MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem2 27426
Description: Lemma 2 for gausslemma2d 27433. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀   𝑥,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem2
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
32breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
42oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
53, 2, 4ifbieq12d 4559 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
65adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7 elfz1b 13630 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝑀))
8 nnre 12271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10 nnre 12271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12 2re 12338 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
13 2pos 12367 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1412, 13pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
16 lemul1 12117 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑘𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
179, 11, 15, 16syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
18 gausslemma2d.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
19 gausslemma2d.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2018, 19gausslemma2dlem0e 27419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
2212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
238, 22remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
2512a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
2610, 25remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
2818gausslemma2dlem0a 27415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2928nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
3029rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
31 lelttr 11349 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
3224, 27, 30, 31syl2an3an 1421 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
3321, 32mpan2d 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
3433ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝜑 → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
3534com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
3617, 35sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘𝑀 → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
37363impia 1116 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
387, 37sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
3938impcom 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
4039adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
4140iftrued 4539 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑘 · 2))
426, 41eqtrd 2775 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑘 · 2))
4318, 19gausslemma2dlem0d 27418 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4443nn0zd 12637 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
45 gausslemma2d.h . . . . . . . 8 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
4618, 45gausslemma2dlem0b 27416 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
4746nnzd 12638 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
4818, 19, 45gausslemma2dlem0g 27421 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐻)
49 eluz2 12882 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐻))
5044, 47, 48, 49syl3anbrc 1342 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (ℤ𝑀))
51 fzss2 13601 . . . . 5 (𝐻 ∈ (ℤ𝑀) → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
5250, 51syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
5352sselda 3995 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
54 ovexd 7466 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ V)
551, 42, 53, 54fvmptd2 7024 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
5655ralrimiva 3144 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  4c4 12321  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cfl 13827  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  27431
  Copyright terms: Public domain W3C validator