cshwshashlem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cshwshashlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cshwshashlem2 17144

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cshwshash.0	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))

**Assertion**
Ref	Expression
cshwshashlem2	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐿 𝑖,𝑉 𝑖,𝑊 𝜑,𝑖 𝑖,𝐾

**Proof of Theorem cshwshashlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
2	1	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
3	2	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
4		cshwshash.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
5	4	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9		elfzofz 13732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
10	9	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
12		elfzofz 13732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13		fznn0sub2 13692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
17		elfzo0 13757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)))
18		zre 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
20		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
21		nn0re 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℝ)
22		resubcl 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
25	19, 24	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ)
26	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
28	25, 27	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
30		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31	29, 30	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
32	31	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
33	17, 32	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
34	33	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
35	34	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
36		fzonmapblen 13762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊))
37		ltle 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)))
38	35, 36, 37	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))
40		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41		elfzelz 13584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℤ)
44		elfzelz 13584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
45	44	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
46	45	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
47		2cshw 14861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
48	40, 43, 46, 47	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
49	8, 11, 16, 39, 48	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
50	12	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51		elfzelz 13584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
52		2cshwid 14862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
53	51, 52	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
54	7, 50, 53	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
55	3, 49, 54	3eqtr3d 2788	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = 𝑊)
56		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝜑)
57		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
58		3simpa 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
59	17, 58	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
60		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
61		nn0z 12664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℤ)
62		zsubcl 12685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
63	60, 61, 62	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
64	63	anim1ci 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ))
65		zaddcl 12683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
67	59, 30, 66	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
68	67	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
69		elfzo0 13757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝑊)))
70		elnn0z 12652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
71	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℝ)
72	23	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
74		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 ≤ 𝐾)
75		posdif 11783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (𝐿 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
76	21, 20, 75	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐿 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
77	76	biimp3a 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿))
79	71, 73, 74, 78	addgegt0d 11863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
80	79	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
81	70, 80	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
82	81	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
83	69, 82	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
84	83	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
85	17, 84	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
86	85	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
87	86	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
88		elnnz 12649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
89	68, 87, 88	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ)
90	17	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
91	90	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
92		elfzo1 13766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊)))
93	89, 91, 36, 92	syl3anbrc 1343	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
94	93	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
95	4	cshwshashlem1 17143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
96	56, 57, 94, 95	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
97	55, 96	pm2.21ddne 3032	. . 3 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
98	97	exp31 419	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
99		2a1 28	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
100	98, 99	pm2.61ine 3031	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ∃wrex 3076 class class class wbr 5166 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 ℕcn 12293 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ...cfz 13567 ..^cfzo 13711 ♯chash 14379 Word cword 14562 cyclShift ccsh 14836 ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-2o 8523 df-oadd 8526 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-sup 9511 df-inf 9512 df-dju 9970 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-n0 12554 df-xnn0 12626 df-z 12640 df-uz 12904 df-rp 13058 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14053 df-exp 14113 df-hash 14380 df-word 14563 df-concat 14619 df-substr 14689 df-pfx 14719 df-reps 14817 df-csh 14837 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-dvds 16303 df-gcd 16541 df-prm 16719 df-phi 16813

This theorem is referenced by: cshwshashlem3 17145

W3C validator