Theorem crctcsh 29917

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcsh	⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		crctcsh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		crctcsh.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctcsh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcsh.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		crctcsh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		crctcsh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshlem4 29913	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))
9		breq12 5084	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
10	3, 9	syl5ibrcom 248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
12	8, 11	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshtrl 29916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
14	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
15		breq1 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
16		oveq1 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
17	16	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
18	16	fvoveq1d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
19	15, 17, 18	ifbieq12d 4490	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
20		elfzo0le 13656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑁)
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑁)
22	1, 2, 3, 4	crctcshlem1 29910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
24		elfzoelz 13611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
25	5, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
26	25	zred 12631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
27	23, 26	subge0d 11738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑆 ≤ 𝑁))
28	21, 27	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
30	29	iftrued 4469	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
31	19, 30	sylan9eqr 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
32	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
33	1, 2, 32, 4	crctcshlem1 29910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34		0elfz 13576	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
36		fvexd 6849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
37	7, 31, 35, 36	fvmptd2 6951	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
38		breq1 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆)))
39		oveq1 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((♯‘𝐻) + 𝑆))
40	39	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)))
41	39	fvoveq1d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
42	38, 40, 41	ifbieq12d 4490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
43		elfzoel2 13610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		elfzonn0 13660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
45		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
46	45	anim1i 621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
47		elnnne0 12449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
48	46, 47	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
49	48	nngt0d 12224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
50		zre 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
51		nn0re 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
52	50, 51	anim12ci 620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
54		ltsubpos 11640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
55	54	bicomd 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
57	49, 56	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)
58	57	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
59	43, 44, 58	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
60	5, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
61	60	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)
62	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
63	1, 2, 32, 4, 62, 6	crctcshlem2 29911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
64	63	breq1d 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
65	64	notbid 319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
66	23, 26	resubcld 11576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
67	66, 23	jca 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
69		ltnle 11223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
71	65, 70	bitr4d 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
72	61, 71	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆))
73	72	iffalsed 4472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
74	42, 73	sylan9eqr 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
75	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshlem2 29911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
76	75, 22	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
77	76	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
78	25	zcnd 12632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
79	22	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
80	77, 78, 79	addsubd 11524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
81	75	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁 − 𝑁))
82	79	subidd 11491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
83	81, 82	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = 0)
84	83	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
85	80, 84	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
86	85	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
87	86	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
88	87	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
89	74, 88	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
90	75	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
91		nn0fz0 13577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92	22, 91	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
93	92	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
94	90, 93	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
95	7, 89, 94, 36	fvmptd2 6951	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
96	37, 95	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
97		iscrct 29883	. . 3 ⊢ (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
98	14, 96, 97	sylanbrc 589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
99	12, 98	pm2.61dane 3022	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  Vcvv 3432  ifcif 4461   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606  ♯chash 14290   cyclShift ccsh 14748  Vtxcvtx 29090  iEdgciedg 29091  Trailsctrls 29782  Circuitsccrcts 29877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-csh 14749  df-wlks 29693  df-trls 29784  df-crcts 29879

This theorem is referenced by:  eucrctshift  30338