Theorem frege92 44404

Description: Inference from frege91 44403. Proposition 92 of [Frege1879] p. 69. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege92	⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

Proof of Theorem frege92

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege91.x	. 2 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
3		frege91.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
4		frege91.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
5	2, 3, 4	frege91 44403	. . . 4 ⊢ (𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)
6	5	sbcth 3744	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → [𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
7		frege53c 44363	. . 3 ⊢ ([𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
9		sbcim1 3783	. . . 4 ⊢ ([𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
10	9	imim2i 16	. . 3 ⊢ ((𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
11		dfsbcq 3731	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ [𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌))
12		sbcbr1g 5143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ ⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤𝑅𝑌))
13		csbvarg 4375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤 = 𝑋)
14	13	breq1d 5096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
15	12, 14	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
16	1, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌)
17	11, 16	bitr3di 286	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
18		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑍 ↔ 𝑍 = 𝑋)
19	18	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 = 𝑋)
20	19, 1	eqeltrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 ∈ 𝑈)
21		sbcbr1g 5143	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
22		csbvarg 4375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤 = 𝑍)
23	22	breq1d 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → (⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
24	21, 23	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
25	20, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
26	17, 25	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌) ↔ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
27	10, 26	mpbidi 241	. 2 ⊢ ((𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
28	1, 8, 27	mp2b 10	1 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  [wsbc 3729  ⦋csb 3838   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  t+ctcl 14942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-frege1 44239  ax-frege2 44240  ax-frege8 44258  ax-frege52a 44306  ax-frege52c 44337  ax-frege58b 44350

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-trcl 14944  df-relexp 14977  df-he 44222

This theorem is referenced by:  frege102  44414