Theorem smndex1igid 18818

Description: The composition of the modulo function 𝐼 and a constant function (𝐺‘𝐾) results in (𝐺‘𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1igid	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1igid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5681	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
2	1	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (ℕ0 × {𝐾})
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
4	3	coeq2d 5807	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑛 = 𝐾)
6	5	mpteq2dva 5186	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
7		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
8		nn0ex 12393	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	mptex 7163	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
10	6, 7, 9	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
11	10	coeq2d 5807	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)))
12		smndex1ibas.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
13		oveq1 7359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
14		zmodidfzoimp 13811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
15	13, 14	sylan9eqr 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝐾)
16		elfzonn0 13613	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17	12, 15, 16, 16	fvmptd2 6943	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼‘𝐾) = 𝐾)
18	17	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 = (𝐼‘𝐾))
19	18	sneqd 4587	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → {𝐾} = {(𝐼‘𝐾)})
20	19	xpeq2d 5649	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (ℕ0 × {𝐾}) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
21	10, 2	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
22		ovex 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
23	22, 12	fnmpti 6630	. . . 4 ⊢ 𝐼 Fn ℕ0
24		fcoconst 7073	. . . 4 ⊢ ((𝐼 Fn ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
25	23, 16, 24	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
26	20, 21, 25	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
27	4, 11, 26	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4575   ↦ cmpt 5174   × cxp 5617   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6482  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  0cc0 11012  ℕcn 12131  ℕ₀cn0 12387  ..^cfzo 13560   mod cmo 13779  EndoFMndcefmnd 18782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-mod 13780

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18821  smndex1mndlem  18823