Theorem fzneuz 13615

Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzneuz	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem fzneuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 12916	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelre 12864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		ltp1 12085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
4		peano2re 11418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5		ltnle 11324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
6	4, 5	mpdan 686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
7	3, 6	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
9		elfzle2 13538	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
10	8, 9	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
11	10	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
12		nelneq2 2854	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ (ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁))
13	1, 11, 12	syl2an2 685	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁))
14		eqcom 2735	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
15	13, 14	sylnib 328	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
16		eluzfz2 13542	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
17	16	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
18		nelneq2 2854	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
19	17, 18	sylancom 587	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
20	15, 19	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279   ≤ cle 11280  ℤcz 12589  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518

This theorem is referenced by: (None)