cshwshashlem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cshwshashlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cshwshashlem2 17036

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cshwshash.0	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))

**Assertion**
Ref	Expression
cshwshashlem2	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐿 𝑖,𝑉 𝑖,𝑊 𝜑,𝑖 𝑖,𝐾

**Proof of Theorem cshwshashlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
2	1	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
3	2	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
4		cshwshash.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
5	4	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9		elfzofz 13603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
10	9	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
12		elfzofz 13603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13		fznn0sub2 13563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
17		elfzo0 13628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)))
18		zre 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
20		nnre 12164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
21		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℝ)
22		resubcl 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
25	19, 24	readdcld 11173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ)
26	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
28	25, 27	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
30		elfzoelz 13587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31	29, 30	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
32	31	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
33	17, 32	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ)))
34	33	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
35	34	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
36		fzonmapblen 13636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊))
37		ltle 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)))
38	35, 36, 37	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))
40		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41		elfzelz 13452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℤ)
44		elfzelz 13452	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
45	44	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
46	45	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
47		2cshw 14748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
48	40, 43, 46, 47	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
49	8, 11, 16, 39, 48	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
50	12	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51		elfzelz 13452	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
52		2cshwid 14749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
53	51, 52	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
54	7, 50, 53	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
55	3, 49, 54	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = 𝑊)
56		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝜑)
57		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
58		3simpa 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
59	17, 58	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
60		nnz 12521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
61		nn0z 12524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℤ)
62		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
63	60, 61, 62	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
64	63	anim1ci 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ))
65		zaddcl 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
67	59, 30, 66	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
68	67	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
69		elfzo0 13628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝑊)))
70		elnn0z 12513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
71	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℝ)
72	23	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
74		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 ≤ 𝐾)
75		posdif 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (𝐿 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
76	21, 20, 75	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐿 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
77	76	biimp3a 1472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 < ((♯‘𝑊) − 𝐿))
79	71, 73, 74, 78	addgegt0d 11722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
80	79	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
81	70, 80	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
82	81	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
83	69, 82	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
84	83	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
85	17, 84	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
86	85	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
87	86	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
88		elnnz 12510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
89	68, 87, 88	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ)
90	17	simp2bi 1147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
91	90	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
92		elfzo1 13640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) < (♯‘𝑊)))
93	89, 91, 36, 92	syl3anbrc 1345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
94	93	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
95	4	cshwshashlem1 17035	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
96	56, 57, 94, 95	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
97	55, 96	pm2.21ddne 3017	. . 3 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
98	97	exp31 419	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
99		2a1 28	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
100	98, 99	pm2.61ine 3016	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∃wrex 3062 class class class wbr 5100 ‘cfv 6500 (class class class)co 7368 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 < clt 11178 ≤ cle 11179 − cmin 11376 ℕcn 12157 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12500 ...cfz 13435 ..^cfzo 13582 ♯chash 14265 Word cword 14448 cyclShift ccsh 14723 ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5226 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4905 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-1o 8407 df-2o 8408 df-oadd 8411 df-er 8645 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-sup 9357 df-inf 9358 df-dju 9825 df-card 9863 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-n0 12414 df-xnn0 12487 df-z 12501 df-uz 12764 df-rp 12918 df-fz 13436 df-fzo 13583 df-fl 13724 df-mod 13802 df-seq 13937 df-exp 13997 df-hash 14266 df-word 14449 df-concat 14506 df-substr 14577 df-pfx 14607 df-reps 14704 df-csh 14724 df-cj 15034 df-re 15035 df-im 15036 df-sqrt 15170 df-abs 15171 df-dvds 16192 df-gcd 16434 df-prm 16611 df-phi 16705

This theorem is referenced by: cshwshashlem3 17037

W3C validator