Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege92 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege92 43264
Description: Inference from frege91 43263. Proposition 92 of [Frege1879] p. 69. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x 𝑋𝑈
frege91.y 𝑌𝑉
frege91.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege92 (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

Proof of Theorem frege92
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege91.x . 2 𝑋𝑈
2 vex 3472 . . . . 5 𝑤 ∈ V
3 frege91.y . . . . 5 𝑌𝑉
4 frege91.r . . . . 5 𝑅𝑊
52, 3, 4frege91 43263 . . . 4 (𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)
65sbcth 3787 . . 3 (𝑋𝑈[𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
7 frege53c 43223 . . 3 ([𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
86, 7syl 17 . 2 (𝑋𝑈 → (𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
9 sbcim1 3828 . . . 4 ([𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
109imim2i 16 . . 3 ((𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
11 dfsbcq 3774 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌))
12 sbcbr1g 5198 . . . . . . 7 (𝑋𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋 / 𝑤𝑤𝑅𝑌))
13 csbvarg 4426 . . . . . . . 8 (𝑋𝑈𝑋 / 𝑤𝑤 = 𝑋)
1413breq1d 5151 . . . . . . 7 (𝑋𝑈 → (𝑋 / 𝑤𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
1512, 14bitrd 279 . . . . . 6 (𝑋𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
161, 15ax-mp 5 . . . . 5 ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌)
1711, 16bitr3di 286 . . . 4 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
18 eqcom 2733 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑍𝑍 = 𝑋)
1918biimpi 215 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑍𝑍 = 𝑋)
2019, 1eqeltrdi 2835 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍𝑍𝑈)
21 sbcbr1g 5198 . . . . . 6 (𝑍𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍 / 𝑤𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
22 csbvarg 4426 . . . . . . 7 (𝑍𝑈𝑍 / 𝑤𝑤 = 𝑍)
2322breq1d 5151 . . . . . 6 (𝑍𝑈 → (𝑍 / 𝑤𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2421, 23bitrd 279 . . . . 5 (𝑍𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2520, 24syl 17 . . . 4 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2617, 25imbi12d 344 . . 3 (𝑋 = 𝑍 → (([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌) ↔ (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
2710, 26mpbidi 240 . 2 ((𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
281, 8, 27mp2b 10 1 (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  [wsbc 3772  csb 3888   class class class wbr 5141  cfv 6536  t+ctcl 14935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-frege1 43099  ax-frege2 43100  ax-frege8 43118  ax-frege52a 43166  ax-frege52c 43197  ax-frege58b 43210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-trcl 14937  df-relexp 14970  df-he 43082
This theorem is referenced by:  frege102  43274
  Copyright terms: Public domain W3C validator