cshwshashlem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cshwshashlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cshwshashlem2 17108

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cshwshash.0	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))

**Assertion**
Ref	Expression
cshwshashlem2	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐿 𝑖,𝑉 𝑖,𝑊 𝜑,𝑖 𝑖,𝐾

**Proof of Theorem cshwshashlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
2	1	eqcomd 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
3	2	ad2antrr 734	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
4		cshwshash.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
5	4	simpld 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6	5	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8	7	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9		elfzofz 13671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
10	9	3ad2ant2 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11	10	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
12		elfzofz 13671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13		fznn0sub2 13630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15	14	3ad2ant1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
16	15	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
17		elfzo0 13696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)))
18		zre 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
19	18	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
20		nnre 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
21		nn0re 12480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℝ)
22		resubcl 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	syl2anr 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
24	23	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
25	19, 24	readdcld 11201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ)
26	20	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
27	26	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
28	25, 27	jca 518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
29	28	ex 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
30		elfzoelz 13654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31	29, 30	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
32	31	3adant3 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
33	17, 32	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
34	33	imp 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
35	34	3adant3 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
36		fzonmapblen 13704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊))
37		ltle 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)))
38	35, 36, 37	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))
39	38	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))
40		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41		elfzelz 13519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
43	42	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℤ)
44		elfzelz 13519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
45	44	3ad2ant2 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
46	45	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
47		2cshw 14816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
48	40, 43, 46, 47	syl3anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
49	8, 11, 16, 39, 48	syl13anc 1387	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
50	12	3ad2ant1 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51		elfzelz 13519	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
52		2cshwid 14817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
53	51, 52	sylan2 601	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
54	7, 50, 53	syl2an 604	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
55	3, 49, 54	3eqtr3d 2799	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = 𝑊)
56		simplrl 784	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝜑)
57		simplrr 785	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
58		3simpa 1157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
59	17, 58	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
60		nnz 12579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
61		nn0z 12582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℤ)
62		zsubcl 12603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
63	60, 61, 62	syl2anr 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
64	63	anim1ci 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ))
65		zaddcl 12601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
67	59, 30, 66	syl2an 604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
68	67	3adant3 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
69		elfzo0 13696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝑊)))
70		elnn0z 12571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
71	18	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℝ)
72	23	3adant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
73	72	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
74		simplr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 ≤ 𝐾)
75		posdif 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (𝐿 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
76	21, 20, 75	syl2an 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐿 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
77	76	biimp3a 1484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿))
78	77	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿))
79	71, 73, 74, 78	addgegt0d 11750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
80	79	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
81	70, 80	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
82	81	3ad2ant1 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
83	69, 82	sylbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
84	83	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
85	17, 84	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
86	85	imp 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
87	86	3adant3 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
88		elnnz 12568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
89	68, 87, 88	sylanbrc 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ)
90	17	simp2bi 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
91	90	3ad2ant1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
92		elfzo1 13708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊)))
93	89, 91, 36, 92	syl3anbrc 1353	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
94	93	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
95	4	cshwshashlem1 17107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
96	56, 57, 94, 95	syl3anc 1386	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
97	55, 96	pm2.21ddne 3035	. . 3 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
98	97	exp31 422	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
99		2a1 28	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
100	98, 99	pm2.61ine 3034	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1095 = wceq 1554 ∈ wcel 2136 ≠ wne 2951 ∃wrex 3080 class class class wbr 5094 ‘cfv 6510 (class class class)co 7385 ℝcr 11062 0cc0 11063 1c1 11064 + caddc 11066 < clt 11206 ≤ cle 11207 − cmin 11404 ℕcn 12200 ℕ₀cn0 12471 ℤcz 12558 ...cfz 13502 ..^cfzo 13649 ♯chash 14333 Word cword 14516 cyclShift ccsh 14791 ℙcprime 16681

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1809 ax-4 1823 ax-5 1924 ax-6 1981 ax-7 2022 ax-8 2138 ax-9 2146 ax-10 2169 ax-11 2185 ax-12 2206 ax-ext 2728 ax-rep 5221 ax-sep 5240 ax-nul 5250 ax-pow 5316 ax-pr 5384 ax-un 7707 ax-cnex 11119 ax-resscn 11120 ax-1cn 11121 ax-icn 11122 ax-addcl 11123 ax-addrcl 11124 ax-mulcl 11125 ax-mulrcl 11126 ax-mulcom 11127 ax-addass 11128 ax-mulass 11129 ax-distr 11130 ax-i2m1 11131 ax-1ne0 11132 ax-1rid 11133 ax-rnegex 11134 ax-rrecex 11135 ax-cnre 11136 ax-pre-lttri 11137 ax-pre-lttrn 11138 ax-pre-ltadd 11139 ax-pre-mulgt0 11140 ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 857 df-3or 1096 df-3an 1097 df-tru 1557 df-fal 1567 df-ex 1794 df-nf 1798 df-sb 2085 df-mo 2560 df-eu 2590 df-clab 2735 df-cleq 2748 df-clel 2831 df-nfc 2905 df-ne 2952 df-nel 3056 df-ral 3071 df-rex 3081 df-rmo 3361 df-reu 3362 df-rab 3409 df-v 3450 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4281 df-if 4475 df-pw 4551 df-sn 4577 df-pr 4579 df-op 4583 df-uni 4860 df-int 4900 df-iun 4945 df-br 5095 df-opab 5157 df-mpt 5176 df-tr 5202 df-id 5535 df-eprel 5540 df-po 5548 df-so 5549 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5646 df-rel 5647 df-cnv 5648 df-co 5649 df-dm 5650 df-rn 5651 df-res 5652 df-ima 5653 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6466 df-fun 6512 df-fn 6513 df-f 6514 df-f1 6515 df-fo 6516 df-f1o 6517 df-fv 6518 df-riota 7342 df-ov 7388 df-oprab 7389 df-mpo 7390 df-om 7836 df-1st 7959 df-2nd 7960 df-frecs 8250 df-wrecs 8281 df-recs 8330 df-rdg 8369 df-1o 8425 df-2o 8426 df-oadd 8429 df-er 8666 df-en 8917 df-dom 8918 df-sdom 8919 df-fin 8920 df-sup 9378 df-inf 9379 df-dju 9849 df-card 9887 df-pnf 11208 df-mnf 11209 df-xr 11210 df-ltxr 11211 df-le 11212 df-sub 11406 df-neg 11407 df-div 11835 df-nn 12201 df-2 12270 df-3 12271 df-n0 12472 df-xnn0 12545 df-z 12559 df-uz 12830 df-rp 12984 df-fz 13503 df-fzo 13650 df-fl 13792 df-mod 13870 df-seq 14005 df-exp 14065 df-hash 14334 df-word 14517 df-concat 14574 df-substr 14645 df-pfx 14675 df-reps 14772 df-csh 14792 df-cj 15102 df-re 15103 df-im 15104 df-sqrt 15238 df-abs 15239 df-dvds 16263 df-gcd 16505 df-prm 16682 df-phi 16777

This theorem is referenced by: cshwshashlem3 17109

W3C validator