Proof of Theorem crctcsh
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | crctcsh.v | . . . 4
⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺) | 
| 2 |  | crctcsh.i | . . . 4
⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺) | 
| 3 |  | crctcsh.d | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) | 
| 4 |  | crctcsh.n | . . . 4
⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹) | 
| 5 |  | crctcsh.s | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁)) | 
| 6 |  | crctcsh.h | . . . 4
⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆) | 
| 7 |  | crctcsh.q | . . . 4
⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) | 
| 8 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | crctcshlem4 29840 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃)) | 
| 9 |  | breq12 5148 | . . . . 5
⊢ ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)) | 
| 10 | 3, 9 | syl5ibrcom 247 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)) | 
| 11 | 10 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)) | 
| 12 | 8, 11 | mpd 15 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄) | 
| 13 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | crctcshtrl 29843 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) | 
| 14 | 13 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) | 
| 15 |  | breq1 5146 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))) | 
| 16 |  | oveq1 7438 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆)) | 
| 17 | 16 | fveq2d 6910 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆))) | 
| 18 | 16 | fvoveq1d 7453 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) | 
| 19 | 15, 17, 18 | ifbieq12d 4554 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))) | 
| 20 |  | elfzo0le 13743 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑁) | 
| 21 | 5, 20 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑁) | 
| 22 | 1, 2, 3, 4 | crctcshlem1 29837 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) | 
| 23 | 22 | nn0red 12588 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) | 
| 24 |  | elfzoelz 13699 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ) | 
| 25 | 5, 24 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ) | 
| 26 | 25 | zred 12722 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ) | 
| 27 | 23, 26 | subge0d 11853 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑆 ≤ 𝑁)) | 
| 28 | 21, 27 | mpbird 257 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)) | 
| 29 | 28 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)) | 
| 30 | 29 | iftrued 4533 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆))) | 
| 31 | 19, 30 | sylan9eqr 2799 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆))) | 
| 32 | 3 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) | 
| 33 | 1, 2, 32, 4 | crctcshlem1 29837 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈
ℕ0) | 
| 34 |  | 0elfz 13664 | . . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 0 ∈ (0...𝑁)) | 
| 35 | 33, 34 | syl 17 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁)) | 
| 36 |  | fvexd 6921 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V) | 
| 37 | 7, 31, 35, 36 | fvmptd2 7024 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆))) | 
| 38 |  | breq1 5146 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆))) | 
| 39 |  | oveq1 7438 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((♯‘𝐻) + 𝑆)) | 
| 40 | 39 | fveq2d 6910 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆))) | 
| 41 | 39 | fvoveq1d 7453 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) | 
| 42 | 38, 40, 41 | ifbieq12d 4554 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))) | 
| 43 |  | elfzoel2 13698 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ) | 
| 44 |  | elfzonn0 13747 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈
ℕ0) | 
| 45 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0)
→ 𝑆 ∈
ℕ0) | 
| 46 | 45 | anim1i 615 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0)
∧ 𝑆 ≠ 0) →
(𝑆 ∈
ℕ0 ∧ 𝑆
≠ 0)) | 
| 47 |  | elnnne0 12540 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0
∧ 𝑆 ≠
0)) | 
| 48 | 46, 47 | sylibr 234 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0)
∧ 𝑆 ≠ 0) →
𝑆 ∈
ℕ) | 
| 49 | 48 | nngt0d 12315 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0)
∧ 𝑆 ≠ 0) → 0
< 𝑆) | 
| 50 |  | zre 12617 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) | 
| 51 |  | nn0re 12535 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑆 ∈ ℕ0
→ 𝑆 ∈
ℝ) | 
| 52 | 50, 51 | anim12ci 614 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0)
→ (𝑆 ∈ ℝ
∧ 𝑁 ∈
ℝ)) | 
| 53 | 52 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0)
∧ 𝑆 ≠ 0) →
(𝑆 ∈ ℝ ∧
𝑁 ∈
ℝ)) | 
| 54 |  | ltsubpos 11755 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 <
𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)) | 
| 55 | 54 | bicomd 223 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆)) | 
| 56 | 53, 55 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0)
∧ 𝑆 ≠ 0) →
((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆)) | 
| 57 | 49, 56 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0)
∧ 𝑆 ≠ 0) →
(𝑁 − 𝑆) < 𝑁) | 
| 58 | 57 | ex 412 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0)
→ (𝑆 ≠ 0 →
(𝑁 − 𝑆) < 𝑁)) | 
| 59 | 43, 44, 58 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)) | 
| 60 | 5, 59 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)) | 
| 61 | 60 | imp 406 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁) | 
| 62 | 5 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁)) | 
| 63 | 1, 2, 32, 4, 62, 6 | crctcshlem2 29838 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁) | 
| 64 | 63 | breq1d 5153 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆))) | 
| 65 | 64 | notbid 318 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆))) | 
| 66 | 23, 26 | resubcld 11691 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) | 
| 67 | 66, 23 | jca 511 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) | 
| 68 | 67 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) | 
| 69 |  | ltnle 11340 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆))) | 
| 70 | 68, 69 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆))) | 
| 71 | 65, 70 | bitr4d 282 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)) | 
| 72 | 61, 71 | mpbird 257 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆)) | 
| 73 | 72 | iffalsed 4536 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) | 
| 74 | 42, 73 | sylan9eqr 2799 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) | 
| 75 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | crctcshlem2 29838 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁) | 
| 76 | 75, 22 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈
ℕ0) | 
| 77 | 76 | nn0cnd 12589 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈
ℂ) | 
| 78 | 25 | zcnd 12723 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ) | 
| 79 | 22 | nn0cnd 12589 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) | 
| 80 | 77, 78, 79 | addsubd 11641 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆)) | 
| 81 | 75 | oveq1d 7446 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁 − 𝑁)) | 
| 82 | 79 | subidd 11608 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0) | 
| 83 | 81, 82 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = 0) | 
| 84 | 83 | oveq1d 7446 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆)) | 
| 85 | 80, 84 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆)) | 
| 86 | 85 | fveq2d 6910 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆))) | 
| 87 | 86 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆))) | 
| 88 | 87 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆))) | 
| 89 | 74, 88 | eqtrd 2777 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆))) | 
| 90 | 75 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁) | 
| 91 |  | nn0fz0 13665 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) | 
| 92 | 22, 91 | sylib 218 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁)) | 
| 93 | 92 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁)) | 
| 94 | 90, 93 | eqeltrd 2841 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) ∈ (0...𝑁)) | 
| 95 | 7, 89, 94, 36 | fvmptd2 7024 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆))) | 
| 96 | 37, 95 | eqtr4d 2780 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))) | 
| 97 |  | iscrct 29810 | . . 3
⊢ (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))) | 
| 98 | 14, 96, 97 | sylanbrc 583 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄) | 
| 99 | 12, 98 | pm2.61dane 3029 | 1
⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄) |