MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwshashlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwshashlem2 16798
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
Assertion
Ref Expression
cshwshashlem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐿   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Proof of Theorem cshwshashlem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 7282 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
21eqcomd 2744 . . . . . 6 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
32ad2antrr 723 . . . . 5 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
4 cshwshash.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
54simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑉)
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
76adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
87adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 elfzofz 13403 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1093ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1110adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
12 elfzofz 13403 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13 fznn0sub2 13363 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15143ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1615adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
17 elfzo0 13428 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)))
18 zre 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
20 nnre 11980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
21 nn0re 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
22 resubcl 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
2320, 21, 22syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
2519, 24readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ)
2620adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
2825, 27jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
2928ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
30 elfzoelz 13387 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
3129, 30syl11 33 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
32313adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
3317, 32sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
3433imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
35343adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
36 fzonmapblen 13433 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊))
37 ltle 11063 . . . . . . . 8 (((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)))
3835, 36, 37sylc 65 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))
3938adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))
40 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 elfzelz 13256 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
42413ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4342adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℤ)
44 elfzelz 13256 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
45443ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
4645adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
47 2cshw 14526 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
4840, 43, 46, 47syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
498, 11, 16, 39, 48syl13anc 1371 . . . . 5 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
50123ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51 elfzelz 13256 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
52 2cshwid 14527 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
5351, 52sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
547, 50, 53syl2an 596 . . . . 5 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
553, 49, 543eqtr3d 2786 . . . 4 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = 𝑊)
56 simplrl 774 . . . . 5 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝜑)
57 simplrr 775 . . . . 5 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))
58 3simpa 1147 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
5917, 58sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
60 nnz 12342 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
61 nn0z 12343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
62 zsubcl 12362 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
6360, 61, 62syl2anr 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
6463anim1ci 616 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ))
65 zaddcl 12360 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
6759, 30, 66syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
68673adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
69 elfzo0 13428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝑊)))
70 elnn0z 12332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
7118ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℝ)
72233adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
74 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 ≤ 𝐾)
75 posdif 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (𝐿 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
7621, 20, 75syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐿 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
7776biimp3a 1468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿))
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿))
7971, 73, 74, 78addgegt0d 11548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
8079ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
8170, 80sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
82813ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
8369, 82sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
8483com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
8517, 84sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
8685imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
87863adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
88 elnnz 12329 . . . . . . . 8 ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
8968, 87, 88sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ)
9017simp2bi 1145 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
91903ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
92 elfzo1 13437 . . . . . . 7 ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊)))
9389, 91, 36, 92syl3anbrc 1342 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
9493adantl 482 . . . . 5 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
954cshwshashlem1 16797 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
9656, 57, 94, 95syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
9755, 96pm2.21ddne 3029 . . 3 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
9897exp31 420 . 2 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
99 2a1 28 . 2 ((𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
10098, 99pm2.61ine 3028 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  chash 14044  Word cword 14217   cyclShift ccsh 14501  cprime 16376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-reps 14482  df-csh 14502  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-phi 16467
This theorem is referenced by:  cshwshashlem3  16799
  Copyright terms: Public domain W3C validator