Theorem fzonmapblen 13682

Description: The result of subtracting a nonnegative integer from a positive integer and adding another nonnegative integer which is less than the first one is less than the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzonmapblen	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)

Proof of Theorem fzonmapblen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13677	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2		nn0re 12485	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nnre 12223	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3	anim12i 611	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5	4	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
6	1, 5	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7		elfzoelz 13636	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zred 12670	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpll 763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		resubcl 11528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
14	9, 10, 13	ltadd1d 11811	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < (𝐴 + (𝑁 − 𝐴))))
15	14	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)))
16		recn 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
17		recn 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16, 17	anim12i 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
19	18	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
20	19	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
21		pncan3 11472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)) = 𝑁)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)) = 𝑁)
23	15, 22	breqtrd 5173	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)
24	23	ex 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁))
25	6, 8, 24	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁))
26	25	3impia 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   < clt 11252   − cmin 11448  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ..^cfzo 13631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632

This theorem is referenced by:  cshwshashlem2  17034