Theorem smndex1igid 18807

Description: The composition of the modulo function 𝐼 and a constant function (𝐺‘𝐾) results in (𝐺‘𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1igid	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1igid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5693	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
2	1	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (ℕ0 × {𝐾})
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
4	3	coeq2d 5816	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑛 = 𝐾)
6	5	mpteq2dva 5195	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
7		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
8		nn0ex 12424	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	mptex 7179	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
10	6, 7, 9	fvmpt 6950	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
11	10	coeq2d 5816	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)))
12		smndex1ibas.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
13		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
14		zmodidfzoimp 13839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
15	13, 14	sylan9eqr 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝐾)
16		elfzonn0 13644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17	12, 15, 16, 16	fvmptd2 6958	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼‘𝐾) = 𝐾)
18	17	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 = (𝐼‘𝐾))
19	18	sneqd 4597	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → {𝐾} = {(𝐼‘𝐾)})
20	19	xpeq2d 5661	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (ℕ0 × {𝐾}) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
21	10, 2	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
22		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
23	22, 12	fnmpti 6643	. . . 4 ⊢ 𝐼 Fn ℕ0
24		fcoconst 7088	. . . 4 ⊢ ((𝐼 Fn ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
25	23, 16, 24	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
26	20, 21, 25	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
27	4, 11, 26	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ..^cfzo 13591   mod cmo 13807  EndoFMndcefmnd 18771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18810  smndex1mndlem  18812