Theorem gausslemma2dlem2 27411

Description: Lemma 2 for gausslemma2d 27418. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀   𝑥,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
3	2	breq1d 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4	2	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
5	3, 2, 4	ifbieq12d 4554	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7		elfz1b 13633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝑀))
8		nnre 12273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10		nnre 12273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12		2re 12340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2pos 12369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
14	12, 13	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
16		lemul1 12119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
17	9, 11, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
18		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
19		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
20	18, 19	gausslemma2dlem0e 27404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
22	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23	8, 22	remulcld 11291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
25	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26	10, 25	remulcld 11291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
28	18	gausslemma2dlem0a 27400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
29	28	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
30	29	rehalfcld 12513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
31		lelttr 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
32	24, 27, 30, 31	syl2an3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
33	21, 32	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
34	33	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝜑 → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
35	34	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
36	17, 35	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ 𝑀 → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
37	36	3impia 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
38	7, 37	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
39	38	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
41	40	iftrued 4533	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑘 · 2))
42	6, 41	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑘 · 2))
43	18, 19	gausslemma2dlem0d 27403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
44	43	nn0zd 12639	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		gausslemma2d.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
46	18, 45	gausslemma2dlem0b 27401	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
47	46	nnzd 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
48	18, 19, 45	gausslemma2dlem0g 27406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
49		eluz2 12884	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐻))
50	44, 47, 48, 49	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51		fzss2 13604	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
52	50, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
53	52	sselda 3983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
54		ovexd 7466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ V)
55	1, 42, 53, 54	fvmptd2 7024	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
56	55	ralrimiva 3146	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  4c4 12323  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ⌊cfl 13830  ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  27416