Theorem evl1muld 22281

Description: Polynomial evaluation builder for multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1muld.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
evl1muld.s	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1muld	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evl1muld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1addd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		evl1addd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
5		evl1addd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	evl1rhm 22270	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		rhmrcl1 20429	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
10		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
11	10	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
12		evl1addd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
13	12	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
14		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15		evl1muld.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
16	14, 15	ringcl 20204	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈)
17	9, 11, 13, 16	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈)
18		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))
19	14, 15, 18	rhmmul 20439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
20	7, 11, 13, 19	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
21		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
22	5	fvexi 6916	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
24	14, 21	rhmf 20438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
25	7, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26	25, 11	ffvelcdmd 7100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
27	25, 13	ffvelcdmd 7100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
28		evl1muld.s	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	4, 21, 1, 23, 26, 27, 28, 18	pwsmulrval 17482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁)))
30	20, 29	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁)))
31	30	fveq1d 6904	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌))
32	4, 5, 21, 1, 23, 26	pwselbas 17480	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀):𝐵⟶𝐵)
33	32	ffnd 6728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) Fn 𝐵)
34	4, 5, 21, 1, 23, 27	pwselbas 17480	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁):𝐵⟶𝐵)
35	34	ffnd 6728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵)
36		evl1addd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
37		fnfvof 7709	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
38	33, 35, 23, 36, 37	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
39	10	simprd 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
40	12	simprd 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
41	39, 40	oveq12d 7444	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)) = (𝑉 · 𝑊))
42	31, 38, 41	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊))
43	17, 42	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   Fn wfn 6548  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘_f cof 7690  Basecbs 17189  ._rcmulr 17243   ↑_s cpws 17437  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188   RingHom crh 20422  Poly₁cpl1 22114  eval₁ce1 22252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-srg 20141  df-ring 20189  df-cring 20190  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-assa 21801  df-asp 21802  df-ascl 21803  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-evls 22035  df-evl 22036  df-psr1 22117  df-ply1 22119  df-evl1 22254

This theorem is referenced by:  evl1vsd  22282  evls1muld  22310  aks6d1c1p4  41622  evl1gprodd  41628  aks6d1c5lem2  41649