Theorem frege91 43916

Description: Every result of an application of a procedure 𝑅 to an object 𝑋 follows that 𝑋 in the 𝑅-sequence. Proposition 91 of [Frege1879] p. 68. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege91	⊢ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Proof of Theorem frege91

Dummy variables 𝑓 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege91.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
2	1	frege63c 43888	. . . 4 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓)))
3		sbcbr2g 5224	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎))
4		csbvarg 4457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎 = 𝑌)
5	4	breq2d 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑋𝑅⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
6	3, 5	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌)
8		sbcel1v 3875	. . . . . 6 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓 ↔ 𝑌 ∈ 𝑓)
9	8	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))
10	9	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
11	2, 7, 10	3imtr3i 291	. . 3 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
12	11	alrimiv 1926	. 2 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
13		frege91.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
14		frege91.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
15	13, 1, 14	frege90 43915	. 2 ⊢ ((𝑋𝑅𝑌 → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))) → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
16	12, 15	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1535   ∈ wcel 2108  [wsbc 3804  ⦋csb 3921   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  t+ctcl 15034   hereditary whe 43734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-frege1 43752  ax-frege2 43753  ax-frege8 43771  ax-frege52a 43819  ax-frege58b 43863

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-trcl 15036  df-relexp 15069  df-he 43735

This theorem is referenced by:  frege92  43917