Theorem crctcsh 29959

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcsh	⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		crctcsh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		crctcsh.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctcsh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcsh.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		crctcsh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		crctcsh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshlem4 29955	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))
9		breq12 5095	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
10	3, 9	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
11	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
12	8, 11	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshtrl 29958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
14	13	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
15		breq1 5093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
16		oveq1 7388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
17	16	fveq2d 6856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
18	16	fvoveq1d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
19	15, 17, 18	ifbieq12d 4499	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
20		elfzo0le 13695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑁)
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑁)
22	1, 2, 3, 4	crctcshlem1 29952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
24		elfzoelz 13650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
25	5, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
26	25	zred 12663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
27	23, 26	subge0d 11763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑆 ≤ 𝑁))
28	21, 27	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
29	28	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
30	29	iftrued 4478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
31	19, 30	sylan9eqr 2809	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
32	3	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
33	1, 2, 32, 4	crctcshlem1 29952	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34		0elfz 13615	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
36		fvexd 6867	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
37	7, 31, 35, 36	fvmptd2 6969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
38		breq1 5093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆)))
39		oveq1 7388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((♯‘𝐻) + 𝑆))
40	39	fveq2d 6856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)))
41	39	fvoveq1d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
42	38, 40, 41	ifbieq12d 4499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
43		elfzoel2 13649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		elfzonn0 13699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
45		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
46	45	anim1i 623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
47		elnnne0 12481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
48	46, 47	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
49	48	nngt0d 12248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
50		zre 12558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
51		nn0re 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
52	50, 51	anim12ci 622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
53	52	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
54		ltsubpos 11665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
55	54	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
57	49, 56	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)
58	57	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
59	43, 44, 58	syl2anc 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
60	5, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
61	60	imp 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)
62	5	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
63	1, 2, 32, 4, 62, 6	crctcshlem2 29953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
64	63	breq1d 5100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
65	64	notbid 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
66	23, 26	resubcld 11601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
67	66, 23	jca 518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
68	67	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
69		ltnle 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
71	65, 70	bitr4d 284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
72	61, 71	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆))
73	72	iffalsed 4481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
74	42, 73	sylan9eqr 2809	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
75	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshlem2 29953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
76	75, 22	eqeltrd 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
77	76	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
78	25	zcnd 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
79	22	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
80	77, 78, 79	addsubd 11549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
81	75	oveq1d 7396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁 − 𝑁))
82	79	subidd 11516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
83	81, 82	eqtrd 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = 0)
84	83	oveq1d 7396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
85	80, 84	eqtrd 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
86	85	fveq2d 6856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
87	86	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
88	87	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
89	74, 88	eqtrd 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
90	75	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
91		nn0fz0 13616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92	22, 91	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
93	92	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
94	90, 93	eqeltrd 2852	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
95	7, 89, 94, 36	fvmptd2 6969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
96	37, 95	eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
97		iscrct 29925	. . 3 ⊢ (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
98	14, 96, 97	sylanbrc 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
99	12, 98	pm2.61dane 3034	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  Vcvv 3444  ifcif 4470   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℝcr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   < clt 11202   ≤ cle 11203   − cmin 11400  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554  ...cfz 13498  ..^cfzo 13645  ♯chash 14329   cyclShift ccsh 14787  Vtxcvtx 29132  iEdgciedg 29133  Trailsctrls 29824  Circuitsccrcts 29919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-ifp 1072  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-inf 9375  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-fl 13788  df-mod 13866  df-hash 14330  df-word 14513  df-concat 14570  df-substr 14641  df-pfx 14671  df-csh 14788  df-wlks 29735  df-trls 29826  df-crcts 29921

This theorem is referenced by:  eucrctshift  30380