MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1addfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1addfv 21210
Description: A particular coefficient of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1add.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1add.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p = (+g𝑌)
coe1add.q + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1addfv (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋) + ((coe1𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1addfv
StepHypRef Expression
1 coe1add.y . . . . 5 𝑌 = (Poly1𝑅)
2 coe1add.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 coe1add.p . . . . 5 = (+g𝑌)
4 coe1add.q . . . . 5 + = (+g𝑅)
51, 2, 3, 4coe1add 21209 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)))
65adantr 484 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺)))
76fveq1d 6737 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺))‘𝑋))
8 eqid 2738 . . . . . . 7 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
9 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
108, 2, 1, 9coe1f 21156 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
1110ffnd 6564 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹) Fn ℕ0)
12113ad2ant2 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹) Fn ℕ0)
1312adantr 484 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1𝐹) Fn ℕ0)
14 eqid 2738 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
1514, 2, 1, 9coe1f 21156 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
1615ffnd 6564 . . . . 5 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺) Fn ℕ0)
17163ad2ant3 1137 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺) Fn ℕ0)
1817adantr 484 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1𝐺) Fn ℕ0)
19 nn0ex 12120 . . . 4 0 ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
21 simpr 488 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
22 fnfvof 7503 . . 3 ((((coe1𝐹) Fn ℕ0 ∧ (coe1𝐺) Fn ℕ0) ∧ (ℕ0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℕ0)) → (((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋) + ((coe1𝐺)‘𝑋)))
2313, 18, 20, 21, 22syl22anc 839 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐹) ∘f + (coe1𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋) + ((coe1𝐺)‘𝑋)))
247, 23eqtrd 2778 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋) + ((coe1𝐺)‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  Vcvv 3420   Fn wfn 6392  cfv 6397  (class class class)co 7231  f cof 7485  0cn0 12114  Basecbs 16784  +gcplusg 16826  Ringcrg 19586  Poly1cpl1 21122  coe1cco1 21123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-int 4874  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-se 5524  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-isom 6406  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-of 7487  df-ofr 7488  df-om 7663  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-supp 7924  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-1o 8222  df-er 8411  df-map 8530  df-pm 8531  df-ixp 8599  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-fin 8650  df-fsupp 9010  df-oi 9150  df-card 9579  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-nn 11855  df-2 11917  df-3 11918  df-4 11919  df-5 11920  df-6 11921  df-7 11922  df-8 11923  df-9 11924  df-n0 12115  df-z 12201  df-dec 12318  df-uz 12463  df-fz 13120  df-fzo 13263  df-seq 13599  df-hash 13921  df-struct 16724  df-sets 16741  df-slot 16759  df-ndx 16769  df-base 16785  df-ress 16809  df-plusg 16839  df-mulr 16840  df-sca 16842  df-vsca 16843  df-tset 16845  df-ple 16846  df-0g 16970  df-gsum 16971  df-mre 17113  df-mrc 17114  df-acs 17116  df-mgm 18138  df-sgrp 18187  df-mnd 18198  df-mhm 18242  df-submnd 18243  df-grp 18392  df-minusg 18393  df-mulg 18513  df-subg 18564  df-ghm 18644  df-cntz 18735  df-cmn 19196  df-abl 19197  df-mgp 19529  df-ur 19541  df-ring 19588  df-subrg 19822  df-psr 20892  df-mpl 20894  df-opsr 20896  df-psr1 21125  df-ply1 21127  df-coe1 21128
This theorem is referenced by:  coe1subfv  21211  coe1fzgsumdlem  21246  pm2mpghm  21737  deg1add  25025  hbtlem2  40680
  Copyright terms: Public domain W3C validator