Theorem fz0fzdiffz0 13294

Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0fzdiffz0	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fz0fzdiffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0fzelfz0 13291	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
2		elfzle1 13188	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐾)
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ≤ 𝐾)
5		elfznn0 13278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
7		elfznn0 13278	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		nn0sub 12213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
9	6, 7, 8	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
10	4, 9	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0)
11		elfz3nn0 13279	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		elfz2nn0 13276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		elfz2 13175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15		zsubcl 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
16	15	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
17	16	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
18	17	3adant2 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ)
19		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
20	19	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
21		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	18, 20, 22	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
26		nn0ge0 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
28		nn0re 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
29		subge02 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾))
30	20, 28, 29	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾))
31	27, 30	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾)
32	31	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
33		letr 10999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 − 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
34	25, 32, 33	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
35	34	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
37	36	com14 96	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
39	38	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
40	14, 39	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
41	40	com13 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
42	41	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
43	42	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
44	13, 43	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
45	44	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
46	45	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
47	10, 12, 46	3jca 1126	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
48	1, 47	mpancom 684	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
49		elfz2nn0 13276	. 2 ⊢ ((𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
50	48, 49	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  pfxtrcfv  14334  chfacfpmmulgsum2  21922