Theorem clwlkclwwlklem2fv2 28940

Description: Lemma 4b for clwlkclwwlklem2a 28942. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2fv2	⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkclwwlklem2.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
2		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2))
3		nn0z 12524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
4		2z 12535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	3, 4	jctir 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
6		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
10	2, 9	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
12		zre 12503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
13		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
14		2re 12227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
16	13, 15	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
18		lttri3 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
19	12, 17, 18	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
20		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
21	19, 20	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
22	21	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
23	11, 22	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
24	23	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
25	24	pm2.43i 52	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
26	25	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
27	26	iffalsed 4497	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))
28		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
29	28	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
30	29	preq1d 4700	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
31	30	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
32	27, 31	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
33	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
34	33, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
35	13, 15	subge0d 11745	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
36	35	biimpar 478	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
37		elnn0z 12512	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
38	34, 36, 37	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
39		nn0ge2m1nn 12482	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
40		1red 11156	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
41	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
42	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
43		1lt2 12324	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 1 < 2)
45	40, 41, 42, 44	ltsub2dd 11768	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) < ((♯‘𝑃) − 1))
46		elfzo0 13613	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) < ((♯‘𝑃) − 1)))
47	38, 39, 45, 46	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
48		fvexd 6857	. 2 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V)
49	1, 32, 47, 48	fvmptd2 6956	1 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ifcif 4486  {cpr 4588   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5632  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ..^cfzo 13567  ♯chash 14230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  28941