MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prime Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prime 12640
Description: Two ways to express "𝐴 is a prime number (or 1)". See also isprm 16607. (Contributed by NM, 4-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
prime (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem prime
StepHypRef Expression
1 bi2.04 387 . . . 4 ((𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
2 impexp 450 . . . 4 (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)))
3 neor 3026 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴))
43imbi2i 336 . . . 4 (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
51, 2, 43bitr4ri 304 . . 3 (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴))
6 nngt1ne1 12238 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → (1 < 𝑥𝑥 ≠ 1))
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 < 𝑥𝑥 ≠ 1))
87anbi1d 629 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
9 nnz 12576 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
10 nnre 12216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
11 gtndiv 12636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑥) → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
12113expia 1118 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
1310, 12sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
1413con2d 134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → ¬ 𝐴 < 𝑥))
15 nnre 12216 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
16 lenlt 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
1710, 15, 16syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
1814, 17sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥𝐴))
1918ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥𝐴))
209, 19syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥𝐴))
2120pm4.71rd 562 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2221anbi2d 628 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ))))
23 3anass 1092 . . . . . 6 ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2422, 23bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
258, 24bitr3d 281 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2625imbi1d 341 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
275, 26bitrid 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
2827ralbidva 3167 1 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  cr 11105  1c1 11107   < clt 11245  cle 11246   / cdiv 11868  cn 12209  cz 12555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556
This theorem is referenced by:  infpnlem1  16842
  Copyright terms: Public domain W3C validator