Theorem evlsmulval 43022

Description: Polynomial evaluation builder for multiplication. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsaddval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsaddval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsaddval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsaddval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsaddval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsaddval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
evlsaddval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsaddval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsaddval.m	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlsaddval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
evlsmulval.g	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
evlsmulval.f	⊢ · = (.r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evlsmulval	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evlsmulval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsaddval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
2		evlsaddval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsaddval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsaddval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlsaddval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlsaddval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
8		evlsaddval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 22079	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11		rhmrcl1 20450	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		evlsaddval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
14	13	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
15		evlsaddval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
16	15	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
17		evlsaddval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
18		evlsmulval.g	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
19	17, 18	ringcl 20225	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵)
20	12, 14, 16, 19	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵)
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
22	17, 18, 21	rhmmul 20459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
23	10, 14, 16, 22	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
25		ovexd 7396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
26	17, 24	rhmf 20458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
27	10, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
28	27, 14	ffvelcdmd 7032	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
29	27, 16	ffvelcdmd 7032	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
30		evlsmulval.f	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑆)
31	7, 24, 2, 25, 28, 29, 30, 21	pwsmulrval 17449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁)))
32	23, 31	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁)))
33	32	fveq1d 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴))
34	7, 8, 24, 2, 25, 28	pwselbas 17446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
35	34	ffnd 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
36	7, 8, 24, 2, 25, 29	pwselbas 17446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
37	36	ffnd 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
38		evlsaddval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
39		fnfvof 7642	. . . 4 ⊢ ((((𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) → (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
40	35, 37, 25, 38, 39	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
41	13	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
42	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
43	41, 42	oveq12d 7379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 · 𝑊))
44	33, 40, 43	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊))
45	20, 44	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623   ↑_m cmap 8767  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  ._rcmulr 17215   ↑_s cpws 17403  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209   RingHom crh 20443  SubRingcsubrg 20540   mPoly cmpl 21899   evalSub ces 22063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-assa 21846  df-asp 21847  df-ascl 21848  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-evls 22065

This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  43023