Theorem smndex1igid 18931

Description: The composition of the modulo function 𝐼 and a constant function (𝐺‘𝐾) results in (𝐺‘𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.) Avoid ax-rep 5224. (Revised by GG, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1igid	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1igid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5705	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
2	1	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (ℕ0 × {𝐾})
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
4	3	coeq2d 5830	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
6	5	mpteq2dv 5191	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
7		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
8		nn0ex 12481	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
9		snex 5393	. . . . . 6 ⊢ {𝐾} ∈ V
10	8, 9	xpex 7731	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) ∈ V
11	1, 10	eqeltrri 2858	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
12	6, 7, 11	fvmpt 6970	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
13	12	coeq2d 5830	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)))
14		smndex1ibas.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
15		oveq1 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
16		zmodidfzoimp 13905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
17	15, 16	sylan9eqr 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝐾)
18		elfzonn0 13707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
19	14, 17, 18, 18	fvmptd2 6979	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼‘𝐾) = 𝐾)
20	19	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 = (𝐼‘𝐾))
21	20	sneqd 4591	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → {𝐾} = {(𝐼‘𝐾)})
22	21	xpeq2d 5673	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (ℕ0 × {𝐾}) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
23	12, 1	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
24		ovex 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
25	24, 14	fnmpti 6659	. . . 4 ⊢ 𝐼 Fn ℕ0
26		fcoconst 7111	. . . 4 ⊢ ((𝐼 Fn ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
27	25, 18, 26	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
28	22, 23, 27	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
29	4, 13, 28	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4579   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641   ∘ ccom 5647   Fn wfn 6511  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ..^cfzo 13653   mod cmo 13873  EndoFMndcefmnd 18893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18935  smndex1mndlem  18937