingHom crh 19966  SubRingcsubrg 20030   mPoly cmpl 21119   evalSub ces 21290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-ofr 7524  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-sup 9188  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-hash 14055  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-hom 16996  df-cco 16997  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-prds 17168  df-pws 17170  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-mulg 18711  df-subg 18762  df-ghm 18842  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-srg 19752  df-ring 19795  df-cring 19796  df-rnghom 19969  df-subrg 20032  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-lsp 20244  df-assa 21070  df-asp 21071  df-ascl 21072  df-psr 21122  df-mvr 21123  df-mpl 21124  df-evls 21292
This theorem is referenced by:  mhphf  40293
  Copyright terms: Public domain W3C validator