gausslemma2dlem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem gausslemma2dlem3 27350

Description: Lemma 3 for gausslemma2d 27356. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

**Assertion**
Ref	Expression
gausslemma2dlem3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐻 𝑥,𝑃 𝜑,𝑥 𝑘,𝐻 𝑅,𝑘 𝜑,𝑘 𝑥,𝑀 𝑥,𝑘 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑘) 𝑅(𝑥) 𝑀(𝑘)

**Proof of Theorem gausslemma2dlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
3	2	breq1d 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4	2	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
5	3, 2, 4	ifbieq12d 4496	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7		gausslemma2d.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8	7	gausslemma2dlem0a 27338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		elfz2 13457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻)))
10		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
11	10	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
12	11	breq1i 5093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘)
13		nnre 12170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
14		4re 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
16		4ne0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
18	13, 15, 17	redivcld 11972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
20		fllelt 13745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 / 4) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
22	18	flcld 13746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ)
24		peano2re 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
27		zre 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
29		ltleletr 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
30	19, 26, 28, 29	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
31	30	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
32	31	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
33	21, 32	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
34	33	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)
35	13	rehalfcld 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
37		2re 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
39	27, 38	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
41		2pos 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 2
42	37, 41	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
44		lediv1 12010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
45	36, 40, 43, 44	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
46		nncn 12171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
47		2cnne0 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
49		divdiv1 11855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
50	46, 48, 48, 49	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
51		2t2e4 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 2) = 4
52	51	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 / (2 · 2)) = (𝑃 / 4)
53	50, 52	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / 4))
54		zcn 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
55		2cnd 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
56		2ne0 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ≠ 0
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
58	54, 55, 57	divcan4d 11926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) / 2) = 𝑘)
59	53, 58	breqan12rd 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
60	45, 59	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
62	34, 61	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
63	62	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
64	63	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
65	12, 64	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
66	65	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
67	66	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻) → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
69	68	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻)) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
70	9, 69	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
71	70	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
72		elfzelz 13467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
73	72	zred 12622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℝ)
74	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℝ)
75	73, 74	remulcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
76		lenlt 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
77	35, 75, 76	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
78	71, 77	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
79	8, 78	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
80	79	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
81	80	iffalsed 4478	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
82	6, 81	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
83	7, 10	gausslemma2dlem0d 27341	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
84		nn0p1nn 12465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
85		nnuz 12816	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
86	84, 85	eleqtrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
87	83, 86	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
88		fzss1 13506	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
89	87, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
90	89	sselda 3922	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
91		ovexd 7393	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ V)
92	1, 82, 90, 91	fvmptd2 6948	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
93	92	ralrimiva 3130	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 Vcvv 3430 ∖ cdif 3887 ⊆ wss 3890 ifcif 4467 {csn 4568 class class class wbr 5086 ↦ cmpt 5167 ‘cfv 6490 (class class class)co 7358 ℂcc 11025 ℝcr 11026 0cc0 11027 1c1 11028 + caddc 11030 · cmul 11032 < clt 11168 ≤ cle 11169 − cmin 11366 / cdiv 11796 ℕcn 12163 2c2 12225 4c4 12227 ℕ₀cn0 12426 ℤcz 12513 ℤ_≥cuz 12777 ...cfz 13450 ⌊cfl 13738 ℙcprime 16629

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5300 ax-pr 5368 ax-un 7680 ax-cnex 11083 ax-resscn 11084 ax-1cn 11085 ax-icn 11086 ax-addcl 11087 ax-addrcl 11088 ax-mulcl 11089 ax-mulrcl 11090 ax-mulcom 11091 ax-addass 11092 ax-mulass 11093 ax-distr 11094 ax-i2m1 11095 ax-1ne0 11096 ax-1rid 11097 ax-rnegex 11098 ax-rrecex 11099 ax-cnre 11100 ax-pre-lttri 11101 ax-pre-lttrn 11102 ax-pre-ltadd 11103 ax-pre-mulgt0 11104 ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8222 df-wrecs 8253 df-recs 8302 df-rdg 8340 df-1o 8396 df-2o 8397 df-er 8634 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-fin 8888 df-sup 9346 df-inf 9347 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11368 df-neg 11369 df-div 11797 df-nn 12164 df-2 12233 df-3 12234 df-4 12235 df-n0 12427 df-z 12514 df-uz 12778 df-rp 12932 df-fz 13451 df-fl 13740 df-seq 13953 df-exp 14013 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-dvds 16211 df-prm 16630

This theorem is referenced by: gausslemma2dlem5a 27352 gausslemma2dlem6 27354

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