Theorem fprodrev 16170

Description: Reversal of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fprodshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fprodshft.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fprodshft.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodrev.5	⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodrev	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝐾,𝑘   𝜑,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodrev.5	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
2		fzfid 14140	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∈ Fin)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗)) = (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))
4		fprodshft.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		elfzelz 13680	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 12832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑗) ∈ ℤ)
9	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		elfzelz 13680	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	9, 11	zsubcld 12832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ)
13		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))
14		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
15		fprodshft.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17		fprodshft.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝐾 ∈ ℤ)
20	6	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
21		fzrev 13745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
22	16, 18, 19, 20, 21	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁)))
23	14, 22	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − 𝑗) ∈ (𝑀...𝑁))
24	13, 23	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
25		oveq2 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
26	25	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
27	4	zcnd 12828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝐾 ∈ ℂ)
29	6	zcnd 12828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℂ)
31	28, 30	nncand 11698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
32	26, 31	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))
33	24, 32	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘)))
34		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))
35		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
36	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑀 ∈ ℤ)
37	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	10	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ ℤ)
40		fzrev2 13746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))))
41	36, 37, 38, 39, 40	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))))
42	35, 41	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
43	34, 42	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
44		oveq2 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − 𝑘) → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)))
45	44	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)))
46	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝐾 ∈ ℂ)
47	10	zcnd 12828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
48	47	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 ∈ ℂ)
49	46, 48	nncand 11698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑘)) = 𝑘)
50	45, 49	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → 𝑘 = (𝐾 − 𝑗))
51	43, 50	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))) → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗)))
52	33, 51	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ∧ 𝑘 = (𝐾 − 𝑗)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝐾 − 𝑘))))
53	3, 8, 12, 52	f1od 7694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗)):((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))⟶1-1onto(𝑀...𝑁))
54		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 − 𝑗) = (𝐾 − 𝑘))
55		ovex 7473	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝑘) ∈ V
56	54, 3, 55	fvmpt 7013	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))‘𝑘) = (𝐾 − 𝑘))
57	56	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → ((𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↦ (𝐾 − 𝑗))‘𝑘) = (𝐾 − 𝑘))
58		fprodshft.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	1, 2, 53, 57, 58	fprodf1o 16139	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222   − cmin 11565  ℤcz 12717  ...cfz 13663  ∏cprod 16098

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-prod 16099

This theorem is used by:  fallfacval3  16205  bcprod  36680