Theorem evl1muld 22716

Description: Polynomial evaluation builder for multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1muld.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
evl1muld.s	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1muld	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evl1muld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1addd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		evl1addd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
5		evl1addd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	evl1rhm 22705	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		rhmrcl1 20758	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
10		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
11	10	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
12		evl1addd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
13	12	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
14		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15		evl1muld.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
16	14, 15	ringcl 20528	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈)
17	9, 11, 13, 16	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈)
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))
19	14, 15, 18	rhmmul 20771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
20	7, 11, 13, 19	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
22	5	fvexi 6930	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
24	14, 21	rhmf 20766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
25	7, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26	25, 11	ffvelcdmd 7117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
27	25, 13	ffvelcdmd 7117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
28		evl1muld.s	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	4, 21, 1, 23, 26, 27, 28, 18	pwsmulrval 17713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁)))
30	20, 29	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁)))
31	30	fveq1d 6918	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌))
32	4, 5, 21, 1, 23, 26	pwselbas 17710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀):𝐵⟶𝐵)
33	32	ffnd 6740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) Fn 𝐵)
34	4, 5, 21, 1, 23, 27	pwselbas 17710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁):𝐵⟶𝐵)
35	34	ffnd 6740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵)
36		evl1addd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
37		fnfvof 7742	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
38	33, 35, 23, 36, 37	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
39	10	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
40	12	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
41	39, 40	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)) = (𝑉 · 𝑊))
42	31, 38, 41	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊))
43	17, 42	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473   ↑_s cpws 17667  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511   RingHom crh 20750  Poly₁cpl1 22550  eval₁ce1 22687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-assa 22216  df-asp 22217  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-evls 22438  df-evl 22439  df-psr1 22553  df-ply1 22555  df-evl1 22689

This theorem is used by:  evl1vsd  22717  evls1muld  22745  ply1mulrtss  34217  aks6d1c1p4  43427  evl1gprodd  43433  aks6d1c5lem2  43454