Proof of Theorem fz0fzdiffz0
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | fz0fzelfz0 13674 | . . 3
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝑁)) | 
| 2 |  | elfzle1 13567 | . . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾) | 
| 3 | 2 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐾) | 
| 4 | 3 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ≤ 𝐾) | 
| 5 |  | elfznn0 13660 | . . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈
ℕ0) | 
| 6 | 5 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈
ℕ0) | 
| 7 |  | elfznn0 13660 | . . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈
ℕ0) | 
| 8 |  | nn0sub 12576 | . . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈
ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈
ℕ0)) | 
| 9 | 6, 7, 8 | syl2anr 597 | . . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈
ℕ0)) | 
| 10 | 4, 9 | mpbid 232 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈
ℕ0) | 
| 11 |  | elfz3nn0 13661 | . . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈
ℕ0) | 
| 12 | 11 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈
ℕ0) | 
| 13 |  | elfz2nn0 13658 | . . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) | 
| 14 |  | elfz2 13554 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))) | 
| 15 |  | zsubcl 12659 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ) | 
| 16 | 15 | zred 12722 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ) | 
| 17 | 16 | ancoms 458 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ) | 
| 18 | 17 | 3adant2 1132 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ) | 
| 19 |  | zre 12617 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈
ℝ) | 
| 20 | 19 | 3ad2ant3 1136 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈
ℝ) | 
| 21 |  | zre 12617 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) | 
| 22 | 21 | 3ad2ant2 1135 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℝ) | 
| 23 | 18, 20, 22 | 3jca 1129 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) | 
| 24 | 23 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈
ℝ)) | 
| 25 | 24 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) | 
| 26 |  | nn0ge0 12551 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ 𝑀) | 
| 27 | 26 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ 0 ≤ 𝑀) | 
| 28 |  | nn0re 12535 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℝ) | 
| 29 |  | subge02 11779 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤
𝑀 ↔ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾)) | 
| 30 | 20, 28, 29 | syl2an 596 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ (0 ≤ 𝑀 ↔
(𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾)) | 
| 31 | 27, 30 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾) | 
| 32 | 31 | anim1i 615 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) | 
| 33 |  | letr 11355 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)) | 
| 34 | 25, 32, 33 | sylc 65 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁) | 
| 35 | 34 | exp31 419 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0
→ (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))) | 
| 36 | 35 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑀 ∈ ℤ
∧ 𝑁 ∈ ℤ
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
→ (𝑀 ∈
ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))) | 
| 37 | 36 | com14 96 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐾 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))) | 
| 38 | 37 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))) | 
| 39 | 38 | impcom 407 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))) | 
| 40 | 14, 39 | sylbi 217 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))) | 
| 41 | 40 | com13 88 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑀 ∈
ℕ0 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))) | 
| 42 | 41 | impcom 407 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)) | 
| 43 | 42 | 3adant3 1133 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)) | 
| 44 | 13, 43 | sylbi 217 | . . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)) | 
| 45 | 44 | imp 406 | . . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁) | 
| 46 | 45 | adantl 481 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁) | 
| 47 | 10, 12, 46 | 3jca 1129 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0
∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)) | 
| 48 | 1, 47 | mpancom 688 | . 2
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0
∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)) | 
| 49 |  | elfz2nn0 13658 | . 2
⊢ ((𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0
∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)) | 
| 50 | 48, 49 | sylibr 234 | 1
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁)) |