MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1igid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1igid 18331
Description: The composition of the modulo function 𝐼 and a constant function (𝐺𝐾) results in (𝐺𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1igid (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝐾)) = (𝐺𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1igid
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5611 . . . . 5 (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾)
21eqcomi 2746 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) = (ℕ0 × {𝐾})
32a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
43coeq2d 5731 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0𝐾)) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
5 simpl 486 . . . . 5 ((𝑛 = 𝐾𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑛 = 𝐾)
65mpteq2dva 5150 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
7 smndex1ibas.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
8 nn0ex 12096 . . . . 5 0 ∈ V
98mptex 7039 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) ∈ V
106, 7, 9fvmpt 6818 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
1110coeq2d 5731 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝐾)) = (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0𝐾)))
12 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
13 oveq1 7220 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
14 zmodidfzoimp 13474 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
1513, 14sylan9eqr 2800 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝐾)
16 elfzonn0 13287 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1712, 15, 16, 16fvmptd2 6826 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼𝐾) = 𝐾)
1817eqcomd 2743 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 = (𝐼𝐾))
1918sneqd 4553 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → {𝐾} = {(𝐼𝐾)})
2019xpeq2d 5581 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (ℕ0 × {𝐾}) = (ℕ0 × {(𝐼𝐾)}))
2110, 2eqtrdi 2794 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
22 ovex 7246 . . . . 5 (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
2322, 12fnmpti 6521 . . . 4 𝐼 Fn ℕ0
24 fcoconst 6949 . . . 4 ((𝐼 Fn ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼𝐾)}))
2523, 16, 24sylancr 590 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼𝐾)}))
2620, 21, 253eqtr4d 2787 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
274, 11, 263eqtr4d 2787 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝐾)) = (𝐺𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  {csn 4541  cmpt 5135   × cxp 5549  ccom 5555   Fn wfn 6375  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  cn 11830  0cn0 12090  ..^cfzo 13238   mod cmo 13442  EndoFMndcefmnd 18295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443
This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18334  smndex1mndlem  18336
  Copyright terms: Public domain W3C validator