Theorem fzneuz 13508

Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzneuz	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem fzneuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 12799	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelre 12743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		ltp1 11961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
4		peano2re 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5		ltnle 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
7	3, 6	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
9		elfzle2 13428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
10	8, 9	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
11	10	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
12		nelneq2 2856	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ (ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁))
13	1, 11, 12	syl2an2 686	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁))
14		eqcom 2738	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
15	13, 14	sylnib 328	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
16		eluzfz2 13432	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
17	16	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
18		nelneq2 2856	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
19	17, 18	sylancom 588	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
20	15, 19	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by: (None)