MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0fiubex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmapnn0fiubex 14030
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiubex ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀,𝑚   𝑅,𝑓,𝑚   𝑓,𝑉,𝑚   𝑓,𝑍,𝑚

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubex
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12539 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . . 4 ((∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → 0 ∈ ℕ0)
3 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (0...𝑚) = (0...0))
43sseq2d 4028 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0)))
54ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑚 = 0 → (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0)))
65adantl 481 . . . 4 (((∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ 𝑚 = 0) → (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0)))
7 ral0 4519 . . . . . 6 𝑓 ∈ ∅ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0)
8 raleq 3321 . . . . . 6 (∅ = 𝑀 → (∀𝑓 ∈ ∅ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0) ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0)))
97, 8mpbii 233 . . . . 5 (∅ = 𝑀 → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0))
10 0ss 4406 . . . . . . 7 ∅ ⊆ (0...0)
11 sseq1 4021 . . . . . . 7 ((𝑓 supp 𝑍) = ∅ → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0) ↔ ∅ ⊆ (0...0)))
1210, 11mpbiri 258 . . . . . 6 ((𝑓 supp 𝑍) = ∅ → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0))
1312ralimi 3081 . . . . 5 (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅ → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0))
149, 13jaoi 857 . . . 4 ((∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0))
152, 6, 14rspcedvd 3624 . . 3 ((∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚))
16152a1d 26 . 2 ((∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚))))
17 simplr 769 . . . . 5 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉))
18 simpr 484 . . . . . 6 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍)
19 ioran 985 . . . . . . . . . 10 (¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ↔ (¬ ∅ = 𝑀 ∧ ¬ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅))
20 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 supp 𝑍) = (𝑔 supp 𝑍))
2120eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝑔 supp 𝑍) = ∅))
2221cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅)
2322notbii 320 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ ¬ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅)
2423anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 ((¬ ∅ = 𝑀 ∧ ¬ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ↔ (¬ ∅ = 𝑀 ∧ ¬ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅))
2519, 24bitri 275 . . . . . . . . 9 (¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ↔ (¬ ∅ = 𝑀 ∧ ¬ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅))
26 rexnal 3098 . . . . . . . . . 10 (∃𝑔𝑀 ¬ (𝑔 supp 𝑍) = ∅ ↔ ¬ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅)
27 df-ne 2939 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑔 supp 𝑍) = ∅)
2827bicomi 224 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑔 supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
2928rexbii 3092 . . . . . . . . . 10 (∃𝑔𝑀 ¬ (𝑔 supp 𝑍) = ∅ ↔ ∃𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
3026, 29sylbb1 237 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅ → ∃𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
3125, 30simplbiim 504 . . . . . . . 8 (¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ∃𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
3231ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → ∃𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
33 iunn0 5072 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
3432, 33sylib 218 . . . . . 6 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
3518, 34jca 511 . . . . 5 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅))
36 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 supp 𝑍) = (𝑓 supp 𝑍))
3736cbviunv 5045 . . . . . 6 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
38 eqid 2735 . . . . . 6 sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ) = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )
3937, 38fsuppmapnn0fiublem 14028 . . . . 5 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅) → sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ) ∈ ℕ0))
4017, 35, 39sylc 65 . . . 4 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ) ∈ ℕ0)
41 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑓∅ = 𝑀
42 nfra1 3282 . . . . . . . . . 10 𝑓𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅
4341, 42nfor 1902 . . . . . . . . 9 𝑓(∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅)
4443nfn 1855 . . . . . . . 8 𝑓 ¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅)
45 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)
4644, 45nfan 1897 . . . . . . 7 𝑓(¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉))
47 nfra1 3282 . . . . . . 7 𝑓𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
4846, 47nfan 1897 . . . . . 6 𝑓((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍)
49 nfv 1912 . . . . . 6 𝑓 𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )
5048, 49nfan 1897 . . . . 5 𝑓(((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) ∧ 𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ))
51 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ) → (0...𝑚) = (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )))
5251sseq2d 4028 . . . . . 6 (𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ))))
5352adantl 481 . . . . 5 ((((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) ∧ 𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ))))
5450, 53ralbid 3271 . . . 4 ((((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) ∧ 𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )) → (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ))))
55 rexnal 3098 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓𝑀 ¬ (𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ ¬ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅)
56 df-ne 2939 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓 supp 𝑍) = ∅)
5756bicomi 224 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
5857rexbii 3092 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓𝑀 ¬ (𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ ∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
5955, 58sylbb1 237 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅ → ∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
6019, 59simplbiim 504 . . . . . . . 8 (¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
6160ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → ∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
62 iunn0 5072 . . . . . . . 8 (∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
6320cbviunv 5045 . . . . . . . . 9 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍)
6463neeq1i 3003 . . . . . . . 8 ( 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
6562, 64bitri 275 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
6661, 65sylib 218 . . . . . 6 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
6718, 66jca 511 . . . . 5 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅))
6837, 38fsuppmapnn0fiub 14029 . . . . 5 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ))))
6917, 67, 68sylc 65 . . . 4 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )))
7040, 54, 69rspcedvd 3624 . . 3 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚))
7170exp31 419 . 2 (¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚))))
7216, 71pm2.61i 182 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  c0 4339   ciun 4996   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  supcsup 9478  cr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  0cn0 12524  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub0  14031
  Copyright terms: Public domain W3C validator