Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1muld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1muld 21076
 Description: Polynomial evaluation builder for multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1muld.t = (.r𝑃)
evl1muld.s · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1muld (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evl1muld
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1addd.q . . . . . 6 𝑂 = (eval1𝑅)
3 evl1addd.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
5 evl1addd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5evl1rhm 21065 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
8 rhmrcl1 19556 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
10 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1110simpld 498 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
12 evl1addd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
1312simpld 498 . . 3 (𝜑𝑁𝑈)
14 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
15 evl1muld.t . . . 4 = (.r𝑃)
1614, 15ringcl 19396 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
179, 11, 13, 16syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
18 eqid 2758 . . . . . . 7 (.r‘(𝑅s 𝐵)) = (.r‘(𝑅s 𝐵))
1914, 15, 18rhmmul 19564 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(.r‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
207, 11, 13, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(.r‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
21 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
225fvexi 6677 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
2414, 21rhmf 19563 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
257, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
2625, 11ffvelrnd 6849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
2725, 13ffvelrnd 6849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
28 evl1muld.s . . . . . 6 · = (.r𝑅)
294, 21, 1, 23, 26, 27, 28, 18pwsmulrval 16836 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)(.r‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f · (𝑂𝑁)))
3020, 29eqtrd 2793 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f · (𝑂𝑁)))
3130fveq1d 6665 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀) ∘f · (𝑂𝑁))‘𝑌))
324, 5, 21, 1, 23, 26pwselbas 16834 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀):𝐵𝐵)
3332ffnd 6504 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑀) Fn 𝐵)
344, 5, 21, 1, 23, 27pwselbas 16834 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑁):𝐵𝐵)
3534ffnd 6504 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑁) Fn 𝐵)
36 evl1addd.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
37 fnfvof 7427 . . . 4 ((((𝑂𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌𝐵)) → (((𝑂𝑀) ∘f · (𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌) · ((𝑂𝑁)‘𝑌)))
3833, 35, 23, 36, 37syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀) ∘f · (𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌) · ((𝑂𝑁)‘𝑌)))
3910simprd 499 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
4012simprd 499 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
4139, 40oveq12d 7174 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀)‘𝑌) · ((𝑂𝑁)‘𝑌)) = (𝑉 · 𝑊))
4231, 38, 413eqtrd 2797 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊))
4317, 42jca 515 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∘f cof 7409  Basecbs 16555  .rcmulr 16638   ↑s cpws 16792  Ringcrg 19379  CRingccrg 19380   RingHom crh 19549  Poly1cpl1 20915  eval1ce1 21047 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-hom 16661  df-cco 16662  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-prds 16793  df-pws 16795  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-mhm 18036  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-mulg 18306  df-subg 18357  df-ghm 18437  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-srg 19338  df-ring 19381  df-cring 19382  df-rnghom 19552  df-subrg 19615  df-lmod 19718  df-lss 19786  df-lsp 19826  df-assa 20632  df-asp 20633  df-ascl 20634  df-psr 20685  df-mvr 20686  df-mpl 20687  df-opsr 20689  df-evls 20849  df-evl 20850  df-psr1 20918  df-ply1 20920  df-evl1 21049 This theorem is referenced by:  evl1vsd  21077
 Copyright terms: Public domain W3C validator