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Theorem clwlkclwwlklem2fv2 28982
Description: Lemma 4b for clwlkclwwlklem2a 28984. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2fv2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv2
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlklem2.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
2 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2))
3 nn0z 12529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
4 2z 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
53, 4jctir 522 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
6 zsubcl 12550 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
87adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
98adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
102, 9eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1110ex 414 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
12 zre 12508 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
13 nn0re 12427 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
14 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 11588 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
18 lttri3 11243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
1912, 17, 18syl2anr 598 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
20 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
2119, 20syl6bi 253 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
2221ex 414 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
2311, 22syld 47 . . . . . . 7 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
2423com13 88 . . . . . 6 (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
2524pm2.43i 52 . . . . 5 (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
2625impcom 409 . . . 4 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
2726iffalsed 4498 . . 3 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}))
28 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
2928adantl 483 . . . . 5 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
3029preq1d 4701 . . . 4 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
3130fveq2d 6847 . . 3 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
3227, 31eqtrd 2773 . 2 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
335adantr 482 . . . . 5 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
3433, 6syl 17 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
3513, 15subge0d 11750 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
3635biimpar 479 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
37 elnn0z 12517 . . . 4 (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
3834, 36, 37sylanbrc 584 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
39 nn0ge2m1nn 12487 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
40 1red 11161 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
4114a1i 11 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
4213adantr 482 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
43 1lt2 12329 . . . . 5 1 < 2
4443a1i 11 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 1 < 2)
4540, 41, 42, 44ltsub2dd 11773 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) < ((♯‘𝑃) − 1))
46 elfzo0 13619 . . 3 (((♯‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) < ((♯‘𝑃) − 1)))
4738, 39, 45, 46syl3anbrc 1344 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
48 fvexd 6858 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V)
491, 32, 47, 48fvmptd2 6957 1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  ifcif 4487  {cpr 4589   class class class wbr 5106  cmpt 5189  ccnv 5633  cfv 6497  (class class class)co 7358  cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  2c2 12213  0cn0 12418  cz 12504  ..^cfzo 13573  chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  28983
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