Theorem frmdval 19097

Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdval.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdval.b	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)
frmdval.p	⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
frmdval	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

Proof of Theorem frmdval

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdval.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2		df-frmd 19095	. . 3 ⊢ freeMnd = (𝑖 ∈ V ↦ {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩})
3		wrdeq 14722	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → Word 𝑖 = Word 𝐼)
4		frmdval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)
5	4	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 = 𝐵)
6	3, 5	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → Word 𝑖 = 𝐵)
7	6	opeq2d 4852	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩)
8	6	sqxpeqd 5690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Word 𝑖 × Word 𝑖) = (𝐵 × 𝐵))
9	8	reseq2d 5986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
10		frmdval.p	. . . . . 6 ⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
11	9, 10	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = + )
12	11	opeq2d 4852	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩)
13	7, 12	preq12d 4704	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
14		elex 3475	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
15		prex 5403	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V)
17	2, 13, 14, 16	fvmptd2 7033	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (freeMnd‘𝐼) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
18	1, 17	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {cpr 4590  ⟨cop 4840   × cxp 5656   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  Word cword 14699   ++ cconcat 14756  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  freeMndcfrmd 19093

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-frmd 19095

This theorem is used by:  frmdbas  19098  frmdplusg  19100