Theorem coe1addfv 21485

Description: A particular coefficient of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1add.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1add.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
coe1add.q	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1addfv	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋) + ((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1addfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1add.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1add.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		coe1add.p	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
4		coe1add.q	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1add 21484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺)))
6	5	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺)))
7	6	fveq1d 6806	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺))‘𝑋))
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	8, 2, 1, 9	coe1f 21431	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
11	10	ffnd 6631	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹) Fn ℕ0)
12	11	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹) Fn ℕ0)
13	12	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝐹) Fn ℕ0)
14		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
15	14, 2, 1, 9	coe1f 21431	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6631	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺) Fn ℕ0)
17	16	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺) Fn ℕ0)
18	17	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝐺) Fn ℕ0)
19		nn0ex 12289	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
21		simpr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
22		fnfvof 7582	. . 3 ⊢ ((((coe1‘𝐹) Fn ℕ0 ∧ (coe1‘𝐺) Fn ℕ0) ∧ (ℕ0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℕ0)) → (((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋) + ((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
23	13, 18, 20, 21, 22	syl22anc 837	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋) + ((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
24	7, 23	eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋) + ((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   Fn wfn 6453  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ∘_f cof 7563  ℕ₀cn0 12283  Basecbs 16961  +_gcplusg 17011  Ringcrg 19832  Poly₁cpl1 21397  coe₁cco1 21398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-ofr 7566  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9177  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-seq 13772  df-hash 14095  df-struct 16897  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-tset 17030  df-ple 17031  df-0g 17201  df-gsum 17202  df-mre 17344  df-mrc 17345  df-acs 17347  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-mhm 18479  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-mulg 18750  df-subg 18801  df-ghm 18881  df-cntz 18972  df-cmn 19437  df-abl 19438  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-subrg 20071  df-psr 21161  df-mpl 21163  df-opsr 21165  df-psr1 21400  df-ply1 21402  df-coe1 21403

This theorem is referenced by:  coe1subfv  21486  coe1fzgsumdlem  21521  pm2mpghm  22014  deg1add  25317  hbtlem2  41145