Theorem fprodrev 15884

Description: Reversal of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fprodshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fprodshft.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fprodshft.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodrev.5	⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodrev	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝐾,𝑘   𝜑,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodrev.5	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
2		fzfid 13880	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∈ Fin)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗)) = (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))
4		fprodshft.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		elfzelz 13424	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 12582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑗) ∈ ℤ)
9	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		elfzelz 13424	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	9, 11	zsubcld 12582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ)
13		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))
14		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
15		fprodshft.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		fprodshft.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝐾 ∈ ℤ)
20	6	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
21		fzrev 13487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
22	16, 18, 19, 20, 21	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
23	14, 22	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁))
24	13, 23	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
25		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
26	25	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
27	4	zcnd 12578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝐾 ∈ ℂ)
29	6	zcnd 12578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℂ)
31	28, 30	nncand 11477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
32	26, 31	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))
33	24, 32	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘)))
34		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))
35		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
36	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑀 ∈ ℤ)
37	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	10	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
40		fzrev2 13488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))))
41	36, 37, 38, 39, 40	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))))
42	35, 41	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
43	34, 42	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
44		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)))
45	44	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)))
46	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝐾 ∈ ℂ)
47	10	zcnd 12578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
48	47	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ ℂ)
49	46, 48	nncand 11477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)) = 𝑘)
50	45, 49	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))
51	43, 50	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗)))
52	33, 51	impbida 800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))))
53	3, 8, 12, 52	f1od 7598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗)):((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
54		oveq2 7354	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − 𝑘))
55		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝑘) ∈ V
56	54, 3, 55	fvmpt 6929	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))‘𝑘) = (𝐾 − 𝑘))
57	56	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))‘𝑘) = (𝐾 − 𝑘))
58		fprodshft.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	1, 2, 53, 57, 58	fprodf1o 15853	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   − cmin 11344  ℤcz 12468  ...cfz 13407  ∏cprod 15810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-prod 15811

This theorem is referenced by:  fallfacval3  15919  bcprod  35782