MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem3 26719
Description: Lemma 3 for gausslemma2d 26725. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘…,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘€(๐‘˜)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . 3 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
2 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ ยท 2) = (๐‘˜ ยท 2))
32breq1d 5116 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2) โ†” (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
42oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2)) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
53, 2, 4ifbieq12d 4515 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))) = if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))))
65adantl 483 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))) = if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))))
7 gausslemma2d.p . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
87gausslemma2dlem0a 26707 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9 elfz2 13432 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†” (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐ป)))
10 gausslemma2d.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
1110oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ + 1) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)
1211breq1i 5113 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜)
13 nnre 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
14 4re 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 โˆˆ โ„
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„)
16 4ne0 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 โ‰  0
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 4 โ‰  0)
1813, 15, 17redivcld 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„)
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„)
20 fllelt 13703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค (๐‘ƒ / 4) โˆง (๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค (๐‘ƒ / 4) โˆง (๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)))
2218flcld 13704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
2322zred 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„)
24 peano2re 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„)
2625adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„)
27 zre 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
29 ltleletr 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
3019, 26, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
3130expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜)))
3231adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค (๐‘ƒ / 4) โˆง (๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜)))
3321, 32mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
3433imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜)
3513rehalfcld 12401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„)
3635adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„)
37 2re 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 โˆˆ โ„
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3927, 38remulcld 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
41 2pos 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 2
4237, 41pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
44 lediv1 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” ((๐‘ƒ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘˜ ยท 2) / 2)))
4536, 40, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” ((๐‘ƒ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘˜ ยท 2) / 2)))
46 nncn 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
47 2cnne0 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
49 divdiv1 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) / 2) = (๐‘ƒ / (2 ยท 2)))
5046, 48, 48, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ / 2) / 2) = (๐‘ƒ / (2 ยท 2)))
51 2t2e4 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ยท 2) = 4
5251oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ / (2 ยท 2)) = (๐‘ƒ / 4)
5350, 52eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ / 2) / 2) = (๐‘ƒ / 4))
54 zcn 12505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
55 2cnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
56 2ne0 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 โ‰  0
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
5854, 55, 57divcan4d 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) / 2) = ๐‘˜)
5953, 58breqan12rd 5123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘˜ ยท 2) / 2) โ†” (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
6045, 59bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
6234, 61mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))
6362exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
6463com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
6512, 64biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
66653ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐ป) โ†’ (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
6968impcom 409 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐ป)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2)))
709, 69sylbi 216 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2)))
7170impcom 409 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))
72 elfzelz 13442 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
7372zred 12608 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
7437a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
7573, 74remulcld 11186 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
76 lenlt 11234 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” ยฌ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
7735, 75, 76syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” ยฌ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
7871, 77mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))
798, 78sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))
8079adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))
8180iffalsed 4498 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
826, 81eqtrd 2777 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
837, 10gausslemma2dlem0d 26710 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
84 nn0p1nn 12453 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•)
85 nnuz 12807 . . . . . . 7 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
8684, 85eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8783, 86syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
88 fzss1 13481 . . . . 5 ((๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โŠ† (1...๐ป))
8987, 88syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โŠ† (1...๐ป))
9089sselda 3945 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป))
91 ovexd 7393 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ V)
921, 82, 90, 91fvmptd2 6957 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
9392ralrimiva 3144 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  Vcvv 3446   โˆ– cdif 3908   โŠ† wss 3911  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  4c4 12211  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  ...cfz 13425  โŒŠcfl 13696  โ„™cprime 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-prm 16549
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  26721  gausslemma2dlem6  26723
  Copyright terms: Public domain W3C validator