Theorem fzonmapblen 13125

Description: The result of subtracting a nonnegative integer from a positive integer and adding another nonnegative integer which is less than the first one is less than the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzonmapblen	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)

Proof of Theorem fzonmapblen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2		nn0re 11936	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nnre 11674	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3	anim12i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5	4	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
6	1, 5	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7		elfzoelz 13080	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zred 12119	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		resubcl 10981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
14	9, 10, 13	ltadd1d 11264	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < (𝐴 + (𝑁 − 𝐴))))
15	14	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)))
16		recn 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
17		recn 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16, 17	anim12i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
19	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
20	19	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
21		pncan3 10925	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)) = 𝑁)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)) = 𝑁)
23	15, 22	breqtrd 5059	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)
24	23	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁))
25	6, 8, 24	syl2an 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁))
26	25	3impia 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568   + caddc 10571   < clt 10706   − cmin 10901  ℕcn 11667  ℕ₀cn0 11927  ..^cfzo 13075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076

This theorem is referenced by:  cshwshashlem2  16481