Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege92 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege92 43416
Description: Inference from frege91 43415. Proposition 92 of [Frege1879] p. 69. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x 𝑋𝑈
frege91.y 𝑌𝑉
frege91.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege92 (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

Proof of Theorem frege92
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege91.x . 2 𝑋𝑈
2 vex 3477 . . . . 5 𝑤 ∈ V
3 frege91.y . . . . 5 𝑌𝑉
4 frege91.r . . . . 5 𝑅𝑊
52, 3, 4frege91 43415 . . . 4 (𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)
65sbcth 3793 . . 3 (𝑋𝑈[𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
7 frege53c 43375 . . 3 ([𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
86, 7syl 17 . 2 (𝑋𝑈 → (𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
9 sbcim1 3835 . . . 4 ([𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
109imim2i 16 . . 3 ((𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
11 dfsbcq 3780 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌))
12 sbcbr1g 5209 . . . . . . 7 (𝑋𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋 / 𝑤𝑤𝑅𝑌))
13 csbvarg 4435 . . . . . . . 8 (𝑋𝑈𝑋 / 𝑤𝑤 = 𝑋)
1413breq1d 5162 . . . . . . 7 (𝑋𝑈 → (𝑋 / 𝑤𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
1512, 14bitrd 278 . . . . . 6 (𝑋𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
161, 15ax-mp 5 . . . . 5 ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌)
1711, 16bitr3di 285 . . . 4 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
18 eqcom 2735 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑍𝑍 = 𝑋)
1918biimpi 215 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑍𝑍 = 𝑋)
2019, 1eqeltrdi 2837 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍𝑍𝑈)
21 sbcbr1g 5209 . . . . . 6 (𝑍𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍 / 𝑤𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
22 csbvarg 4435 . . . . . . 7 (𝑍𝑈𝑍 / 𝑤𝑤 = 𝑍)
2322breq1d 5162 . . . . . 6 (𝑍𝑈 → (𝑍 / 𝑤𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2421, 23bitrd 278 . . . . 5 (𝑍𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2520, 24syl 17 . . . 4 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2617, 25imbi12d 343 . . 3 (𝑋 = 𝑍 → (([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌) ↔ (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
2710, 26mpbidi 240 . 2 ((𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
281, 8, 27mp2b 10 1 (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  [wsbc 3778  csb 3894   class class class wbr 5152  cfv 6553  t+ctcl 14972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-frege1 43251  ax-frege2 43252  ax-frege8 43270  ax-frege52a 43318  ax-frege52c 43349  ax-frege58b 43362
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007  df-trcl 14974  df-relexp 15007  df-he 43234
This theorem is referenced by:  frege102  43426
  Copyright terms: Public domain W3C validator