Theorem crctcsh 29897

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcsh	⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		crctcsh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		crctcsh.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctcsh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcsh.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		crctcsh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		crctcsh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshlem4 29893	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))
9		breq12 5103	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃))
10	3, 9	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
12	8, 11	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshtrl 29896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
15		breq1 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
16		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
17	16	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
18	16	fvoveq1d 7380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
19	15, 17, 18	ifbieq12d 4508	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
20		elfzo0le 13619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑁)
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑁)
22	1, 2, 3, 4	crctcshlem1 29890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
24		elfzoelz 13575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
25	5, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
26	25	zred 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
27	23, 26	subge0d 11727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑆 ≤ 𝑁))
28	21, 27	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
30	29	iftrued 4487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
31	19, 30	sylan9eqr 2793	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
32	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
33	1, 2, 32, 4	crctcshlem1 29890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34		0elfz 13540	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
36		fvexd 6849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
37	7, 31, 35, 36	fvmptd2 6949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
38		breq1 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆)))
39		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((♯‘𝐻) + 𝑆))
40	39	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)))
41	39	fvoveq1d 7380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
42	38, 40, 41	ifbieq12d 4508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (♯‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
43		elfzoel2 13574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		elfzonn0 13623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
46	45	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
47		elnnne0 12415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
48	46, 47	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
49	48	nngt0d 12194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
50		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
51		nn0re 12410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
52	50, 51	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
54		ltsubpos 11629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
55	54	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
57	49, 56	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)
58	57	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
59	43, 44, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
60	5, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
61	60	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁 − 𝑆) < 𝑁)
62	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
63	1, 2, 32, 4, 62, 6	crctcshlem2 29891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
64	63	breq1d 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
65	64	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
66	23, 26	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
67	66, 23	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
69		ltnle 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁 − 𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
71	65, 70	bitr4d 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ (𝑁 − 𝑆) < 𝑁))
72	61, 71	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ¬ (♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆))
73	72	iffalsed 4490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → if((♯‘𝐻) ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘((♯‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
74	42, 73	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
75	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshlem2 29891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
76	75, 22	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
77	76	nn0cnd 12464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
78	25	zcnd 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
79	22	nn0cnd 12464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
80	77, 78, 79	addsubd 11513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
81	75	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁 − 𝑁))
82	79	subidd 11480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
83	81, 82	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 𝑁) = 0)
84	83	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
85	80, 84	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
86	85	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
87	86	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
88	87	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → (𝑃‘(((♯‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
89	74, 88	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (♯‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
90	75	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) = 𝑁)
91		nn0fz0 13541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92	22, 91	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
93	92	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
94	90, 93	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (♯‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
95	7, 89, 94, 36	fvmptd2 6949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
96	37, 95	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
97		iscrct 29863	. . 3 ⊢ (𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
98	14, 96, 97	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
99	12, 98	pm2.61dane 3019	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440  ifcif 4479   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253   cyclShift ccsh 14711  Vtxcvtx 29069  iEdgciedg 29070  Trailsctrls 29762  Circuitsccrcts 29857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-csh 14712  df-wlks 29673  df-trls 29764  df-crcts 29859

This theorem is referenced by:  eucrctshift  30318