Theorem gausslemma2dlem2 27429

Description: Lemma 2 for gausslemma2d 27436. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀   𝑥,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
3	2	breq1d 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4	2	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
5	3, 2, 4	ifbieq12d 4576	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7		elfz1b 13653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝑀))
8		nnre 12300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10		nnre 12300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12		2re 12367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2pos 12396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
14	12, 13	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
16		lemul1 12146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
17	9, 11, 15, 16	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
18		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
19		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
20	18, 19	gausslemma2dlem0e 27422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
22	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23	8, 22	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
25	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26	10, 25	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
28	18	gausslemma2dlem0a 27418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
29	28	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
30	29	rehalfcld 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
31		lelttr 11380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
32	24, 27, 30, 31	syl2an3an 1422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
33	21, 32	mpan2d 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
34	33	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝜑 → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
35	34	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
36	17, 35	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ 𝑀 → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
37	36	3impia 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
38	7, 37	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
39	38	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
41	40	iftrued 4556	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑘 · 2))
42	6, 41	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑘 · 2))
43	18, 19	gausslemma2dlem0d 27421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
44	43	nn0zd 12665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		gausslemma2d.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
46	18, 45	gausslemma2dlem0b 27419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
47	46	nnzd 12666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
48	18, 19, 45	gausslemma2dlem0g 27424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
49		eluz2 12909	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐻))
50	44, 47, 48, 49	syl3anbrc 1343	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51		fzss2 13624	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
52	50, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
53	52	sselda 4008	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
54		ovexd 7483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ V)
55	1, 42, 53, 54	fvmptd2 7037	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
56	55	ralrimiva 3152	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  4c4 12350  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ⌊cfl 13841  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  27434