MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0fiubex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmapnn0fiubex 13906
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiubex ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀,𝑚   𝑅,𝑓,𝑚   𝑓,𝑉,𝑚   𝑓,𝑍,𝑚

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubex
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12436 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . . 4 ((∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → 0 ∈ ℕ0)
3 oveq2 7369 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (0...𝑚) = (0...0))
43sseq2d 3980 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0)))
54ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑚 = 0 → (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0)))
65adantl 483 . . . 4 (((∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ 𝑚 = 0) → (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0)))
7 ral0 4474 . . . . . 6 𝑓 ∈ ∅ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0)
8 raleq 3308 . . . . . 6 (∅ = 𝑀 → (∀𝑓 ∈ ∅ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0) ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0)))
97, 8mpbii 232 . . . . 5 (∅ = 𝑀 → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0))
10 0ss 4360 . . . . . . 7 ∅ ⊆ (0...0)
11 sseq1 3973 . . . . . . 7 ((𝑓 supp 𝑍) = ∅ → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0) ↔ ∅ ⊆ (0...0)))
1210, 11mpbiri 258 . . . . . 6 ((𝑓 supp 𝑍) = ∅ → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0))
1312ralimi 3083 . . . . 5 (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅ → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0))
149, 13jaoi 856 . . . 4 ((∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...0))
152, 6, 14rspcedvd 3585 . . 3 ((∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚))
16152a1d 26 . 2 ((∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚))))
17 simplr 768 . . . . 5 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉))
18 simpr 486 . . . . . 6 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍)
19 ioran 983 . . . . . . . . . 10 (¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ↔ (¬ ∅ = 𝑀 ∧ ¬ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅))
20 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 supp 𝑍) = (𝑔 supp 𝑍))
2120eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝑔 supp 𝑍) = ∅))
2221cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅)
2322notbii 320 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ ¬ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅)
2423anbi2i 624 . . . . . . . . . 10 ((¬ ∅ = 𝑀 ∧ ¬ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ↔ (¬ ∅ = 𝑀 ∧ ¬ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅))
2519, 24bitri 275 . . . . . . . . 9 (¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ↔ (¬ ∅ = 𝑀 ∧ ¬ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅))
26 rexnal 3100 . . . . . . . . . 10 (∃𝑔𝑀 ¬ (𝑔 supp 𝑍) = ∅ ↔ ¬ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅)
27 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑔 supp 𝑍) = ∅)
2827bicomi 223 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑔 supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
2928rexbii 3094 . . . . . . . . . 10 (∃𝑔𝑀 ¬ (𝑔 supp 𝑍) = ∅ ↔ ∃𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
3026, 29sylbb1 236 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = ∅ → ∃𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
3125, 30simplbiim 506 . . . . . . . 8 (¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ∃𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
3231ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → ∃𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
33 iunn0 5031 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
3432, 33sylib 217 . . . . . 6 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
3518, 34jca 513 . . . . 5 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅))
36 oveq1 7368 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 supp 𝑍) = (𝑓 supp 𝑍))
3736cbviunv 5004 . . . . . 6 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
38 eqid 2733 . . . . . 6 sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ) = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )
3937, 38fsuppmapnn0fiublem 13904 . . . . 5 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅) → sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ) ∈ ℕ0))
4017, 35, 39sylc 65 . . . 4 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ) ∈ ℕ0)
41 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑓∅ = 𝑀
42 nfra1 3266 . . . . . . . . . 10 𝑓𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅
4341, 42nfor 1908 . . . . . . . . 9 𝑓(∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅)
4443nfn 1861 . . . . . . . 8 𝑓 ¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅)
45 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)
4644, 45nfan 1903 . . . . . . 7 𝑓(¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉))
47 nfra1 3266 . . . . . . 7 𝑓𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
4846, 47nfan 1903 . . . . . 6 𝑓((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍)
49 nfv 1918 . . . . . 6 𝑓 𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )
5048, 49nfan 1903 . . . . 5 𝑓(((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) ∧ 𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ))
51 oveq2 7369 . . . . . . 7 (𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ) → (0...𝑚) = (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )))
5251sseq2d 3980 . . . . . 6 (𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ))))
5352adantl 483 . . . . 5 ((((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) ∧ 𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ))))
5450, 53ralbid 3255 . . . 4 ((((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) ∧ 𝑚 = sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )) → (∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ))))
55 rexnal 3100 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓𝑀 ¬ (𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ ¬ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅)
56 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓 supp 𝑍) = ∅)
5756bicomi 223 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
5857rexbii 3094 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓𝑀 ¬ (𝑓 supp 𝑍) = ∅ ↔ ∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
5955, 58sylbb1 236 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅ → ∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
6019, 59simplbiim 506 . . . . . . . 8 (¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
6160ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → ∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
62 iunn0 5031 . . . . . . . 8 (∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅)
6320cbviunv 5004 . . . . . . . . 9 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍)
6463neeq1i 3005 . . . . . . . 8 ( 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
6562, 64bitri 275 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ≠ ∅ ↔ 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
6661, 65sylib 217 . . . . . 6 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅)
6718, 66jca 513 . . . . 5 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅))
6837, 38fsuppmapnn0fiub 13905 . . . . 5 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍) ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < ))))
6917, 67, 68sylc 65 . . . 4 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...sup( 𝑔𝑀 (𝑔 supp 𝑍), ℝ, < )))
7040, 54, 69rspcedvd 3585 . . 3 (((¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) ∧ (𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)) ∧ ∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚))
7170exp31 421 . 2 (¬ (∅ = 𝑀 ∨ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) = ∅) → ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚))))
7216, 71pm2.61i 182 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3914  c0 4286   ciun 4958   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361   supp csupp 8096  m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  supcsup 9384  cr 11058  0cc0 11059   < clt 11197  0cn0 12421  ...cfz 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub0  13907
  Copyright terms: Public domain W3C validator