gausslemma2dlem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem gausslemma2dlem3 27412

Description: Lemma 3 for gausslemma2d 27418. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

**Assertion**
Ref	Expression
gausslemma2dlem3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐻 𝑥,𝑃 𝜑,𝑥 𝑘,𝐻 𝑅,𝑘 𝜑,𝑘 𝑥,𝑀 𝑥,𝑘 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑘) 𝑅(𝑥) 𝑀(𝑘)

**Proof of Theorem gausslemma2dlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
3	2	breq1d 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4	2	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
5	3, 2, 4	ifbieq12d 4554	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7		gausslemma2d.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8	7	gausslemma2dlem0a 27400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		elfz2 13554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻)))
10		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
11	10	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
12	11	breq1i 5150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘)
13		nnre 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
14		4re 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
16		4ne0 12374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 4 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
18	13, 15, 17	redivcld 12095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
20		fllelt 13837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 / 4) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
22	18	flcld 13838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ)
24		peano2re 11434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
27		zre 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
29		ltleletr 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
30	19, 26, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
31	30	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
32	31	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
33	21, 32	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
34	33	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)
35	13	rehalfcld 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
37		2re 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
39	27, 38	remulcld 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
41		2pos 12369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 2
42	37, 41	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
44		lediv1 12133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
45	36, 40, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
46		nncn 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
47		2cnne0 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
49		divdiv1 11978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
50	46, 48, 48, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
51		2t2e4 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 2) = 4
52	51	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 / (2 · 2)) = (𝑃 / 4)
53	50, 52	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / 4))
54		zcn 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
55		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
56		2ne0 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ≠ 0
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
58	54, 55, 57	divcan4d 12049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) / 2) = 𝑘)
59	53, 58	breqan12rd 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
60	45, 59	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
62	34, 61	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
63	62	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
64	63	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
65	12, 64	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
66	65	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
67	66	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻) → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
69	68	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻)) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
70	9, 69	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
71	70	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
72		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
73	72	zred 12722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℝ)
74	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℝ)
75	73, 74	remulcld 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
76		lenlt 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
77	35, 75, 76	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
78	71, 77	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
79	8, 78	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
80	79	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
81	80	iffalsed 4536	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
82	6, 81	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
83	7, 10	gausslemma2dlem0d 27403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
84		nn0p1nn 12565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
85		nnuz 12921	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
86	84, 85	eleqtrdi 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
87	83, 86	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
88		fzss1 13603	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
89	87, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
90	89	sselda 3983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
91		ovexd 7466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ V)
92	1, 82, 90, 91	fvmptd2 7024	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
93	92	ralrimiva 3146	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 Vcvv 3480 ∖ cdif 3948 ⊆ wss 3951 ifcif 4525 {csn 4626 class class class wbr 5143 ↦ cmpt 5225 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 ℝcr 11154 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 < clt 11295 ≤ cle 11296 − cmin 11492 / cdiv 11920 ℕcn 12266 2c2 12321 4c4 12323 ℕ₀cn0 12526 ℤcz 12613 ℤ_≥cuz 12878 ...cfz 13547 ⌊cfl 13830 ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-2o 8507 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-sup 9482 df-inf 9483 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-4 12331 df-n0 12527 df-z 12614 df-uz 12879 df-rp 13035 df-fz 13548 df-fl 13832 df-seq 14043 df-exp 14103 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-dvds 16291 df-prm 16709

This theorem is referenced by: gausslemma2dlem5a 27414 gausslemma2dlem6 27416

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