MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1muld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1muld 22217
Description: Polynomial evaluation builder for multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘…)
evl1addd.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
evl1addd.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
evl1addd.u ๐‘ˆ = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
evl1addd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
evl1addd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
evl1addd.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘€)โ€˜๐‘Œ) = ๐‘‰))
evl1addd.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘)โ€˜๐‘Œ) = ๐‘Š))
evl1muld.t โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
evl1muld.s ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
evl1muld (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆ™ ๐‘) โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ((๐‘‚โ€˜(๐‘€ โˆ™ ๐‘))โ€˜๐‘Œ) = (๐‘‰ ยท ๐‘Š)))

Proof of Theorem evl1muld
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
2 evl1addd.q . . . . . 6 ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘…)
3 evl1addd.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘… โ†‘s ๐ต) = (๐‘… โ†‘s ๐ต)
5 evl1addd.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
62, 3, 4, 5evl1rhm 22206 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (๐‘ƒ RingHom (๐‘… โ†‘s ๐ต)))
71, 6syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (๐‘ƒ RingHom (๐‘… โ†‘s ๐ต)))
8 rhmrcl1 20378 . . . 4 (๐‘‚ โˆˆ (๐‘ƒ RingHom (๐‘… โ†‘s ๐ต)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
97, 8syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
10 evl1addd.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘€)โ€˜๐‘Œ) = ๐‘‰))
1110simpld 494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘ˆ)
12 evl1addd.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘)โ€˜๐‘Œ) = ๐‘Š))
1312simpld 494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)
14 evl1addd.u . . . 4 ๐‘ˆ = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
15 evl1muld.t . . . 4 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
1614, 15ringcl 20155 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐‘€ โˆ™ ๐‘) โˆˆ ๐‘ˆ)
179, 11, 13, 16syl3anc 1368 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ™ ๐‘) โˆˆ ๐‘ˆ)
18 eqid 2726 . . . . . . 7 (.rโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต)) = (.rโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต))
1914, 15, 18rhmmul 20388 . . . . . 6 ((๐‘‚ โˆˆ (๐‘ƒ RingHom (๐‘… โ†‘s ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐‘€ โˆ™ ๐‘)) = ((๐‘‚โ€˜๐‘€)(.rโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต))(๐‘‚โ€˜๐‘)))
207, 11, 13, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐‘€ โˆ™ ๐‘)) = ((๐‘‚โ€˜๐‘€)(.rโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต))(๐‘‚โ€˜๐‘)))
21 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต)) = (Baseโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต))
225fvexi 6899 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ V
2322a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ V)
2414, 21rhmf 20387 . . . . . . . 8 (๐‘‚ โˆˆ (๐‘ƒ RingHom (๐‘… โ†‘s ๐ต)) โ†’ ๐‘‚:๐‘ˆโŸถ(Baseโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต)))
257, 24syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚:๐‘ˆโŸถ(Baseโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต)))
2625, 11ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต)))
2725, 13ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต)))
28 evl1muld.s . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
294, 21, 1, 23, 26, 27, 28, 18pwsmulrval 17446 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘€)(.rโ€˜(๐‘… โ†‘s ๐ต))(๐‘‚โ€˜๐‘)) = ((๐‘‚โ€˜๐‘€) โˆ˜f ยท (๐‘‚โ€˜๐‘)))
3020, 29eqtrd 2766 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐‘€ โˆ™ ๐‘)) = ((๐‘‚โ€˜๐‘€) โˆ˜f ยท (๐‘‚โ€˜๐‘)))
3130fveq1d 6887 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐‘€ โˆ™ ๐‘))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘‚โ€˜๐‘€) โˆ˜f ยท (๐‘‚โ€˜๐‘))โ€˜๐‘Œ))
324, 5, 21, 1, 23, 26pwselbas 17444 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘€):๐ตโŸถ๐ต)
3332ffnd 6712 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘€) Fn ๐ต)
344, 5, 21, 1, 23, 27pwselbas 17444 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘):๐ตโŸถ๐ต)
3534ffnd 6712 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘) Fn ๐ต)
36 evl1addd.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
37 fnfvof 7684 . . . 4 ((((๐‘‚โ€˜๐‘€) Fn ๐ต โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘) Fn ๐ต) โˆง (๐ต โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘€) โˆ˜f ยท (๐‘‚โ€˜๐‘))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘‚โ€˜๐‘€)โ€˜๐‘Œ) ยท ((๐‘‚โ€˜๐‘)โ€˜๐‘Œ)))
3833, 35, 23, 36, 37syl22anc 836 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘€) โˆ˜f ยท (๐‘‚โ€˜๐‘))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘‚โ€˜๐‘€)โ€˜๐‘Œ) ยท ((๐‘‚โ€˜๐‘)โ€˜๐‘Œ)))
3910simprd 495 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘€)โ€˜๐‘Œ) = ๐‘‰)
4012simprd 495 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘)โ€˜๐‘Œ) = ๐‘Š)
4139, 40oveq12d 7423 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘€)โ€˜๐‘Œ) ยท ((๐‘‚โ€˜๐‘)โ€˜๐‘Œ)) = (๐‘‰ ยท ๐‘Š))
4231, 38, 413eqtrd 2770 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐‘€ โˆ™ ๐‘))โ€˜๐‘Œ) = (๐‘‰ ยท ๐‘Š))
4317, 42jca 511 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆ™ ๐‘) โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ((๐‘‚โ€˜(๐‘€ โˆ™ ๐‘))โ€˜๐‘Œ) = (๐‘‰ ยท ๐‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   Fn wfn 6532  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   โ†‘s cpws 17401  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  Poly1cpl1 22051  eval1ce1 22188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-evls 21977  df-evl 21978  df-psr1 22054  df-ply1 22056  df-evl1 22190
This theorem is referenced by:  evl1vsd  22218  evls1muld  33159  aks6d1c1p4  41488  evl1gprodd  41494  aks6d1c5lem2  41514
  Copyright terms: Public domain W3C validator