Theorem frmdval 18813

Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdval.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdval.b	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)
frmdval.p	⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
frmdval	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

Proof of Theorem frmdval

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdval.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2		df-frmd 18811	. . 3 ⊢ freeMnd = (𝑖 ∈ V ↦ {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩})
3		wrdeq 14492	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → Word 𝑖 = Word 𝐼)
4		frmdval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)
5	4	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 = 𝐵)
6	3, 5	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → Word 𝑖 = 𝐵)
7	6	opeq2d 4824	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩)
8	6	sqxpeqd 5657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Word 𝑖 × Word 𝑖) = (𝐵 × 𝐵))
9	8	reseq2d 5939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
10		frmdval.p	. . . . . 6 ⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
11	9, 10	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = + )
12	11	opeq2d 4824	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩)
13	7, 12	preq12d 4686	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
14		elex 3451	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
15		prex 5376	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V)
17	2, 13, 14, 16	fvmptd2 6951	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (freeMnd‘𝐼) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
18	1, 17	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {cpr 4570  ⟨cop 4574   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  Word cword 14469   ++ cconcat 14526  ndxcnx 17157  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  freeMndcfrmd 18809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-frmd 18811

This theorem is referenced by:  frmdbas  18814  frmdplusg  18816