Theorem frege91 44531

Description: Every result of an application of a procedure 𝑅 to an object 𝑋 follows that 𝑋 in the 𝑅-sequence. Proposition 91 of [Frege1879] p. 68. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege91	⊢ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Proof of Theorem frege91

Dummy variables 𝑓 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege91.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
2	1	frege63c 44503	. . . 4 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓)))
3		sbcbr2g 5159	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎))
4		csbvarg 4389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎 = 𝑌)
5	4	breq2d 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑋𝑅⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
6	3, 5	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌)
8		sbcel1v 3810	. . . . . 6 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓 ↔ 𝑌 ∈ 𝑓)
9	8	imbi2i 338	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))
10	9	imbi2i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
11	2, 7, 10	3imtr3i 293	. . 3 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
12	11	alrimiv 1948	. 2 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
13		frege91.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
14		frege91.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
15	13, 1, 14	frege90 44530	. 2 ⊢ ((𝑋𝑅𝑌 → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))) → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
16	12, 15	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208  ∀wal 1559   ∈ wcel 2143  [wsbc 3745  ⦋csb 3853   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  t+ctcl 14999   hereditary whe 44349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-frege1 44367  ax-frege2 44368  ax-frege8 44386  ax-frege52a 44434  ax-frege58b 44478

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-seq 14016  df-trcl 15001  df-relexp 15034  df-he 44350

This theorem is referenced by:  frege92  44532