MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem2 26718
Description: Lemma 2 for gausslemma2d 26725. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘…,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘€(๐‘˜)

Proof of Theorem gausslemma2dlem2
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . 3 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
2 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ ยท 2) = (๐‘˜ ยท 2))
32breq1d 5116 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2) โ†” (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
42oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2)) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
53, 2, 4ifbieq12d 4515 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))) = if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))))
65adantl 483 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))) = if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))))
7 elfz1b 13511 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘€))
8 nnre 12161 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
98adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
10 nnre 12161 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
12 2re 12228 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
13 2pos 12257 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1412, 13pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
16 lemul1 12008 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘˜ ยท 2) โ‰ค (๐‘€ ยท 2)))
179, 11, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘˜ ยท 2) โ‰ค (๐‘€ ยท 2)))
18 gausslemma2d.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
19 gausslemma2d.m . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
2018, 19gausslemma2dlem0e 26711 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))
2120adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘€ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))
2212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
238, 22remulcld 11186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
2512a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
2610, 25remulcld 11186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ ยท 2) โˆˆ โ„)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท 2) โˆˆ โ„)
2818gausslemma2dlem0a 26707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2928nnred 12169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
3029rehalfcld 12401 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„)
31 lelttr 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘˜ ยท 2) โ‰ค (๐‘€ ยท 2) โˆง (๐‘€ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
3224, 27, 30, 31syl2an3an 1423 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐œ‘) โ†’ (((๐‘˜ ยท 2) โ‰ค (๐‘€ ยท 2) โˆง (๐‘€ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
3321, 32mpan2d 693 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) โ‰ค (๐‘€ ยท 2) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
3433ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) โ‰ค (๐‘€ ยท 2) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))))
3534com23 86 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) โ‰ค (๐‘€ ยท 2) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))))
3617, 35sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ๐‘€ โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))))
37363impia 1118 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘€) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
387, 37sylbi 216 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
3938impcom 409 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))
4039adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2))
4140iftrued 4495 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))) = (๐‘˜ ยท 2))
426, 41eqtrd 2777 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘˜) โ†’ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))) = (๐‘˜ ยท 2))
4318, 19gausslemma2dlem0d 26710 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4443nn0zd 12526 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
45 gausslemma2d.h . . . . . . . 8 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
4618, 45gausslemma2dlem0b 26708 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•)
4746nnzd 12527 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„ค)
4818, 19, 45gausslemma2dlem0g 26713 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐ป)
49 eluz2 12770 . . . . . 6 (๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐ป))
5044, 47, 48, 49syl3anbrc 1344 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
51 fzss2 13482 . . . . 5 (๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (1...๐‘€) โŠ† (1...๐ป))
5250, 51syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) โŠ† (1...๐ป))
5352sselda 3945 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป))
54 ovexd 7393 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ V)
551, 42, 53, 54fvmptd2 6957 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2))
5655ralrimiva 3144 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  Vcvv 3446   โˆ– cdif 3908   โŠ† wss 3911  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  4c4 12211  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  ...cfz 13425  โŒŠcfl 13696  โ„™cprime 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-prm 16549
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  26723
  Copyright terms: Public domain W3C validator