Theorem frege92 44532

Description: Inference from frege91 44531. Proposition 92 of [Frege1879] p. 69. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege92	⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

Proof of Theorem frege92

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege91.x	. 2 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		vex 3459	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
3		frege91.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
4		frege91.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
5	2, 3, 4	frege91 44531	. . . 4 ⊢ (𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)
6	5	sbcth 3760	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → [𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
7		frege53c 44491	. . 3 ⊢ ([𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
9		sbcim1 3798	. . . 4 ⊢ ([𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
10	9	imim2i 16	. . 3 ⊢ ((𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
11		dfsbcq 3747	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ [𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌))
12		sbcbr1g 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ ⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤𝑅𝑌))
13		csbvarg 4389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤 = 𝑋)
14	13	breq1d 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
15	12, 14	bitrd 281	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
16	1, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌)
17	11, 16	bitr3di 288	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
18		eqcom 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑍 ↔ 𝑍 = 𝑋)
19	18	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 = 𝑋)
20	19, 1	eqeltrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 ∈ 𝑈)
21		sbcbr1g 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
22		csbvarg 4389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤 = 𝑍)
23	22	breq1d 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → (⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
24	21, 23	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
25	20, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
26	17, 25	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌) ↔ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
27	10, 26	mpbidi 243	. 2 ⊢ ((𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
28	1, 8, 27	mp2b 10	1 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  [wsbc 3745  ⦋csb 3853   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  t+ctcl 14999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-frege1 44367  ax-frege2 44368  ax-frege8 44386  ax-frege52a 44434  ax-frege52c 44465  ax-frege58b 44478

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-seq 14016  df-trcl 15001  df-relexp 15034  df-he 44350

This theorem is referenced by:  frege102  44542