Theorem frmdval 18905

Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdval.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdval.b	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)
frmdval.p	⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
frmdval	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

Proof of Theorem frmdval

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdval.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2		df-frmd 18903	. . 3 ⊢ freeMnd = (𝑖 ∈ V ↦ {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩})
3		wrdeq 14569	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → Word 𝑖 = Word 𝐼)
4		frmdval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)
5	4	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 = 𝐵)
6	3, 5	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → Word 𝑖 = 𝐵)
7	6	opeq2d 4845	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩ = ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩)
8	6	sqxpeqd 5693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Word 𝑖 × Word 𝑖) = (𝐵 × 𝐵))
9	8	reseq2d 5978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
10		frmdval.p	. . . . . 6 ⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
11	9, 10	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖)) = + )
12	11	opeq2d 4845	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩)
13	7, 12	preq12d 4707	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 𝐼) → {⟨(Base‘ndx), Word 𝑖⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝑖 × Word 𝑖))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
14		elex 3476	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
15		prex 5409	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ V)
17	2, 13, 14, 16	fvmptd2 6998	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (freeMnd‘𝐼) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
18	1, 17	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {cpr 4591  ⟨cop 4595   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  Word cword 14546   ++ cconcat 14603  ndxcnx 17248  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  freeMndcfrmd 18901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-frmd 18903

This theorem is referenced by:  frmdbas  18906  frmdplusg  18908