Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege92 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege92 40291
Description: Inference from frege91 40290. Proposition 92 of [Frege1879] p. 69. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x 𝑋𝑈
frege91.y 𝑌𝑉
frege91.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege92 (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

Proof of Theorem frege92
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege91.x . 2 𝑋𝑈
2 vex 3496 . . . . 5 𝑤 ∈ V
3 frege91.y . . . . 5 𝑌𝑉
4 frege91.r . . . . 5 𝑅𝑊
52, 3, 4frege91 40290 . . . 4 (𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)
65sbcth 3785 . . 3 (𝑋𝑈[𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
7 frege53c 40250 . . 3 ([𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
86, 7syl 17 . 2 (𝑋𝑈 → (𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
9 sbcim1 3823 . . . 4 ([𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
109imim2i 16 . . 3 ((𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
11 sbcbr1g 5114 . . . . . . 7 (𝑋𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋 / 𝑤𝑤𝑅𝑌))
12 csbvarg 4381 . . . . . . . 8 (𝑋𝑈𝑋 / 𝑤𝑤 = 𝑋)
1312breq1d 5067 . . . . . . 7 (𝑋𝑈 → (𝑋 / 𝑤𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
1411, 13bitrd 281 . . . . . 6 (𝑋𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
151, 14ax-mp 5 . . . . 5 ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌)
16 dfsbcq 3772 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌))
1715, 16syl5rbbr 288 . . . 4 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌𝑋𝑅𝑌))
18 eqcom 2826 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑍𝑍 = 𝑋)
1918biimpi 218 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑍𝑍 = 𝑋)
2019, 1syl6eqel 2919 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍𝑍𝑈)
21 sbcbr1g 5114 . . . . . 6 (𝑍𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍 / 𝑤𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
22 csbvarg 4381 . . . . . . 7 (𝑍𝑈𝑍 / 𝑤𝑤 = 𝑍)
2322breq1d 5067 . . . . . 6 (𝑍𝑈 → (𝑍 / 𝑤𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2421, 23bitrd 281 . . . . 5 (𝑍𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2520, 24syl 17 . . . 4 (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
2617, 25imbi12d 347 . . 3 (𝑋 = 𝑍 → (([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌[𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌) ↔ (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
2710, 26mpbidi 243 . 2 ((𝑋 = 𝑍[𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
281, 8, 27mp2b 10 1 (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208   = wceq 1531  wcel 2108  Vcvv 3493  [wsbc 3770  csb 3881   class class class wbr 5057  cfv 6348  t+ctcl 14337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-frege1 40126  ax-frege2 40127  ax-frege8 40145  ax-frege52a 40193  ax-frege52c 40224  ax-frege58b 40237
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13362  df-trcl 14339  df-relexp 14372  df-he 40109
This theorem is referenced by:  frege102  40301
  Copyright terms: Public domain W3C validator