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Theorem clwlkclwwlklem2fv2 27241
Description: Lemma 4b for clwlkclwwlklem2a 27243. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2fv2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv2
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlklem2.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
21a1i 11 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}))))
3 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2))
4 nn0z 11652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
5 2z 11661 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
64, 5jctir 516 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7 zsubcl 11671 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
98adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
109adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
113, 10eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1211ex 401 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
13 zre 11632 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
14 nn0re 11552 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
15 2re 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1714, 16resubcld 10716 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
1817adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19 lttri3 10379 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
2013, 18, 19syl2anr 590 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
21 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
2220, 21syl6bi 244 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
2322ex 401 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
2412, 23syld 47 . . . . . . 7 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
2524com13 88 . . . . . 6 (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
2625pm2.43i 52 . . . . 5 (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
2726impcom 396 . . . 4 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
2827iffalsed 4256 . . 3 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}))
29 fveq2 6379 . . . . . 6 (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
3029adantl 473 . . . . 5 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
3130preq1d 4431 . . . 4 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
3231fveq2d 6383 . . 3 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
3328, 32eqtrd 2799 . 2 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
346adantr 472 . . . . 5 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
3534, 7syl 17 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
3614, 16subge0d 10875 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
3736biimpar 469 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
38 elnn0z 11641 . . . 4 (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
3935, 37, 38sylanbrc 578 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
40 nn0ge2m1nn 11611 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
41 1red 10298 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
4215a1i 11 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
4314adantr 472 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
44 1lt2 11453 . . . . 5 1 < 2
4544a1i 11 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 1 < 2)
4641, 42, 43, 45ltsub2dd 10898 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) < ((♯‘𝑃) − 1))
47 elfzo0 12722 . . 3 (((♯‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) < ((♯‘𝑃) − 1)))
4839, 40, 46, 47syl3anbrc 1443 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
49 fvexd 6394 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V)
502, 33, 48, 49fvmptd 6481 1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  ifcif 4245  {cpr 4338   class class class wbr 4811  cmpt 4890  ccnv 5278  cfv 6070  (class class class)co 6846  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524  cn 11278  2c2 11331  0cn0 11542  cz 11628  ..^cfzo 12678  chash 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-fz 12539  df-fzo 12679
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  27242
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