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Theorem gausslemma2dlem3 26662
Description: Lemma 3 for gausslemma2d 26668. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀   𝑥,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2 oveq1 7358 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
32breq1d 5113 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
42oveq2d 7367 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
53, 2, 4ifbieq12d 4512 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
65adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7 gausslemma2d.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
87gausslemma2dlem0a 26650 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 elfz2 13385 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘𝑘𝐻)))
10 gausslemma2d.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
1110oveq1i 7361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
1211breq1i 5110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘)
13 nnre 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
14 4re 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
16 4ne0 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
1813, 15, 17redivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
20 fllelt 13656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 / 4) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
2218flcld 13657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
2322zred 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ)
24 peano2re 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
27 zre 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
29 ltleletr 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
3019, 26, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
3130expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
3231adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
3321, 32mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
3433imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)
3513rehalfcld 12358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
37 2re 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
3927, 38remulcld 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
41 2pos 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 2
4237, 41pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
44 lediv1 11978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
4536, 40, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
46 nncn 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
47 2cnne0 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
49 divdiv1 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
5046, 48, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
51 2t2e4 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 2) = 4
5251oveq2i 7362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 / (2 · 2)) = (𝑃 / 4)
5350, 52eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / 4))
54 zcn 12462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
55 2cnd 12189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
56 2ne0 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ≠ 0
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
5854, 55, 57divcan4d 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) / 2) = 𝑘)
5953, 58breqan12rd 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
6045, 59bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
6234, 61mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
6362exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6463com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6512, 64biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
66653ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 + 1) ≤ 𝑘𝑘𝐻) → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6968impcom 408 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘𝑘𝐻)) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
709, 69sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
7170impcom 408 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
72 elfzelz 13395 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
7372zred 12565 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℝ)
7437a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℝ)
7573, 74remulcld 11143 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
76 lenlt 11191 . . . . . . . . 9 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
7735, 75, 76syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
7871, 77mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
798, 78sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
8079adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
8180iffalsed 4495 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
826, 81eqtrd 2776 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
837, 10gausslemma2dlem0d 26653 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
84 nn0p1nn 12410 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
85 nnuz 12760 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
8684, 85eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
8783, 86syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
88 fzss1 13434 . . . . 5 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
8987, 88syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
9089sselda 3942 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
91 ovexd 7386 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ V)
921, 82, 90, 91fvmptd2 6953 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
9392ralrimiva 3141 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3443  cdif 3905  wss 3908  ifcif 4484  {csn 4584   class class class wbr 5103  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11147  cle 11148  cmin 11343   / cdiv 11770  cn 12111  2c2 12166  4c4 12168  0cn0 12371  cz 12457  cuz 12721  ...cfz 13378  cfl 13649  cprime 16501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fl 13651  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-dvds 16091  df-prm 16502
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  26664  gausslemma2dlem6  26666
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