MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcsh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcsh 29655
Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© results in a circuit ⟨𝐻, π‘„βŸ©. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
crctcsh.d (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
crctcsh.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcsh (πœ‘ β†’ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑆   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐻
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem crctcsh
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 crctcsh.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 crctcsh.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
4 crctcsh.n . . . 4 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
5 crctcsh.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem4 29651 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))
9 breq12 5157 . . . . 5 ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) β†’ (𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄 ↔ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃))
103, 9syl5ibrcom 246 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) β†’ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄))
1110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) β†’ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄))
128, 11mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 29654 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄)
1413adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄)
15 breq1 5155 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆) ↔ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆)))
16 oveq1 7433 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ + 𝑆) = (0 + 𝑆))
1716fveq2d 6906 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)) = (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)))
1816fvoveq1d 7448 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁)) = (π‘ƒβ€˜((0 + 𝑆) βˆ’ 𝑁)))
1915, 17, 18ifbieq12d 4560 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))) = if(0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((0 + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
20 elfzo0le 13716 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑆 ≀ 𝑁)
215, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ 𝑁)
221, 2, 3, 4crctcshlem1 29648 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2322nn0red 12571 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
24 elfzoelz 13672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑆 ∈ β„€)
255, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„€)
2625zred 12704 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2723, 26subge0d 11842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆) ↔ 𝑆 ≀ 𝑁))
2821, 27mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆))
2928adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆))
3029iftrued 4540 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ if(0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((0 + 𝑆) βˆ’ 𝑁))) = (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)))
3119, 30sylan9eqr 2790 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) ∧ π‘₯ = 0) β†’ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))) = (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)))
323adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
331, 2, 32, 4crctcshlem1 29648 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
34 0elfz 13638 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑁))
3533, 34syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 0 ∈ (0...𝑁))
36 fvexd 6917 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)) ∈ V)
377, 31, 35, 36fvmptd2 7018 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (π‘„β€˜0) = (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)))
38 breq1 5155 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (β™―β€˜π») β†’ (π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆) ↔ (β™―β€˜π») ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆)))
39 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (β™―β€˜π») β†’ (π‘₯ + 𝑆) = ((β™―β€˜π») + 𝑆))
4039fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (β™―β€˜π») β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)) = (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π») + 𝑆)))
4139fvoveq1d 7448 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (β™―β€˜π») β†’ (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁)) = (π‘ƒβ€˜(((β™―β€˜π») + 𝑆) βˆ’ 𝑁)))
4238, 40, 41ifbieq12d 4560 . . . . . . 7 (π‘₯ = (β™―β€˜π») β†’ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))) = if((β™―β€˜π») ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π») + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜(((β™―β€˜π») + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
43 elfzoel2 13671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
44 elfzonn0 13717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
45 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑆 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
4645anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑆 ∈ β„•0) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ 𝑆 β‰  0))
47 elnnne0 12524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ β„• ↔ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ 𝑆 β‰  0))
4846, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑆 ∈ β„•0) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝑆 ∈ β„•)
4948nngt0d 12299 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑆 ∈ β„•0) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 0 < 𝑆)
50 zre 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
51 nn0re 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5250, 51anim12ci 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑆 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑆 ∈ β„•0) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
54 ltsubpos 11744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝑆 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁))
5554bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑆 ∈ β„•0) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
5749, 56mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑆 ∈ β„•0) ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁)
5857ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑆 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 β‰  0 β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁))
5943, 44, 58syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑆 β‰  0 β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁))
605, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 β‰  0 β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁))
6160imp 405 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁)
625adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
631, 2, 32, 4, 62, 6crctcshlem2 29649 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (β™―β€˜π») = 𝑁)
6463breq1d 5162 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ ((β™―β€˜π») ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆) ↔ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆)))
6564notbid 317 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (Β¬ (β™―β€˜π») ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆) ↔ Β¬ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆)))
6623, 26resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ)
6766, 23jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
6867adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
69 ltnle 11331 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆)))
7165, 70bitr4d 281 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (Β¬ (β™―β€˜π») ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆) ↔ (𝑁 βˆ’ 𝑆) < 𝑁))
7261, 71mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ Β¬ (β™―β€˜π») ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆))
7372iffalsed 4543 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ if((β™―β€˜π») ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π») + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜(((β™―β€˜π») + 𝑆) βˆ’ 𝑁))) = (π‘ƒβ€˜(((β™―β€˜π») + 𝑆) βˆ’ 𝑁)))
7442, 73sylan9eqr 2790 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) ∧ π‘₯ = (β™―β€˜π»)) β†’ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))) = (π‘ƒβ€˜(((β™―β€˜π») + 𝑆) βˆ’ 𝑁)))
751, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 29649 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») = 𝑁)
7675, 22eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„•0)
7776nn0cnd 12572 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») ∈ β„‚)
7825zcnd 12705 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
7922nn0cnd 12572 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
8077, 78, 79addsubd 11630 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π») + 𝑆) βˆ’ 𝑁) = (((β™―β€˜π») βˆ’ 𝑁) + 𝑆))
8175oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π») βˆ’ 𝑁) = (𝑁 βˆ’ 𝑁))
8279subidd 11597 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑁) = 0)
8381, 82eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π») βˆ’ 𝑁) = 0)
8483oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π») βˆ’ 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
8580, 84eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π») + 𝑆) βˆ’ 𝑁) = (0 + 𝑆))
8685fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(((β™―β€˜π») + 𝑆) βˆ’ 𝑁)) = (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)))
8786adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (π‘ƒβ€˜(((β™―β€˜π») + 𝑆) βˆ’ 𝑁)) = (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)))
8887adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) ∧ π‘₯ = (β™―β€˜π»)) β†’ (π‘ƒβ€˜(((β™―β€˜π») + 𝑆) βˆ’ 𝑁)) = (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)))
8974, 88eqtrd 2768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) ∧ π‘₯ = (β™―β€˜π»)) β†’ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))) = (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)))
9075adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (β™―β€˜π») = 𝑁)
91 nn0fz0 13639 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9222, 91sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9392adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9490, 93eqeltrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (β™―β€˜π») ∈ (0...𝑁))
957, 89, 94, 36fvmptd2 7018 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (π‘„β€˜(β™―β€˜π»)) = (π‘ƒβ€˜(0 + 𝑆)))
9637, 95eqtr4d 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ (π‘„β€˜0) = (π‘„β€˜(β™―β€˜π»)))
97 iscrct 29624 . . 3 (𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄 ↔ (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ (π‘„β€˜0) = (π‘„β€˜(β™―β€˜π»))))
9814, 96, 97sylanbrc 581 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 β‰  0) β†’ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄)
9912, 98pm2.61dane 3026 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  β™―chash 14329   cyclShift ccsh 14778  Vtxcvtx 28829  iEdgciedg 28830  Trailsctrls 29524  Circuitsccrcts 29618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-csh 14779  df-wlks 29433  df-trls 29526  df-crcts 29620
This theorem is referenced by:  eucrctshift  30073
  Copyright terms: Public domain W3C validator