Theorem frege91 44216

Description: Every result of an application of a procedure 𝑅 to an object 𝑋 follows that 𝑋 in the 𝑅-sequence. Proposition 91 of [Frege1879] p. 68. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege91	⊢ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Proof of Theorem frege91

Dummy variables 𝑓 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege91.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
2	1	frege63c 44188	. . . 4 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓)))
3		sbcbr2g 5156	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎))
4		csbvarg 4386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎 = 𝑌)
5	4	breq2d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑋𝑅⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
6	3, 5	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌)
8		sbcel1v 3806	. . . . . 6 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓 ↔ 𝑌 ∈ 𝑓)
9	8	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))
10	9	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
11	2, 7, 10	3imtr3i 291	. . 3 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
12	11	alrimiv 1928	. 2 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
13		frege91.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
14		frege91.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
15	13, 1, 14	frege90 44215	. 2 ⊢ ((𝑋𝑅𝑌 → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))) → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
16	12, 15	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1539   ∈ wcel 2113  [wsbc 3740  ⦋csb 3849   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  t+ctcl 14910   hereditary whe 44034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-frege1 44052  ax-frege2 44053  ax-frege8 44071  ax-frege52a 44119  ax-frege58b 44163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-trcl 14912  df-relexp 14945  df-he 44035

This theorem is referenced by:  frege92  44217