Theorem coe1addfv 22639

Description: A particular coefficient of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1add.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1add.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
coe1add.q	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1addfv	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋) + ((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1addfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1add.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1add.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		coe1add.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑌)
4		coe1add.q	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1add 22638	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 + 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺)))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐹 + 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺)))
7	6	fveq1d 6918	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺))‘𝑋))
8		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	8, 2, 1, 9	coe1f 22584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
11	10	ffnd 6740	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹) Fn ℕ0)
12	11	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹) Fn ℕ0)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝐹) Fn ℕ0)
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
15	14, 2, 1, 9	coe1f 22584	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6740	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺) Fn ℕ0)
17	16	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺) Fn ℕ0)
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝐺) Fn ℕ0)
19		nn0ex 12652	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
21		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
22		fnfvof 7742	. . 3 ⊢ ((((coe1‘𝐹) Fn ℕ0 ∧ (coe1‘𝐺) Fn ℕ0) ∧ (ℕ0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℕ0)) → (((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋) + ((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
23	13, 18, 20, 21, 22	syl22anc 852	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐹) ∘f + (coe1‘𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋) + ((coe1‘𝐺)‘𝑋)))
24	7, 23	eqtrd 2798	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 + 𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘𝐹)‘𝑋) + ((coe1‘𝐺)‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Ringcrg 20510  Poly₁cpl1 22550  coe₁cco1 22551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-psr 22272  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-psr1 22553  df-ply1 22555  df-coe1 22556

This theorem is used by:  coe1subfv  22640  coe1fzgsumdlem  22676  pm2mpghm  23189  deg1add  26476  rngunsnply1chr2lem2  34251  rtelextdg2lem  34469  cos9thpiminply  34531  hbtlem2  44391