MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1muld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1muld 22186
Description: Polynomial evaluation builder for multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1muld.t = (.r𝑃)
evl1muld.s · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1muld (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evl1muld
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1addd.q . . . . . 6 𝑂 = (eval1𝑅)
3 evl1addd.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
5 evl1addd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5evl1rhm 22175 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
8 rhmrcl1 20370 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
10 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1110simpld 494 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
12 evl1addd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
1312simpld 494 . . 3 (𝜑𝑁𝑈)
14 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
15 evl1muld.t . . . 4 = (.r𝑃)
1614, 15ringcl 20147 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
179, 11, 13, 16syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
18 eqid 2724 . . . . . . 7 (.r‘(𝑅s 𝐵)) = (.r‘(𝑅s 𝐵))
1914, 15, 18rhmmul 20380 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(.r‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
207, 11, 13, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(.r‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
21 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
225fvexi 6896 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
2414, 21rhmf 20379 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
257, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
2625, 11ffvelcdmd 7078 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
2725, 13ffvelcdmd 7078 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
28 evl1muld.s . . . . . 6 · = (.r𝑅)
294, 21, 1, 23, 26, 27, 28, 18pwsmulrval 17438 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)(.r‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f · (𝑂𝑁)))
3020, 29eqtrd 2764 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f · (𝑂𝑁)))
3130fveq1d 6884 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀) ∘f · (𝑂𝑁))‘𝑌))
324, 5, 21, 1, 23, 26pwselbas 17436 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀):𝐵𝐵)
3332ffnd 6709 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑀) Fn 𝐵)
344, 5, 21, 1, 23, 27pwselbas 17436 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑁):𝐵𝐵)
3534ffnd 6709 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑁) Fn 𝐵)
36 evl1addd.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
37 fnfvof 7681 . . . 4 ((((𝑂𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌𝐵)) → (((𝑂𝑀) ∘f · (𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌) · ((𝑂𝑁)‘𝑌)))
3833, 35, 23, 36, 37syl22anc 836 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀) ∘f · (𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌) · ((𝑂𝑁)‘𝑌)))
3910simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
4012simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
4139, 40oveq12d 7420 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀)‘𝑌) · ((𝑂𝑁)‘𝑌)) = (𝑉 · 𝑊))
4231, 38, 413eqtrd 2768 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊))
4317, 42jca 511 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466   Fn wfn 6529  wf 6530  cfv 6534  (class class class)co 7402  f cof 7662  Basecbs 17145  .rcmulr 17199  s cpws 17393  Ringcrg 20130  CRingccrg 20131   RingHom crh 20363  Poly1cpl1 22021  eval1ce1 22157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-prds 17394  df-pws 17396  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-srg 20084  df-ring 20132  df-cring 20133  df-rhm 20366  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-assa 21718  df-asp 21719  df-ascl 21720  df-psr 21773  df-mvr 21774  df-mpl 21775  df-opsr 21777  df-evls 21947  df-evl 21948  df-psr1 22024  df-ply1 22026  df-evl1 22159
This theorem is referenced by:  evl1vsd  22187  evls1muld  33119
  Copyright terms: Public domain W3C validator