Theorem frmdval 18728

Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdval.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdval.b	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)
frmdval.p	⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
frmdval	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

Proof of Theorem frmdval

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdval.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2		df-frmd 18726	. . 3 ⊢ freeMnd = (𝑖 ∈ V ↦ {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩})
3		wrdeq 14482	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → Word 𝑖 = Word 𝐼)
4		frmdval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)
5	4	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 = 𝐵)
6	3, 5	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → Word 𝑖 = 𝐵)
7	6	opeq2d 4879	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩)
8	6	sqxpeqd 5707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Word 𝑖 × Word 𝑖) = (𝐵 × 𝐵))
9	8	reseq2d 5979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
10		frmdval.p	. . . . . 6 ⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
11	9, 10	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = + )
12	11	opeq2d 4879	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩)
13	7, 12	preq12d 4744	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
14		elex 3492	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
15		prex 5431	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V)
17	2, 13, 14, 16	fvmptd2 7003	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (freeMnd‘𝐼) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
18	1, 17	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {cpr 4629  ⟨cop 4633   × cxp 5673   ↾ cres 5677  ‘cfv 6540  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  freeMndcfrmd 18724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-frmd 18726

This theorem is referenced by:  frmdbas  18729  frmdplusg  18731