Theorem clwlkclwwlklem2fv2 29958

Description: Lemma 4b for clwlkclwwlklem2a 29960. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2fv2	⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlklem2.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
2		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2))
3		nn0z 12514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
4		2z 12525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	3, 4	jctir 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
6		zsubcl 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
10	2, 9	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
12		zre 12493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
13		nn0re 12411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
14		2re 12220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
16	13, 15	resubcld 11566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
18		lttri3 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
19	12, 17, 18	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
20		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
21	19, 20	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
22	21	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
23	11, 22	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
24	23	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
25	24	pm2.43i 52	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
26	25	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
27	26	iffalsed 4489	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))
28		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
29	28	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
30	29	preq1d 4693	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
31	30	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
32	27, 31	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
33	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
34	33, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
35	13, 15	subge0d 11728	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
36	35	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
37		elnn0z 12502	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
38	34, 36, 37	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
39		nn0ge2m1nn 12472	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
40		1red 11135	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
41	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
42	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
43		1lt2 12312	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 1 < 2)
45	40, 41, 42, 44	ltsub2dd 11751	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) < ((♯‘𝑃) − 1))
46		elfzo0 13621	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) < ((♯‘𝑃) − 1)))
47	38, 39, 45, 46	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
48		fvexd 6841	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V)
49	1, 32, 47, 48	fvmptd2 6942	1 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ifcif 4478  {cpr 4581   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ^◡ccnv 5622  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  29959