MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdval 18810
Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdval.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdval.b (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = Word 𝐼)
frmdval.p + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Assertion
Ref Expression
frmdval (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩})

Proof of Theorem frmdval
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdval.m . 2 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
2 df-frmd 18808 . . 3 freeMnd = (𝑖 ∈ V ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), Word π‘–βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (Word 𝑖 Γ— Word 𝑖))⟩})
3 wrdeq 14526 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ Word 𝑖 = Word 𝐼)
4 frmdval.b . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = Word 𝐼)
54eqcomd 2734 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ Word 𝐼 = 𝐡)
63, 5sylan9eqr 2790 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ Word 𝑖 = 𝐡)
76opeq2d 4885 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ⟨(Baseβ€˜ndx), Word π‘–βŸ© = ⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩)
86sqxpeqd 5714 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (Word 𝑖 Γ— Word 𝑖) = (𝐡 Γ— 𝐡))
98reseq2d 5989 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ( ++ β†Ύ (Word 𝑖 Γ— Word 𝑖)) = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
10 frmdval.p . . . . . 6 + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
119, 10eqtr4di 2786 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ( ++ β†Ύ (Word 𝑖 Γ— Word 𝑖)) = + )
1211opeq2d 4885 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (Word 𝑖 Γ— Word 𝑖))⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩)
137, 12preq12d 4750 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), Word π‘–βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (Word 𝑖 Γ— Word 𝑖))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩})
14 elex 3492 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ V)
15 prex 5438 . . . 4 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩} ∈ V
1615a1i 11 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩} ∈ V)
172, 13, 14, 16fvmptd2 7018 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (freeMndβ€˜πΌ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩})
181, 17eqtrid 2780 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  {cpr 4634  βŸ¨cop 4638   Γ— cxp 5680   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  Word cword 14504   ++ cconcat 14560  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  freeMndcfrmd 18806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-frmd 18808
This theorem is referenced by:  frmdbas  18811  frmdplusg  18813
  Copyright terms: Public domain W3C validator