Theorem frege92 44782

Description: Inference from frege91 44781. Proposition 92 of [Frege1879] p. 69. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege92	⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

Proof of Theorem frege92

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege91.x	. 2 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		vex 3457	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
3		frege91.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
4		frege91.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
5	2, 3, 4	frege91 44781	. . . 4 ⊢ (𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)
6	5	sbcth 3757	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → [𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
7		frege53c 44741	. . 3 ⊢ ([𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
9		sbcim1 3795	. . . 4 ⊢ ([𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
10	9	imim2i 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
11		dfsbcq 3744	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ [𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌))
12		sbcbr1g 5166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ ⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤𝑅𝑌))
13		csbvarg 4395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤 = 𝑋)
14	13	breq1d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
15	12, 14	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
16	1, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌)
17	11, 16	bitr3di 289	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
18		eqcom 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑍 ↔ 𝑍 = 𝑋)
19	18	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 = 𝑋)
20	19, 1	eqeltrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 ∈ 𝑈)
21		sbcbr1g 5166	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
22		csbvarg 4395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤 = 𝑍)
23	22	breq1d 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → (⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
24	21, 23	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
25	20, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
26	17, 25	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌) ↔ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
27	10, 26	mpbidi 244	. 2 ⊢ ((𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
28	1, 8, 27	mp2b 10	1 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  [wsbc 3742  ⦋csb 3850   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  t+ctcl 15060

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-frege1 44617  ax-frege2 44618  ax-frege8 44636  ax-frege52a 44684  ax-frege52c 44715  ax-frege58b 44728

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14068  df-trcl 15062  df-relexp 15095  df-he 44600

This theorem is used by:  frege102  44792