Theorem evlmulval 22092

Description: Polynomial evaluation builder for multiplication. (Contributed by SN, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlmulval.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evlmulval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
evlmulval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlmulval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlmulval.g	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
evlmulval.f	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlmulval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
evlmulval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlmulval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlmulval.m	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlmulval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
evlmulval	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evlmulval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlmulval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		evlmulval.g	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
3		evlmulval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
4		evlmulval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
5		evlmulval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
6		evlmulval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		evlmulval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9	5, 6, 7, 8	evlrhm 22089	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
10	3, 4, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11		rhmrcl1 20447	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		evlmulval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
14	13	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
15		evlmulval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
16	15	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
17	1, 2, 12, 14, 16	ringcld 20232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵)
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
19	1, 2, 18	rhmmul 20456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
20	10, 14, 16, 19	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
22		ovexd 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
23	1, 21	rhmf 20455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
24	10, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
25	24, 14	ffvelcdmd 7031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
26	24, 16	ffvelcdmd 7031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
27		evlmulval.f	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑆)
28	8, 21, 4, 22, 25, 26, 27, 18	pwsmulrval 17446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁)))
29	20, 28	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁)))
30	29	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴))
31	8, 6, 21, 4, 22, 25	pwselbas 17443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
32	31	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
33	8, 6, 21, 4, 22, 26	pwselbas 17443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
34	33	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
35		evlmulval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
36		fnfvof 7641	. . . 4 ⊢ ((((𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) → (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
37	32, 34, 22, 35, 36	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀) ∘f · (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
38	13	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
39	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
40	38, 39	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 · 𝑊))
41	30, 37, 40	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊))
42	17, 41	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   ↑_m cmap 8766  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212   ↑_s cpws 17400  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206   RingHom crh 20440   mPoly cmpl 21896   eval cevl 22061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-assa 21843  df-asp 21844  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-evls 22062  df-evl 22063

This theorem is referenced by:  esplyindfv  33735  selvmul  43036