MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem3 27105
Description: Lemma 3 for gausslemma2d 27111. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘…,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘€(๐‘˜)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . 3 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
2 oveq1 7420 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ ยท 2) = (๐‘˜ ยท 2))
32breq1d 5159 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2) โ†” (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
42oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2)) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
53, 2, 4ifbieq12d 4557 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))) = if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))))
65adantl 480 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))) = if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))))
7 gausslemma2d.p . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
87gausslemma2dlem0a 27093 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9 elfz2 13497 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†” (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐ป)))
10 gausslemma2d.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
1110oveq1i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ + 1) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)
1211breq1i 5156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜)
13 nnre 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
14 4re 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 โˆˆ โ„
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„)
16 4ne0 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 โ‰  0
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 4 โ‰  0)
1813, 15, 17redivcld 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„)
1918adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„)
20 fllelt 13768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค (๐‘ƒ / 4) โˆง (๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค (๐‘ƒ / 4) โˆง (๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)))
2218flcld 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
2322zred 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„)
24 peano2re 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„)
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„)
27 zre 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
2827adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
29 ltleletr 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
3019, 26, 28, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
3130expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜)))
3231adantld 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค (๐‘ƒ / 4) โˆง (๐‘ƒ / 4) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜)))
3321, 32mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
3433imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜)
3513rehalfcld 12465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„)
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„)
37 2re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 โˆˆ โ„
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3927, 38remulcld 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
4039adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
41 2pos 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 2
4237, 41pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
44 lediv1 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” ((๐‘ƒ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘˜ ยท 2) / 2)))
4536, 40, 43, 44syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” ((๐‘ƒ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘˜ ยท 2) / 2)))
46 nncn 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
47 2cnne0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
49 divdiv1 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) / 2) = (๐‘ƒ / (2 ยท 2)))
5046, 48, 48, 49syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ / 2) / 2) = (๐‘ƒ / (2 ยท 2)))
51 2t2e4 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ยท 2) = 4
5251oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ / (2 ยท 2)) = (๐‘ƒ / 4)
5350, 52eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ / 2) / 2) = (๐‘ƒ / 4))
54 zcn 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
55 2cnd 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
56 2ne0 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 โ‰  0
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
5854, 55, 57divcan4d 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) / 2) = ๐‘˜)
5953, 58breqan12rd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘˜ ยท 2) / 2) โ†” (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
6045, 59bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” (๐‘ƒ / 4) โ‰ค ๐‘˜))
6234, 61mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))
6362exp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
6463com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
6512, 64biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
66653ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
6867adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐ป) โ†’ (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))))
6968impcom 406 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘€ + 1) โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐ป)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2)))
709, 69sylbi 216 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2)))
7170impcom 406 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2))
72 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
7372zred 12672 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
7437a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
7573, 74remulcld 11250 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
76 lenlt 11298 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” ยฌ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
7735, 75, 76syl2an 594 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) โ‰ค (๐‘˜ ยท 2) โ†” ยฌ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
7871, 77mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))
798, 78sylan 578 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))
8079adantr 479 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))
8180iffalsed 4540 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
826, 81eqtrd 2770 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
837, 10gausslemma2dlem0d 27096 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
84 nn0p1nn 12517 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•)
85 nnuz 12871 . . . . . . 7 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
8684, 85eleqtrdi 2841 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8783, 86syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
88 fzss1 13546 . . . . 5 ((๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โŠ† (1...๐ป))
8987, 88syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โŠ† (1...๐ป))
9089sselda 3983 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป))
91 ovexd 7448 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ V)
921, 82, 90, 91fvmptd2 7007 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
9392ralrimiva 3144 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3946   โŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11254   โ‰ค cle 11255   โˆ’ cmin 11450   / cdiv 11877  โ„•cn 12218  2c2 12273  4c4 12275  โ„•0cn0 12478  โ„คcz 12564  โ„คโ‰ฅcuz 12828  ...cfz 13490  โŒŠcfl 13761  โ„™cprime 16614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16204  df-prm 16615
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  27107  gausslemma2dlem6  27109
  Copyright terms: Public domain W3C validator