Theorem crctcsh 30300

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcsh	⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		crctcsh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		crctcsh.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctcsh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcsh.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		crctcsh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		crctcsh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshlem4 30296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))
9		breq12 5112	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
10	3, 9	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
12	8, 11	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshtrl 30299	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
15		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
16		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
17	16	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
18	16	fvoveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
19	15, 17, 18	ifbieq12d 4514	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
20		elfzo0le 13763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑁)
21	5, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑁)
22	1, 2, 3, 4	crctcshlem1 30293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
24		elfzoelz 13718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
25	5, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
26	25	zred 12729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
27	23, 26	subge0d 11832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑆 ≤ 𝑁))
28	21, 27	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
30	29	iftrued 4493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
31	19, 30	sylan9eqr 2819	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
32	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
33	1, 2, 32, 4	crctcshlem1 30293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34		0elfz 13683	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
35	33, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
36		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
37	7, 31, 35, 36	fvmptd2 6999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
38		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆)))
39		oveq1 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((♯‘𝐻) + 𝑆))
40	39	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)))
41	39	fvoveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
42	38, 40, 41	ifbieq12d 4514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
43		elfzoel2 13717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		elfzonn0 13767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
45		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
46	45	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
47		elnnne0 12546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
48	46, 47	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
49	48	nngt0d 12313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
50		zre 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
51		nn0re 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
52	50, 51	anim12ci 626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
54		ltsubpos 11734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
55	54	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
56	53, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
57	49, 56	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)
58	57	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
59	43, 44, 58	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
60	5, 59	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
61	60	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)
62	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
63	1, 2, 32, 4, 62, 6	crctcshlem2 30294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
64	63	breq1d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
65	64	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
66	23, 26	resubcld 11670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
67	66, 23	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
68	67	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
69		ltnle 11317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
71	65, 70	bitr4d 285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
72	61, 71	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆))
73	72	iffalsed 4496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
74	42, 73	sylan9eqr 2819	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
75	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshlem2 30294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
76	75, 22	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
77	76	nn0cnd 12595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
78	25	zcnd 12730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
79	22	nn0cnd 12595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
80	77, 78, 79	addsubd 11618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
81	75	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁 − 𝑁))
82	79	subidd 11585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
83	81, 82	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = 0)
84	83	oveq1d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
85	80, 84	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
86	85	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
87	86	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
88	87	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
89	74, 88	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
90	75	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
91		nn0fz0 13684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92	22, 91	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
93	92	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
94	90, 93	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
95	7, 89, 94, 36	fvmptd2 6999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
96	37, 95	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
97		iscrct 30264	. . 3 ⊢ (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
98	14, 96, 97	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
99	12, 98	pm2.61dane 3044	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ifcif 4485   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128   + caddc 11131   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ...cfz 13565  ..^cfzo 13713  ♯chash 14398   cyclShift ccsh 14863  Vtxcvtx 29461  iEdgciedg 29462  Trailsctrls 30160  Circuitsccrcts 30258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-substr 14713  df-pfx 14745  df-csh 14864  df-wlks 30067  df-trls 30162  df-crcts 30260

This theorem is used by:  eucrctshift  30731