Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsmulval 41867
Description: Polynomial evaluation builder for multiplication. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsaddval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsaddval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsaddval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsaddval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsaddval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsaddval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑍)
evlsaddval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsaddval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsaddval.m (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) = 𝑉))
evlsaddval.n (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = π‘Š))
evlsmulval.g βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
evlsmulval.f Β· = (.rβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
evlsmulval (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ™ 𝑁) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁))β€˜π΄) = (𝑉 Β· π‘Š)))

Proof of Theorem evlsmulval
StepHypRef Expression
1 evlsaddval.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑍)
2 evlsaddval.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3 evlsaddval.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
4 evlsaddval.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
5 evlsaddval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
6 evlsaddval.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
7 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
8 evlsaddval.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 22041 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
101, 2, 3, 9syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11 rhmrcl1 20419 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
13 evlsaddval.m . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) = 𝑉))
1413simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
15 evlsaddval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = π‘Š))
1615simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
17 evlsaddval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
18 evlsmulval.g . . . 4 βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
1917, 18ringcl 20194 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 βˆ™ 𝑁) ∈ 𝐡)
2012, 14, 16, 19syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ™ 𝑁) ∈ 𝐡)
21 eqid 2725 . . . . . . 7 (.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
2217, 18, 21rhmmul 20429 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘€)(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(π‘„β€˜π‘)))
2310, 14, 16, 22syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘€)(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(π‘„β€˜π‘)))
24 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
25 ovexd 7451 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
2617, 24rhmf 20428 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
2710, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
2827, 14ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
2927, 16ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
30 evlsmulval.f . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘†)
317, 24, 2, 25, 28, 29, 30, 21pwsmulrval 17472 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘€)(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(π‘„β€˜π‘)) = ((π‘„β€˜π‘€) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘)))
3223, 31eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘€) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘)))
3332fveq1d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘€) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘))β€˜π΄))
347, 8, 24, 2, 25, 28pwselbas 17470 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
3534ffnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
367, 8, 24, 2, 25, 29pwselbas 17470 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
3736ffnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
38 evlsaddval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
39 fnfvof 7699 . . . 4 ((((π‘„β€˜π‘€) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (π‘„β€˜π‘) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) β†’ (((π‘„β€˜π‘€) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) Β· ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄)))
4035, 37, 25, 38, 39syl22anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜π‘€) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘))β€˜π΄) = (((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) Β· ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄)))
4113simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) = 𝑉)
4215simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄) = π‘Š)
4341, 42oveq12d 7434 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜π‘€)β€˜π΄) Β· ((π‘„β€˜π‘)β€˜π΄)) = (𝑉 Β· π‘Š))
4433, 40, 433eqtrd 2769 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁))β€˜π΄) = (𝑉 Β· π‘Š))
4520, 44jca 510 1 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ™ 𝑁) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ™ 𝑁))β€˜π΄) = (𝑉 Β· π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680   ↑m cmap 8843  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  .rcmulr 17233   ↑s cpws 17427  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178   RingHom crh 20412  SubRingcsubrg 20510   mPoly cmpl 21843   evalSub ces 22023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-srg 20131  df-ring 20179  df-cring 20180  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-evls 22025
This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  41868
  Copyright terms: Public domain W3C validator