Theorem evl1muld 22661

Description: Polynomial evaluation builder for multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1muld.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
evl1muld.s	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1muld	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))

Proof of Theorem evl1muld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1addd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		evl1addd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
5		evl1addd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	evl1rhm 22650	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		rhmrcl1 20707	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
10		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
11	10	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
12		evl1addd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
13	12	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
14		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15		evl1muld.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
16	14, 15	ringcl 20477	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈)
17	9, 11, 13, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈)
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))
19	14, 15, 18	rhmmul 20720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
20	7, 11, 13, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
22	5	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
24	14, 21	rhmf 20715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
25	7, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26	25, 11	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
27	25, 13	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
28		evl1muld.s	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	4, 21, 1, 23, 26, 27, 28, 18	pwsmulrval 17663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)(.r‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁)))
30	20, 29	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁)))
31	30	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌))
32	4, 5, 21, 1, 23, 26	pwselbas 17660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀):𝐵⟶𝐵)
33	32	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) Fn 𝐵)
34	4, 5, 21, 1, 23, 27	pwselbas 17660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁):𝐵⟶𝐵)
35	34	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵)
36		evl1addd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
37		fnfvof 7710	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
38	33, 35, 23, 36, 37	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀) ∘f · (𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
39	10	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
40	12	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
41	39, 40	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀)‘𝑌) · ((𝑂‘𝑁)‘𝑌)) = (𝑉 · 𝑊))
42	31, 38, 41	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊))
43	17, 42	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∙ 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 ∙ 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 · 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429   ↑_s cpws 17617  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460   RingHom crh 20699  Poly₁cpl1 22495  eval₁ce1 22632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-evls 22383  df-evl 22384  df-psr1 22498  df-ply1 22500  df-evl1 22634

This theorem is used by:  evl1vsd  22662  evls1muld  22690  ply1mulrtss  34114  aks6d1c1p4  43161  evl1gprodd  43167  aks6d1c5lem2  43188