MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcsh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcsh 29853
Description: Cyclically shifting the indices of a circuit 𝐹, 𝑃 results in a circuit 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcsh (𝜑𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . . 4 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . . 4 𝑁 = (♯‘𝐹)
5 crctcsh.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem4 29849 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
9 breq12 5152 . . . . 5 ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
103, 9syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
128, 11mpd 15 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 29852 . . . 4 (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
15 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁𝑆)))
16 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
1716fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
1816fvoveq1d 7452 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
1915, 17, 18ifbieq12d 4558 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
20 elfzo0le 13739 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆𝑁)
215, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑁)
221, 2, 3, 4crctcshlem1 29846 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2322nn0red 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
24 elfzoelz 13695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
255, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
2625zred 12719 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
2723, 26subge0d 11850 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑆𝑁))
2821, 27mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑆))
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁𝑆))
3029iftrued 4538 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
3119, 30sylan9eqr 2796 . . . . 5 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
323adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
331, 2, 32, 4crctcshlem1 29846 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34 0elfz 13660 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3533, 34syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
36 fvexd 6921 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
377, 31, 35, 36fvmptd2 7023 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
38 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆)))
39 oveq1 7437 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((♯‘𝐻) + 𝑆))
4039fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)))
4139fvoveq1d 7452 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
4238, 40, 41ifbieq12d 4558 . . . . . . 7 (𝑥 = (♯‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
43 elfzoel2 13694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 elfzonn0 13743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
4645anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
47 elnnne0 12537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
4846, 47sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
4948nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
50 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
51 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
5250, 51anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
54 ltsubpos 11752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
5554bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
5749, 56mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
5857ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
5943, 44, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
605, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
6160imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
625adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
631, 2, 32, 4, 62, 6crctcshlem2 29847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
6463breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
6564notbid 318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
6623, 26resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
6766, 23jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
69 ltnle 11337 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7165, 70bitr4d 282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
7261, 71mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆))
7372iffalsed 4541 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
7442, 73sylan9eqr 2796 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
751, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 29847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
7675, 22eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
7825zcnd 12720 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
7922nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8077, 78, 79addsubd 11638 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
8175oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁𝑁))
8279subidd 11605 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
8381, 82eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = 0)
8483oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
8580, 84eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
8685fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
8786adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
8887adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
8974, 88eqtrd 2774 . . . . 5 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9075adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
91 nn0fz0 13661 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
9222, 91sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
9392adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9490, 93eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
957, 89, 94, 36fvmptd2 7023 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9637, 95eqtr4d 2777 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
97 iscrct 29822 . . 3 (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
9814, 96, 97sylanbrc 583 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
9912, 98pm2.61dane 3026 1 (𝜑𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  ifcif 4530   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  chash 14365   cyclShift ccsh 14822  Vtxcvtx 29027  iEdgciedg 29028  Trailsctrls 29722  Circuitsccrcts 29816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-csh 14823  df-wlks 29631  df-trls 29724  df-crcts 29818
This theorem is referenced by:  eucrctshift  30271
  Copyright terms: Public domain W3C validator