Theorem fprodrev 16013

Description: Reversal of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fprodshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fprodshft.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fprodshft.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodrev.5	⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodrev	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝐾,𝑘   𝜑,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodrev.5	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
2		fzfid 14014	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∈ Fin)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗)) = (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))
4		fprodshft.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		elfzelz 13564	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 12727	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑗) ∈ ℤ)
9	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		elfzelz 13564	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	9, 11	zsubcld 12727	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ)
13		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))
14		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
15		fprodshft.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		fprodshft.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝐾 ∈ ℤ)
20	6	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
21		fzrev 13627	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
22	16, 18, 19, 20, 21	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
23	14, 22	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁))
24	13, 23	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
25		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
26	25	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
27	4	zcnd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝐾 ∈ ℂ)
29	6	zcnd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℂ)
31	28, 30	nncand 11625	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
32	26, 31	eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))
33	24, 32	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘)))
34		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))
35		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
36	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑀 ∈ ℤ)
37	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	10	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
40		fzrev2 13628	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))))
41	36, 37, 38, 39, 40	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))))
42	35, 41	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
43	34, 42	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
44		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)))
45	44	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)))
46	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝐾 ∈ ℂ)
47	10	zcnd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
48	47	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ ℂ)
49	46, 48	nncand 11625	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)) = 𝑘)
50	45, 49	eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))
51	43, 50	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗)))
52	33, 51	impbida 801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))))
53	3, 8, 12, 52	f1od 7685	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗)):((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
54		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − 𝑘))
55		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝑘) ∈ V
56	54, 3, 55	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))‘𝑘) = (𝐾 − 𝑘))
57	56	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))‘𝑘) = (𝐾 − 𝑘))
58		fprodshft.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	1, 2, 53, 57, 58	fprodf1o 15982	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   − cmin 11492  ℤcz 12613  ...cfz 13547  ∏cprod 15939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940

This theorem is referenced by:  fallfacval3  16048  bcprod  35738