Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcsh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcsh 27616
 Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcsh (𝜑𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . . 4 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . . 4 𝑁 = (♯‘𝐹)
5 crctcsh.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem4 27612 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
9 breq12 5058 . . . . 5 ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
103, 9syl5ibrcom 250 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
1110adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
128, 11mpd 15 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 27615 . . . 4 (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
1413adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
15 breq1 5056 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁𝑆)))
16 oveq1 7157 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
1716fveq2d 6666 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
1816fvoveq1d 7172 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
1915, 17, 18ifbieq12d 4478 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
20 elfzo0le 13088 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆𝑁)
215, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑁)
221, 2, 3, 4crctcshlem1 27609 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2322nn0red 11956 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
24 elfzoelz 13045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
255, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
2625zred 12087 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
2723, 26subge0d 11229 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑆𝑁))
2821, 27mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑆))
2928adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁𝑆))
3029iftrued 4459 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
3119, 30sylan9eqr 2881 . . . . 5 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
323adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
331, 2, 32, 4crctcshlem1 27609 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34 0elfz 13011 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3533, 34syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
36 fvexd 6677 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
377, 31, 35, 36fvmptd2 6768 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
38 breq1 5056 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆)))
39 oveq1 7157 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((♯‘𝐻) + 𝑆))
4039fveq2d 6666 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)))
4139fvoveq1d 7172 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
4238, 40, 41ifbieq12d 4478 . . . . . . 7 (𝑥 = (♯‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
43 elfzoel2 13044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 elfzonn0 13089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
45 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
4645anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
47 elnnne0 11911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
4846, 47sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
4948nngt0d 11686 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
50 zre 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
51 nn0re 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
5250, 51anim12ci 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5352adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
54 ltsubpos 11131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
5554bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
5749, 56mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
5857ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
5943, 44, 58syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
605, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
6160imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
625adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
631, 2, 32, 4, 62, 6crctcshlem2 27610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
6463breq1d 5063 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
6564notbid 321 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
6623, 26resubcld 11067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
6766, 23jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
6867adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
69 ltnle 10719 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7165, 70bitr4d 285 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
7261, 71mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆))
7372iffalsed 4462 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
7442, 73sylan9eqr 2881 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
751, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 27610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
7675, 22eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 11957 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
7825zcnd 12088 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
7922nn0cnd 11957 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8077, 78, 79addsubd 11017 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
8175oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁𝑁))
8279subidd 10984 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
8381, 82eqtrd 2859 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = 0)
8483oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
8580, 84eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
8685fveq2d 6666 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
8786adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
8887adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
8974, 88eqtrd 2859 . . . . 5 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9075adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
91 nn0fz0 13012 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
9222, 91sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
9392adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9490, 93eqeltrd 2916 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
957, 89, 94, 36fvmptd2 6768 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9637, 95eqtr4d 2862 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
97 iscrct 27585 . . 3 (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
9814, 96, 97sylanbrc 586 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
9912, 98pm2.61dane 3101 1 (𝜑𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  Vcvv 3481  ifcif 4451   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5133  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  ℝcr 10535  0cc0 10536   + caddc 10539   < clt 10674   ≤ cle 10675   − cmin 10869  ℕcn 11637  ℕ0cn0 11897  ℤcz 11981  ...cfz 12897  ..^cfzo 13040  ♯chash 13698   cyclShift ccsh 14153  Vtxcvtx 26795  iEdgciedg 26796  Trailsctrls 27486  Circuitsccrcts 27579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-inf 8905  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-mod 13245  df-hash 13699  df-word 13870  df-concat 13926  df-substr 14006  df-pfx 14036  df-csh 14154  df-wlks 27395  df-trls 27488  df-crcts 27581 This theorem is referenced by:  eucrctshift  28034
 Copyright terms: Public domain W3C validator