Theorem clwlkclwwlklem2fv2 30083

Description: Lemma 4b for clwlkclwwlklem2a 30085. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2fv2	⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlklem2.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
2		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2))
3		nn0z 12524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
4		2z 12535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	3, 4	jctir 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
6		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
10	2, 9	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
12		zre 12504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
13		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
14		2re 12231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
16	13, 15	resubcld 11577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
18		lttri3 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
19	12, 17, 18	syl2anr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
20		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
21	19, 20	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
22	21	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
23	11, 22	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
24	23	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
25	24	pm2.43i 52	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
26	25	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
27	26	iffalsed 4492	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))
28		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
29	28	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
30	29	preq1d 4698	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
31	30	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
32	27, 31	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
33	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
34	33, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
35	13, 15	subge0d 11739	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
36	35	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
37		elnn0z 12513	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
38	34, 36, 37	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
39		nn0ge2m1nn 12483	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
40		1red 11145	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
41	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
42	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
43		1lt2 12323	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 1 < 2)
45	40, 41, 42, 44	ltsub2dd 11762	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) < ((♯‘𝑃) − 1))
46		elfzo0 13628	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) < ((♯‘𝑃) − 1)))
47	38, 39, 45, 46	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
48		fvexd 6857	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V)
49	1, 32, 47, 48	fvmptd2 6958	1 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ifcif 4481  {cpr 4584   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  30084