Theorem frege91 44700

Description: Every result of an application of a procedure 𝑅 to an object 𝑋 follows that 𝑋 in the 𝑅-sequence. Proposition 91 of [Frege1879] p. 68. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege91	⊢ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Proof of Theorem frege91

Dummy variables 𝑓 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege91.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
2	1	frege63c 44672	. . . 4 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓)))
3		sbcbr2g 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎))
4		csbvarg 4399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎 = 𝑌)
5	4	breq2d 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑋𝑅⦋𝑌 / 𝑎⦌𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
6	3, 5	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑌)
8		sbcel1v 3809	. . . . . 6 ⊢ ([𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓 ↔ 𝑌 ∈ 𝑓)
9	8	imbi2i 339	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))
10	9	imbi2i 339	. . . 4 ⊢ ((𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎 ∈ 𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
11	2, 7, 10	3imtr3i 294	. . 3 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
12	11	alrimiv 1957	. 2 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
13		frege91.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
14		frege91.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
15	13, 1, 14	frege90 44699	. 2 ⊢ ((𝑋𝑅𝑌 → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))) → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
16	12, 15	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1568   ∈ wcel 2143  [wsbc 3744  ⦋csb 3853   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  t+ctcl 15018   hereditary whe 44518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-frege1 44536  ax-frege2 44537  ax-frege8 44555  ax-frege52a 44603  ax-frege58b 44647

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-trcl 15020  df-relexp 15053  df-he 44519

This theorem is referenced by:  frege92  44701