Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1igid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1igid 18064
 Description: The composition of the modulo function 𝐼 and a constant function (𝐺‘𝐾) results in (𝐺‘𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1igid (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝐾)) = (𝐺𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1igid
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5579 . . . . 5 (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾)
21eqcomi 2807 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) = (ℕ0 × {𝐾})
32a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
43coeq2d 5698 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0𝐾)) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
5 simpl 486 . . . . 5 ((𝑛 = 𝐾𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑛 = 𝐾)
65mpteq2dva 5126 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
7 smndex1ibas.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
8 nn0ex 11894 . . . . 5 0 ∈ V
98mptex 6964 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) ∈ V
106, 7, 9fvmpt 6746 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
1110coeq2d 5698 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝐾)) = (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0𝐾)))
12 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
13 oveq1 7143 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
14 zmodidfzoimp 13267 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
1513, 14sylan9eqr 2855 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝐾)
16 elfzonn0 13080 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1712, 15, 16, 16fvmptd2 6754 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼𝐾) = 𝐾)
1817eqcomd 2804 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 = (𝐼𝐾))
1918sneqd 4537 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → {𝐾} = {(𝐼𝐾)})
2019xpeq2d 5550 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (ℕ0 × {𝐾}) = (ℕ0 × {(𝐼𝐾)}))
2110, 2eqtrdi 2849 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
22 ovex 7169 . . . . 5 (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
2322, 12fnmpti 6464 . . . 4 𝐼 Fn ℕ0
24 fcoconst 6874 . . . 4 ((𝐼 Fn ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼𝐾)}))
2523, 16, 24sylancr 590 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼𝐾)}))
2620, 21, 253eqtr4d 2843 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
274, 11, 263eqtr4d 2843 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝐾)) = (𝐺𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525   ↦ cmpt 5111   × cxp 5518   ∘ ccom 5524   Fn wfn 6320  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  ℕcn 11628  ℕ0cn0 11888  ..^cfzo 13031   mod cmo 13235  EndoFMndcefmnd 18028 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-inf 8894  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236 This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18067  smndex1mndlem  18069
 Copyright terms: Public domain W3C validator