Theorem fzneuz 13536

Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzneuz	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem fzneuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 12826	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelre 12774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		ltp1 11993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
4		peano2re 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5		ltnle 11224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpdan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
7	3, 6	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
9		elfzle2 13456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
10	8, 9	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
11	10	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
12		nelneq2 2862	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ (ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁))
13	1, 11, 12	syl2an2 687	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁))
14		eqcom 2744	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
15	13, 14	sylnib 328	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
16		eluzfz2 13460	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
17	16	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
18		nelneq2 2862	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
19	17, 18	sylancom 589	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
20	15, 19	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by: (None)