MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1igid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1igid 18715
Description: The composition of the modulo function 𝐼 and a constant function (πΊβ€˜πΎ) results in (πΊβ€˜πΎ) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1igid (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜πΎ)) = (πΊβ€˜πΎ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   𝑛,𝐾,π‘₯   𝑛,𝑁   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1igid
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5695 . . . . 5 (β„•0 Γ— {𝐾}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾)
21eqcomi 2746 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) = (β„•0 Γ— {𝐾})
32a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) = (β„•0 Γ— {𝐾}))
43coeq2d 5819 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐼 ∘ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾)) = (𝐼 ∘ (β„•0 Γ— {𝐾})))
5 simpl 484 . . . . 5 ((𝑛 = 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝑛 = 𝐾)
65mpteq2dva 5206 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
7 smndex1ibas.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
8 nn0ex 12420 . . . . 5 β„•0 ∈ V
98mptex 7174 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾) ∈ V
106, 7, 9fvmpt 6949 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾))
1110coeq2d 5819 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜πΎ)) = (𝐼 ∘ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝐾)))
12 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
13 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐾 β†’ (π‘₯ mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
14 zmodidfzoimp 13807 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
1513, 14sylan9eqr 2799 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ = 𝐾) β†’ (π‘₯ mod 𝑁) = 𝐾)
16 elfzonn0 13618 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1712, 15, 16, 16fvmptd2 6957 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΌβ€˜πΎ) = 𝐾)
1817eqcomd 2743 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 = (πΌβ€˜πΎ))
1918sneqd 4599 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ {𝐾} = {(πΌβ€˜πΎ)})
2019xpeq2d 5664 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (β„•0 Γ— {𝐾}) = (β„•0 Γ— {(πΌβ€˜πΎ)}))
2110, 2eqtrdi 2793 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (β„•0 Γ— {𝐾}))
22 ovex 7391 . . . . 5 (π‘₯ mod 𝑁) ∈ V
2322, 12fnmpti 6645 . . . 4 𝐼 Fn β„•0
24 fcoconst 7081 . . . 4 ((𝐼 Fn β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐼 ∘ (β„•0 Γ— {𝐾})) = (β„•0 Γ— {(πΌβ€˜πΎ)}))
2523, 16, 24sylancr 588 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐼 ∘ (β„•0 Γ— {𝐾})) = (β„•0 Γ— {(πΌβ€˜πΎ)}))
2620, 21, 253eqtr4d 2787 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = (𝐼 ∘ (β„•0 Γ— {𝐾})))
274, 11, 263eqtr4d 2787 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜πΎ)) = (πΊβ€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  β„•cn 12154  β„•0cn0 12414  ..^cfzo 13568   mod cmo 13775  EndoFMndcefmnd 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776
This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18718  smndex1mndlem  18720
  Copyright terms: Public domain W3C validator