MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1igid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1igid 18668
Description: The composition of the modulo function 𝐼 and a constant function (𝐺𝐾) results in (𝐺𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
Assertion
Ref Expression
smndex1igid (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝐾)) = (𝐺𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1igid
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5692 . . . . 5 (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾)
21eqcomi 2745 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) = (ℕ0 × {𝐾})
32a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
43coeq2d 5816 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0𝐾)) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
5 simpl 483 . . . . 5 ((𝑛 = 𝐾𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑛 = 𝐾)
65mpteq2dva 5203 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
7 smndex1ibas.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
8 nn0ex 12377 . . . . 5 0 ∈ V
98mptex 7169 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0𝐾) ∈ V
106, 7, 9fvmpt 6945 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0𝐾))
1110coeq2d 5816 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝐾)) = (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0𝐾)))
12 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
13 oveq1 7358 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
14 zmodidfzoimp 13760 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
1513, 14sylan9eqr 2798 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝐾)
16 elfzonn0 13571 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1712, 15, 16, 16fvmptd2 6953 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼𝐾) = 𝐾)
1817eqcomd 2742 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 = (𝐼𝐾))
1918sneqd 4596 . . . 4 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → {𝐾} = {(𝐼𝐾)})
2019xpeq2d 5661 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (ℕ0 × {𝐾}) = (ℕ0 × {(𝐼𝐾)}))
2110, 2eqtrdi 2792 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
22 ovex 7384 . . . . 5 (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
2322, 12fnmpti 6641 . . . 4 𝐼 Fn ℕ0
24 fcoconst 7076 . . . 4 ((𝐼 Fn ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼𝐾)}))
2523, 16, 24sylancr 587 . . 3 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼𝐾)}))
2620, 21, 253eqtr4d 2786 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝐾) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
274, 11, 263eqtr4d 2786 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝐾)) = (𝐺𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4584  cmpt 5186   × cxp 5629  ccom 5635   Fn wfn 6488  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cc0 11009  cn 12111  0cn0 12371  ..^cfzo 13521   mod cmo 13728  EndoFMndcefmnd 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729
This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18671  smndex1mndlem  18673
  Copyright terms: Public domain W3C validator