gausslemma2dlem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem gausslemma2dlem3 26871

Description: Lemma 3 for gausslemma2d 26877. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

**Assertion**
Ref	Expression
gausslemma2dlem3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐻 𝑥,𝑃 𝜑,𝑥 𝑘,𝐻 𝑅,𝑘 𝜑,𝑘 𝑥,𝑀 𝑥,𝑘 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑘) 𝑅(𝑥) 𝑀(𝑘)

**Proof of Theorem gausslemma2dlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2		oveq1 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
3	2	breq1d 5159	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4	2	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
5	3, 2, 4	ifbieq12d 4557	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6	5	adantl 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7		gausslemma2d.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8	7	gausslemma2dlem0a 26859	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		elfz2 13491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻)))
10		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
11	10	oveq1i 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
12	11	breq1i 5156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘)
13		nnre 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
14		4re 12296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
16		4ne0 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
18	13, 15, 17	redivcld 12042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
19	18	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
20		fllelt 13762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 / 4) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
22	18	flcld 13763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ)
24		peano2re 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
26	25	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
27		zre 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
28	27	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
29		ltleletr 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
30	19, 26, 28, 29	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
31	30	expd 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
32	31	adantld 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
33	21, 32	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
34	33	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)
35	13	rehalfcld 12459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
36	35	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
37		2re 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
39	27, 38	remulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
40	39	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
41		2pos 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 2
42	37, 41	pm3.2i 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
44		lediv1 12079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
45	36, 40, 43, 44	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
46		nncn 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
47		2cnne0 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
49		divdiv1 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
50	46, 48, 48, 49	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
51		2t2e4 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 2) = 4
52	51	oveq2i 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 / (2 · 2)) = (𝑃 / 4)
53	50, 52	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / 4))
54		zcn 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
55		2cnd 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
56		2ne0 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ≠ 0
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
58	54, 55, 57	divcan4d 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) / 2) = 𝑘)
59	53, 58	breqan12rd 5166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
60	45, 59	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
61	60	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
62	34, 61	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
63	62	exp31 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
64	63	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
65	12, 64	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
66	65	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
67	66	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
68	67	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻) → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
69	68	impcom 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻)) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
70	9, 69	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
71	70	impcom 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
72		elfzelz 13501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
73	72	zred 12666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℝ)
74	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℝ)
75	73, 74	remulcld 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
76		lenlt 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
77	35, 75, 76	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
78	71, 77	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
79	8, 78	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
80	79	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
81	80	iffalsed 4540	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
82	6, 81	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
83	7, 10	gausslemma2dlem0d 26862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
84		nn0p1nn 12511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
85		nnuz 12865	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
86	84, 85	eleqtrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
87	83, 86	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
88		fzss1 13540	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
89	87, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
90	89	sselda 3983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
91		ovexd 7444	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ V)
92	1, 82, 90, 91	fvmptd2 7007	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
93	92	ralrimiva 3147	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∀wral 3062 Vcvv 3475 ∖ cdif 3946 ⊆ wss 3949 ifcif 4529 {csn 4629 class class class wbr 5149 ↦ cmpt 5232 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ℂcc 11108 ℝcr 11109 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 · cmul 11115 < clt 11248 ≤ cle 11249 − cmin 11444 / cdiv 11871 ℕcn 12212 2c2 12267 4c4 12269 ℕ₀cn0 12472 ℤcz 12558 ℤ_≥cuz 12822 ...cfz 13484 ⌊cfl 13755 ℙcprime 16608

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-2o 8467 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9437 df-inf 9438 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-n0 12473 df-z 12559 df-uz 12823 df-rp 12975 df-fz 13485 df-fl 13757 df-seq 13967 df-exp 14028 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-dvds 16198 df-prm 16609

This theorem is referenced by: gausslemma2dlem5a 26873 gausslemma2dlem6 26875

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