Theorem evl1muld 21853

Description: Polynomial evaluation builder for multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1muld.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
evl1muld.s	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1muld	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evl1muld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1addd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		evl1addd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
5		evl1addd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	evl1rhm 21842	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		rhmrcl1 20247	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
10		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
11	10	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
12		evl1addd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
13	12	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
14		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15		evl1muld.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
16	14, 15	ringcl 20066	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈)
17	9, 11, 13, 16	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈)
18		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))
19	14, 15, 18	rhmmul 20256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
20	7, 11, 13, 19	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
21		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
22	5	fvexi 6902	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
24	14, 21	rhmf 20255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
25	7, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26	25, 11	ffvelcdmd 7084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
27	25, 13	ffvelcdmd 7084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
28		evl1muld.s	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	4, 21, 1, 23, 26, 27, 28, 18	pwsmulrval 17433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁)))
30	20, 29	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁)))
31	30	fveq1d 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌))
32	4, 5, 21, 1, 23, 26	pwselbas 17431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀):𝐵⟶𝐵)
33	32	ffnd 6715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) Fn 𝐵)
34	4, 5, 21, 1, 23, 27	pwselbas 17431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁):𝐵⟶𝐵)
35	34	ffnd 6715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵)
36		evl1addd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
37		fnfvof 7683	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
38	33, 35, 23, 36, 37	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
39	10	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
40	12	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
41	39, 40	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)) = (𝑉 · 𝑊))
42	31, 38, 41	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊))
43	17, 42	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194   ↑_s cpws 17388  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  Poly₁cpl1 21692  eval₁ce1 21824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-evls 21626  df-evl 21627  df-psr1 21695  df-ply1 21697  df-evl1 21826

This theorem is referenced by:  evl1vsd  21854  evls1muld  32637