MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcsh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcsh 29752
Description: Cyclically shifting the indices of a circuit 𝐹, 𝑃 results in a circuit 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcsh (𝜑𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . . 4 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . . 4 𝑁 = (♯‘𝐹)
5 crctcsh.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem4 29748 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
9 breq12 5148 . . . . 5 ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
103, 9syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
1110adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
128, 11mpd 15 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 29751 . . . 4 (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
1413adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
15 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁𝑆)))
16 oveq1 7420 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
1716fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
1816fvoveq1d 7435 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
1915, 17, 18ifbieq12d 4551 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
20 elfzo0le 13721 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆𝑁)
215, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑁)
221, 2, 3, 4crctcshlem1 29745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2322nn0red 12576 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
24 elfzoelz 13677 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
255, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
2625zred 12709 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
2723, 26subge0d 11842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑆𝑁))
2821, 27mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑆))
2928adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁𝑆))
3029iftrued 4531 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
3119, 30sylan9eqr 2788 . . . . 5 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
323adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
331, 2, 32, 4crctcshlem1 29745 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34 0elfz 13643 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3533, 34syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
36 fvexd 6905 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
377, 31, 35, 36fvmptd2 7006 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
38 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆)))
39 oveq1 7420 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((♯‘𝐻) + 𝑆))
4039fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)))
4139fvoveq1d 7435 . . . . . . . 8 (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
4238, 40, 41ifbieq12d 4551 . . . . . . 7 (𝑥 = (♯‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
43 elfzoel2 13676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 elfzonn0 13722 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
45 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
4645anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
47 elnnne0 12529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
4846, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
4948nngt0d 12304 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
50 zre 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
51 nn0re 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
5250, 51anim12ci 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
54 ltsubpos 11744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
5554bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
5749, 56mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
5857ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
5943, 44, 58syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
605, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
6160imp 405 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
625adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
631, 2, 32, 4, 62, 6crctcshlem2 29746 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
6463breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
6564notbid 317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
6623, 26resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
6766, 23jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
6867adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
69 ltnle 11331 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7165, 70bitr4d 281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
7261, 71mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆))
7372iffalsed 4534 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
7442, 73sylan9eqr 2788 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
751, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 29746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
7675, 22eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 12577 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
7825zcnd 12710 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
7922nn0cnd 12577 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8077, 78, 79addsubd 11630 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
8175oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁𝑁))
8279subidd 11597 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
8381, 82eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = 0)
8483oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
8580, 84eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
8685fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
8786adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
8887adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
8974, 88eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9075adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
91 nn0fz0 13644 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
9222, 91sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
9392adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9490, 93eqeltrd 2826 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
957, 89, 94, 36fvmptd2 7006 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9637, 95eqtr4d 2769 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
97 iscrct 29721 . . 3 (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
9814, 96, 97sylanbrc 581 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
9912, 98pm2.61dane 3019 1 (𝜑𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  ifcif 4523   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7413  cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  cn 12255  0cn0 12515  cz 12601  ...cfz 13529  ..^cfzo 13672  chash 14339   cyclShift ccsh 14788  Vtxcvtx 28926  iEdgciedg 28927  Trailsctrls 29621  Circuitsccrcts 29715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9475  df-inf 9476  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fz 13530  df-fzo 13673  df-fl 13803  df-mod 13881  df-hash 14340  df-word 14515  df-concat 14571  df-substr 14641  df-pfx 14671  df-csh 14789  df-wlks 29530  df-trls 29623  df-crcts 29717
This theorem is referenced by:  eucrctshift  30170
  Copyright terms: Public domain W3C validator