Theorem frege92 45098

Description: Inference from frege91 45097. Proposition 92 of [Frege1879] p. 69. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege91.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege91.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege91.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege92	⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

Proof of Theorem frege92

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege91.x	. 2 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
3		frege91.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
4		frege91.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
5	2, 3, 4	frege91 45097	. . . 4 ⊢ (𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)
6	5	sbcth 3757	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → [𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
7		frege53c 45057	. . 3 ⊢ ([𝑋 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
9		sbcim1 3795	. . . 4 ⊢ ([𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌) → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
10	9	imim2i 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌)))
11		dfsbcq 3744	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ [𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌))
12		sbcbr1g 5166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ ⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤𝑅𝑌))
13		csbvarg 4395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤 = 𝑋)
14	13	breq1d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⦋𝑋 / 𝑤⦌𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
15	12, 14	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
16	1, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ([𝑋 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌)
17	11, 16	bitr3di 289	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 ↔ 𝑋𝑅𝑌))
18		eqcom 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑍 ↔ 𝑍 = 𝑋)
19	18	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 = 𝑋)
20	19, 1	eqeltrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → 𝑍 ∈ 𝑈)
21		sbcbr1g 5166	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤(t+‘𝑅)𝑌))
22		csbvarg 4395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤 = 𝑍)
23	22	breq1d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → (⦋𝑍 / 𝑤⦌𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
24	21, 23	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑈 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
25	20, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ([𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌 ↔ 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))
26	17, 25	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (([𝑍 / 𝑤]𝑤𝑅𝑌 → [𝑍 / 𝑤]𝑤(t+‘𝑅)𝑌) ↔ (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
27	10, 26	mpbidi 244	. 2 ⊢ ((𝑋 = 𝑍 → [𝑍 / 𝑤](𝑤𝑅𝑌 → 𝑤(t+‘𝑅)𝑌)) → (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌)))
28	1, 8, 27	mp2b 10	1 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑋𝑅𝑌 → 𝑍(t+‘𝑅)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454  [wsbc 3742  ⦋csb 3851   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  t+ctcl 15153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-frege1 44933  ax-frege2 44934  ax-frege8 44952  ax-frege52a 45000  ax-frege52c 45031  ax-frege58b 45044

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-seq 14158  df-trcl 15155  df-relexp 15188  df-he 44916

This theorem is used by:  frege102  45108