Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege92 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege92 39031
Description: Inference from frege91 39030. Proposition 92 of [Frege1879] p. 69. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x 𝑋𝑈
frege91.y 𝑌𝑉
frege91.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege92 (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

Proof of Theorem frege92
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege91.x . 2 𝑋𝑈
2 vex 3388 . . . . 5 𝑤 ∈ V
3 frege91.y . . . . 5 𝑌𝑉
4 frege91.r . . . . 5 𝑅𝑊
52, 3, 4frege91 39030 . . . 4 (𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)
65sbcth 3648 . . 3 (𝑋𝑈[𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
7 frege53c 38990 . . 3 ([𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
86, 7syl 17 . 2 (𝑋𝑈 → (𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
9 sbcim1 3680 . . . 4 ([𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
109imim2i 16 . . 3 ((𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
11 sbcbr1g 4900 . . . . . . 7 (𝑋𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋 / 𝑤𝑤𝑅𝑌))
12 csbvarg 4198 . . . . . . . 8 (𝑋𝑈𝑋 / 𝑤𝑤 = 𝑋)
1312breq1d 4853 . . . . . . 7 (𝑋𝑈 → (𝑋 / 𝑤𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
1411, 13bitrd 271 . . . . . 6 (𝑋𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
151, 14ax-mp 5 . . . . 5 ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌)
16 dfsbcq 3635 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌))
1715, 16syl5rbbr 278 . . . 4 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
18 eqcom 2806 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑍𝑍 = 𝑋)
1918biimpi 208 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑍𝑍 = 𝑋)
2019, 1syl6eqel 2886 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍𝑍𝑈)
21 sbcbr1g 4900 . . . . . 6 (𝑍𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍 / 𝑤𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
22 csbvarg 4198 . . . . . . 7 (𝑍𝑈𝑍 / 𝑤𝑤 = 𝑍)
2322breq1d 4853 . . . . . 6 (𝑍𝑈 → (𝑍 / 𝑤𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2421, 23bitrd 271 . . . . 5 (𝑍𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2520, 24syl 17 . . . 4 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2617, 25imbi12d 336 . . 3 (𝑋 = 𝑍 → (([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌) ↔ (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
2710, 26mpbidi 233 . 2 ((𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
281, 8, 27mp2b 10 1 (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  [wsbc 3633  csb 3728   class class class wbr 4843  cfv 6101  t+ctcl 14067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-frege1 38866  ax-frege2 38867  ax-frege8 38885  ax-frege52a 38933  ax-frege52c 38964  ax-frege58b 38977
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-ifp 1087  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-seq 13056  df-trcl 14069  df-relexp 14102  df-he 38849
This theorem is referenced by:  frege102  39041
  Copyright terms: Public domain W3C validator