Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prime Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prime 12087
 Description: Two ways to express "𝐴 is a prime number (or 1)." See also isprm 16054. (Contributed by NM, 4-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
prime (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem prime
StepHypRef Expression
1 bi2.04 393 . . . 4 ((𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
2 impexp 455 . . . 4 (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)))
3 neor 3040 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴))
43imbi2i 340 . . . 4 (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
51, 2, 43bitr4ri 308 . . 3 (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴))
6 nngt1ne1 11688 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → (1 < 𝑥𝑥 ≠ 1))
76adantl 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 < 𝑥𝑥 ≠ 1))
87anbi1d 633 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
9 nnz 12028 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
10 nnre 11666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
11 gtndiv 12083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑥) → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
12113expia 1119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
1310, 12sylan 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
1413con2d 136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → ¬ 𝐴 < 𝑥))
15 nnre 11666 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
16 lenlt 10742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
1710, 15, 16syl2an 599 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
1814, 17sylibrd 262 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥𝐴))
1918ancoms 463 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥𝐴))
209, 19syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥𝐴))
2120pm4.71rd 567 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2221anbi2d 632 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ))))
23 3anass 1093 . . . . . 6 ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2422, 23bitr4di 293 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
258, 24bitr3d 284 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2625imbi1d 346 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
275, 26syl5bb 286 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
2827ralbidva 3123 1 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ∀wral 3068   class class class wbr 5025  (class class class)co 7143  ℝcr 10559  1c1 10561   < clt 10698   ≤ cle 10699   / cdiv 11320  ℕcn 11659  ℤcz 12005 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006 This theorem is referenced by:  infpnlem1  16286
 Copyright terms: Public domain W3C validator