Theorem evlmulval 42694

Description: Polynomial evaluation builder for multiplication. (Contributed by SN, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlmulval.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evlmulval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
evlmulval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlmulval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlmulval.g	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
evlmulval.f	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlmulval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
evlmulval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlmulval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlmulval.m	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlmulval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
evlmulval	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evlmulval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlmulval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		evlmulval.g	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
3		evlmulval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
4		evlmulval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
5		evlmulval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
6		evlmulval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		evlmulval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
8		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9	5, 6, 7, 8	evlrhm 22032	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
10	3, 4, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11		rhmrcl1 20396	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		evlmulval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
14	13	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
15		evlmulval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
16	15	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
17	1, 2, 12, 14, 16	ringcld 20180	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵)
18		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
19	1, 2, 18	rhmmul 20405	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
20	10, 14, 16, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
21		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
22		ovexd 7387	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
23	1, 21	rhmf 20404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
24	10, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
25	24, 14	ffvelcdmd 7024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
26	24, 16	ffvelcdmd 7024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
27		evlmulval.f	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑆)
28	8, 21, 4, 22, 25, 26, 27, 18	pwsmulrval 17397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁)))
29	20, 28	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁)))
30	29	fveq1d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴))
31	8, 6, 21, 4, 22, 25	pwselbas 17395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
32	31	ffnd 6657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
33	8, 6, 21, 4, 22, 26	pwselbas 17395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
34	33	ffnd 6657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
35		evlmulval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
36		fnfvof 7633	. . . 4 ⊢ ((((𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) → (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
37	32, 34, 22, 35, 36	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
38	13	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
39	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
40	38, 39	oveq12d 7370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 · 𝑊))
41	30, 37, 40	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊))
42	17, 41	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614   ↑_m cmap 8756  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164   ↑_s cpws 17352  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154   RingHom crh 20389   mPoly cmpl 21845   eval cevl 22009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-rhm 20392  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21848  df-mvr 21849  df-mpl 21850  df-evls 22010  df-evl 22011

This theorem is referenced by:  selvmul  42707