cshwshashlem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cshwshashlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cshwshashlem2 17057

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cshwshash.0	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))

**Assertion**
Ref	Expression
cshwshashlem2	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐿 𝑖,𝑉 𝑖,𝑊 𝜑,𝑖 𝑖,𝐾

**Proof of Theorem cshwshashlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
2	1	eqcomd 2733	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
3	2	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
4		cshwshash.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
5	4	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9		elfzofz 13672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
10	9	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
12		elfzofz 13672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13		fznn0sub2 13632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15	14	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
17		elfzo0 13697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)))
18		zre 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
20		nnre 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
21		nn0re 12503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℝ)
22		resubcl 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
25	19, 24	readdcld 11265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ)
26	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
28	25, 27	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
30		elfzoelz 13656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31	29, 30	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
32	31	3adant3 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
33	17, 32	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
34	33	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
35	34	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
36		fzonmapblen 13702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊))
37		ltle 11324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)))
38	35, 36, 37	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))
40		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41		elfzelz 13525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℤ)
44		elfzelz 13525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
45	44	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
46	45	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
47		2cshw 14787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
48	40, 43, 46, 47	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
49	8, 11, 16, 39, 48	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
50	12	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51		elfzelz 13525	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
52		2cshwid 14788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
53	51, 52	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
54	7, 50, 53	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
55	3, 49, 54	3eqtr3d 2775	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = 𝑊)
56		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝜑)
57		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
58		3simpa 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
59	17, 58	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
60		nnz 12601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
61		nn0z 12605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℤ)
62		zsubcl 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
63	60, 61, 62	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
64	63	anim1ci 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ))
65		zaddcl 12624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
67	59, 30, 66	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
68	67	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
69		elfzo0 13697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝑊)))
70		elnn0z 12593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
71	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℝ)
72	23	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
74		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 ≤ 𝐾)
75		posdif 11729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (𝐿 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
76	21, 20, 75	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐿 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
77	76	biimp3a 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿))
79	71, 73, 74, 78	addgegt0d 11809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
80	79	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
81	70, 80	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
82	81	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
83	69, 82	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
84	83	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
85	17, 84	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
86	85	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
87	86	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
88		elnnz 12590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
89	68, 87, 88	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ)
90	17	simp2bi 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
91	90	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
92		elfzo1 13706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊)))
93	89, 91, 36, 92	syl3anbrc 1341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
94	93	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
95	4	cshwshashlem1 17056	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
96	56, 57, 94, 95	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
97	55, 96	pm2.21ddne 3021	. . 3 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
98	97	exp31 419	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
99		2a1 28	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
100	98, 99	pm2.61ine 3020	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2935 ∃wrex 3065 class class class wbr 5142 ‘cfv 6542 (class class class)co 7414 ℝcr 11129 0cc0 11130 1c1 11131 + caddc 11133 < clt 11270 ≤ cle 11271 − cmin 11466 ℕcn 12234 ℕ₀cn0 12494 ℤcz 12580 ...cfz 13508 ..^cfzo 13651 ♯chash 14313 Word cword 14488 cyclShift ccsh 14762 ℙcprime 16633

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11186 ax-resscn 11187 ax-1cn 11188 ax-icn 11189 ax-addcl 11190 ax-addrcl 11191 ax-mulcl 11192 ax-mulrcl 11193 ax-mulcom 11194 ax-addass 11195 ax-mulass 11196 ax-distr 11197 ax-i2m1 11198 ax-1ne0 11199 ax-1rid 11200 ax-rnegex 11201 ax-rrecex 11202 ax-cnre 11203 ax-pre-lttri 11204 ax-pre-lttrn 11205 ax-pre-ltadd 11206 ax-pre-mulgt0 11207 ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-er 8718 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-sup 9457 df-inf 9458 df-dju 9916 df-card 9954 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11894 df-nn 12235 df-2 12297 df-3 12298 df-n0 12495 df-xnn0 12567 df-z 12581 df-uz 12845 df-rp 12999 df-fz 13509 df-fzo 13652 df-fl 13781 df-mod 13859 df-seq 13991 df-exp 14051 df-hash 14314 df-word 14489 df-concat 14545 df-substr 14615 df-pfx 14645 df-reps 14743 df-csh 14763 df-cj 15070 df-re 15071 df-im 15072 df-sqrt 15206 df-abs 15207 df-dvds 16223 df-gcd 16461 df-prm 16634 df-phi 16726

This theorem is referenced by: cshwshashlem3 17058

W3C validator